配对交易的一般框架，控制理论点为

然后，通过使用历史数据，我们将证券价格与候选利差函数进行拟合，并检查均值回归特性的统计满意度。一旦交易开始，使用保留的数据，我们使用交错滑动窗口方法来估计模型参数。由于股票价格之间的关系在实践中不一定是固定的，因此与严格应用理论的情况不同。在此框架中，我们使用长度为N的训练窗口，然后是长度为m的训练窗口。在训练窗口的末尾，估计了特定于扩散函数的当前模型参数。然后，利用该模型计算交易窗口紧随其后的展布函数和阈值。在我们的模拟中，我们使用N=40和m=5。在培训窗口期间，我们还使用证券价格计算回报。这些收益的最大绝对值导致我们估计^γ（k），即^γ（k）。=最大值=1,2；K-N≤j<k-1 | Xi（j）|。然后，我们使用上一步在训练窗口上计算的扩散函数，结合均值回归条件的样本平均导数，得到估计值^η-K-2Pj=k-Nsign（S（j））（S（j+1）- S（j））k-2Pj=k-N | S（j）|。上述公式隐含地减重了S（p（k））非常小的样本，因此相对于这些样本的高相对变化不会影响估计过程。我们还使用我们对扩散函数模型的知识来计算Hessianp（k）处的S（p）。使用上述参数，我们计算treshold为^τ（k）=2^ηmaxp∈Bγ（p（k））（p- p（k））TS（p）（p- p（k））如果^η>0；∞ if^η≤ 0其中，Bγ（p（k））如前一节所定义。

在交易窗口期间，我们评估利差函数并将其大小与上面计算的阈值进行比较，如果| S（p（k））|>τ（k），我们持有n（k）和n（k）股，根据上一节中描述的交易算法计算。B、 示例-YINN和YANG选择进行测试的证券对是交易所交易基金Direxion Daily FTSE China Bull 3X ETF（YINN）和Direxion Daily FTSE China Bear 3X ETF（YANG）。这些都与同一个名为中国的市场有关，尽管前景不同。此外，由于这两个基金在市场上的杠杆率都是3倍，因此波动性更大，导致交易机会更频繁。图2显示了2011年7月1日至2015年12月31日期间这两种证券的每日收盘价。尽管杨致远基金管理公司分别在438和936交易期间对价格进行了修正，但我们在使用这些价格进行分析之前对其进行了相应的调整。首先，我们选择先前文献中使用的协整模型作为扩散函数；名称（p）=对数（p）- βlog（p）- u.0 200 400 600 800 1000 1200交易期$0 50$100$150YINNYANGFig。2、YINN和YANG0日收盘价200 400 600 800 1000 1200交易期-0.10.10.20.30.40.50.60.70.80.9图。3、根据利差函数估计的^η（k）交易开始后，我们使用上述S上的回归将价格数据拟合到我们选择的模型中，以获得训练窗口期间的^β和^u估计值。最后，利用该模型，我们回顾性地计算了训练窗口上的价差函数，并在交易窗口中使用它。如前所述，我们在训练窗口上使用构造的扩展函数来估计^η。图3显示了估计的^η（k）与交易周期的关系。我们注意到，接近零或负的^η（k）被解释为成对交易的不利条件。

也就是说，几乎无法满足| S（p（k））|>τ（k）的要求。现在，我们使用^β的知识来计算Hessian的估计值S（p（k））使用公式^S（p（k））=“”-^β（k）p（k）p（k）#。运行估算^η（k）和^S（p（k））用于计算^τ（k）。为了简化计算，在接下来的计算中，我们将黑森近似为一个常数200 400 600 800 1000 1200交易周期0。51.52.58.5图。4、使用^η、^γ（k）和Bγ（p（k））上的S（p），并使用估计值^τ（k）=（^γ2^ηp（k）T^S（p（k））p（k）如果^η>0∞ if^η≤ 0图4显示了^τ（k）随时间的趋势。y轴被打断，以更好地表示^τ（k）较低值的变化，同时捕捉偶尔的高值。请注意，^τ（k）的曲线图在k中是不连续的，间断表示^τ（k）=∞; 当^η时发生≤ 0。比较计算出的利差函数和^τ（k）的值，以确定条件是否有利于交易，如果有，则根据前一节中提出的交易规则确定持股。结果：为了评估我们的交易算法的性能，我们考虑了三种不同的场景。其中前两项对应于直接买入和持有，分别从价值10000美元的YINN证券和价值10000美元的YANG证券开始。第三种场景对应于使用我们基于阈值的算法来交易起始账户价值为10000美元的两种证券。图5显示了三种场景在考虑期间的性能。如图所示，一家仅属于杨致远的贸易商最初的利润为78%，但最终损失了近88%的账户价值。另一方面，一名交易员在看到126%的峰值收益后，单独投资于YINN，损失了41%的账户价值。

