配对交易的一般框架，控制理论点为

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英文标题：
《A General Framework for Pairs Trading with a Control-Theoretic Point of
  View》
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作者：
Atul Deshpande and B. Ross Barmish
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Pairs trading is a market-neutral strategy that exploits historical correlation between stocks to achieve statistical arbitrage. Existing pairs-trading algorithms in the literature require rather restrictive assumptions on the underlying stochastic stock-price processes and the so-called spread function. In contrast to existing literature, we consider an algorithm for pairs trading which requires less restrictive assumptions than heretofore considered. Since our point of view is control-theoretic in nature, the analysis and results are straightforward to follow by a non-expert in finance. To this end, we describe a general pairs-trading algorithm which allows the user to define a rather arbitrary spread function which is used in a feedback context to modify the investment levels dynamically over time. When this function, in combination with the price process, satisfies a certain mean-reversion condition, we deem the stocks to be a tradeable pair. For such a case, we prove that our control-inspired trading algorithm results in positive expected growth in account value. Finally, we describe tests of our algorithm on historical trading data by fitting stock price pairs to a popular spread function used in literature. Simulation results from these tests demonstrate robust growth while avoiding huge drawdowns.
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中文摘要：
配对交易是一种市场中性策略，利用股票之间的历史相关性实现统计套利。文献中现有的成对交易算法要求对潜在的随机股票价格过程和所谓的价差函数进行相当严格的假设。与现有文献相比，我们考虑了一种配对交易算法，该算法需要的限制性假设比之前考虑的更少。由于我们的观点本质上是控制论的，因此非金融专家很容易理解分析和结果。为此，我们描述了一种通用的配对交易算法，该算法允许用户定义一个任意的价差函数，该函数在反馈上下文中用于随时间动态修改投资水平。当该函数与价格过程相结合，满足某种均值回归条件时，我们将股票视为可交易对。在这种情况下，我们证明了我们的控制激励交易算法会导致账户价值的正预期增长。最后，我们通过将股票价格对拟合到文献中常用的价差函数，描述了我们的算法在历史交易数据上的测试。这些测试的模拟结果表明，在避免大幅下降的同时，增长强劲。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_General_Framework_for_Pairs_Trading_with_a_Control-Theoretic_Point_of_View.pdf (169.37 KB)

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关键词：控制理论 Applications Quantitative Econophysics Statistical

从控制理论的角度来看，配对交易的一般框架Atul Deshpande和B.Ross BarmishAbstract-配对交易是一种市场中立的策略，它利用股票之间的历史相关性来实现统计比率。文献中现有的成对交易算法要求对潜在的随机股票价格过程和所谓的价差函数进行相当严格的假设。与现有文献不同，我们考虑了一种配对交易的算法，该算法需要的限制性假设比之前考虑的更少。由于我们的观点本质上是控制论的，因此非金融专家可以直接遵循分析和结果。为此，我们介绍了一种通用的配对交易算法，该算法允许用户定义一个任意的价差函数，该函数在反馈上下文中用于随时间动态修改投资水平。当该函数与价格过程相结合，满足某种均值回归条件时，我们将股票视为可交易对。在这种情况下，我们证明了我们的控制启发交易算法可以实现预期的账户价值正增长。最后，我们通过将股票价格对与文献中常用的价差函数相匹配，描述了我们的算法对历史交易数据的测试。这些测试的模拟结果证明了稳健的增长，同时避免了大幅下降。一、 简介成对交易算法是一种市场中立策略，它利用股票之间的历史相关性实现理论套利。这类算法通常涉及在两个组成股票中持有互补头寸；i、 例如，做多一只股票，做空另一只股票。当股票价格在其他方面与历史相关，暂时偏离其已证实的行为时，就会发生这种情况。