按照设计，这些证券在同一指数上分别是看涨和看跌的，在理想情况下，一个投资组合中的损失会被另一个投资组合中的收益抵消。但如图5所示，这两种情况最终都是亏损。这可以解释为ETF往往无法准确跟踪其目标，而杠杆化ETF的运作会带来额外的风险和管理费用，如【16】所述。使用我们的算法进行交易的投资组合显示60%0 200 400 600 800 1000 1200美元0 5000美元10000美元15000美元20000美元25000交易周期账户价值投资组合在Yangfig。5.与YINN和Yangprofits同期业绩相比的配对交易。同样值得注意的是，尽管证券的波动性很高，但成对交易策略的结果是最低限度的提款。投资组合显示的大部分收益与^η（k）在图3中达到高值时的周期一致，这表明未来的工作可能涉及η作为价差函数和价格数据之间的信息质量指标的有效性：更多讨论请参见第5节。此外，在YINN投资组合最糟糕的时期（900-1000），由于^τ（k）较高，这对组合从不交易。这就提出了一种可能的解释，解释了为什么我们避免了灾难性的提款，这抵消了用于比较的买入和持有交易场景中的收益。五、 结论在本文中，我们提出了一种在价格过程和所用扩散函数的较弱假设下交易一对证券的算法。在第2节所述的有界回报和均值回归假设下，我们描述了一种基于阈值的交易方案，该方案保证了会计价值的正预期增长。

为了说明交易算法在实践中的工作原理，我们提供了一对交易所交易基金的模拟结果。我们的结果显示，与可用于成分证券的替代买入并持有策略相比，增长强劲。需要注意的第一点是，本文提出的理论包括三个假设，这三个假设完全是为了简化论述。首先，我们假设只有两支股票参与价差。事实上，如果我们考虑由两支以上股票组成的价差，对账户价值的分析几乎与这里给出的相同。我们将在未来的工作中继续研究像problem这样更一般的投资组合。我们的第二个假设是，每个价格pi（k）是一个具有连续概率密度函数的随机变量。事实上，主要定理的证明可以很容易地扩展到处理只有概率测度可用的情况。最后，我们假设股票的回报是有界的。然而，即使放弃了这些假设，我们相信当回报以适当的高概率有界时，也应该能够分析这种情况，并获得类似的结果。通过未来的研究，对估计平均回归参数^η（k）的进一步研究似乎很有希望。考虑到一系列证券，通过使用培训数据观察这一变量，研究^η（k）在多大程度上是成对交易的“承诺”的预测因子将是有意义的。未来研究的第二个主题是交易频率。考虑到我们的模拟是使用每日收盘价进行的，我们有兴趣了解当价格更频繁地到达时，我们的算法是如何执行的。

应该可以使用可用的蜱虫数据进行这种性质的研究。更一般地说，可能有一些重要的优化问题与上述问题以及我们处理配对交易问题的方法相关。从实践的角度来看，在未来的分析中纳入一些考虑因素，如保证金、无风险证券和交易成本，将是很有意义的。参考文献[1]M.Whistler，《交易对：利用统计套利策略获取利润和对冲风险》。约翰·威利父子出版社，2004年。[2] E.Gatev、W.N.Goetzmann和K.G.Rouwenhorst，“配对交易：相对价值套利规则的表现”，《金融研究评论》，第19卷第3期，第797-8272006页。[3] P.Nath，“与美国国债的高频配对交易：对冲基金的风险和回报”，SSRN 5654412003。[4] Do和R.Faff，“简单的配对交易仍然有效吗？”《金融分析杂志》，第66卷，第4期，第83-952010页。[5] B.Do和R.Faff，“配对交易对交易成本是否稳健？”月。《金融研究》，第35卷，第2期，第261-2872012页。[6] G.Vidyamurthy，《成对交易-定量方法和分析》。约翰·威利父子出版社，2004年。[7] R.J.Elliott、J.Van Der Hoek和W.P.Malcolm，《成对交易》，《定量金融》，第5卷，第3期，第271-2762005页。[8] S.Mudchanatongsuk、J.A.Primbs和W.Wong，“最优对价交易：随机控制方法”，《美国控制会议论文集》，2008年，第1035-1039页。[9] B.Do、R.Faff和K.Hamza，“配对交易建模和估计的新方法”，2006年金融管理协会欧洲会议记录，2006年，第87-99页。[10] S.J.Kim、J.Primbs和S.Boyd，“动态价差交易”，未发表的工作论文，管理科学与工程，斯坦福大学，2008年。[11] A.图林和R。

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