在这种情况下，交易者押注价格将以一种方式移动，以恢复其历史关系。相关/配对股票的例子包括交易所交易基金（ETF）、某些货币对或同行业公司的股票，如家得宝和Lowes或沃尔玛和Target。文献（如[1]–[5]）涉及配对交易的更多实际细节，并考虑了配对交易方法的表现，包括交易成本对可操作性的影响。[6]中提出了两个股票价格对数之间的协整模型，其结果用于确定利差偏离均衡的幅度，这反过来会触发对上的适当多头/空头头寸。Atul Deshpande是威斯康星州麦迪逊市威斯康星大学电气与计算机工程系的一名研究生，正在攻读博士论文，邮编：53706。阿图尔。deshpande@wisc.eduB.Ross Barmish是威斯康星州麦迪逊市威斯康星大学电气与计算机工程系的教员，邮编53706。上下快速移动barmish@wisc.eduIn[7]和[8]中，股票价格之间的对数关系被建模为一个Ornstein-Uhlenbeck（O-U）过程。[9]中的连续时间设置中，股票价格的价差函数使用了相同的模型。然而，这种情况下的分布是股票回报的函数，而不是股票价格本身。虽然目前讨论的文献只涉及一对股票的一个利差，但参考文献[10]涉及多个利差，每个利差涉及一篮子基础证券。

假设上述各利差均为独立的O-Uprocess模型，本文提出了各利差之间的最优投资分布。最近的一些论文，如[11]和[13]中的协整模型，建立在扩散函数的协整模型基础上，设计了一种对价交易的随机控制方法。总而言之，迄今为止发展的理论的巨大优势要求对基础股价过程和利差函数做出相当具体的假设。与上文讨论的现有文献不同，本文描述的工作不仅适用于[8]–[10]和[13]中所述的一种特定的价差逆转模型。此外，我们没有将利差限制为【6】、【8】、【10】和【11】中所述的基础股票价格的特定函数，也没有对【11】中所述的基础股票价格作出任何假设。我们提出了一个通用框架，该框架适用于基础股票价格的任意利差函数，前提是它满足均值回归的最低要求，如下一节给出的预期条件所示。像OrnsteinUhlenbeck过程这样的流行模型满足我们的条件。A、 控制理论观点本文属于控制理论概念在股票交易中应用的新兴研究领域；有关相关文献的概述，请参见[12]及其参考书目。同时，我们注意到，关于控制理论在对价交易中的应用，几乎没有人提及。我们针对当前问题的设置如图1所示。控制器处理股票价格对（p（k），p（k））以创建交易所基于的价差函数S（p（k））。

控制人确定每个交易期间各自股票中持有的股份数量（n（k），n（k））。我们的控制器的一个理想特性是确保在每个步骤中账户价值的积极预期变化。在下面的部分中，我们陈述了我们关于市场和构成可交易对的股票的假设。吉文菲。1、配对交易作为一个随机反馈控制问题在这些假设下，我们提供了一个交易算法，并证明它会导致账户价值的正预期增长。我们通过使用文献中经常使用的扩散函数，在历史数据上进一步测试该算法，并在模拟中看到稳健的增益和较低的下降。二、配对交易的一般框架在本节中，我们陈述了我们对市场和股价过程的假设。我们进一步定义了均值回复分布，并提供了一种交易算法，当投资者持有股票头寸时，该算法可以确保每一步的账户价值都会有积极的预期增长。A、 理想化市场假设交易者假设在以下理想化市场条件下工作。这些要求与[14]年前在“无摩擦市场”背景下的金融文献中使用的要求几乎相同，并在此后的许多论文中使用。零交易成本：交易员不会产生任何交易成本，如经纪佣金、交易费或买卖股票的税费。价格接受者：交易者是一个小到不会影响股票价格的价格接受者。完美的流动性条件：买卖价格之间没有差距，交易员可以按照当前交易价格买卖任意数量的股票，包括部分股票。价格、有界回报和密度函数：考虑中的股票具有严格的正价格p（k）和p（k）。

此外，假设价格向量p（k）具有交易者未知的连续概率密度函数。对于随机股票价格过程p（k）=p（k）p（k）当i=1，2时，pi（k）>0时，第k周期内第i支股票的回报由xi（k）给出=pi（k+1）- pi（k）pi（k）对于i=1，2。最后，我们假设有界回报。也就是说，有一个常数0<γ<1，这样| Xi（k）|≤ γ，对于i=1，2。B、 均值回复价差函数假设为了激励定义的遵循，我们假设一对股票由价格过程p（k）表示，如果我们能够定义函数S（p），使价格过程的动态导致S（p（k））沿样本路径均值回复，则将其视为可交易对。也就是说，扩散函数的变化S（k）。=S（p（k+1））- 预计S（p（k））会降低扩展函数的绝对值。例如，当S（p（k））沿一条简单路径为正时，我们预计其组成股票的价格动态将迫使S（p（k））减少并向Szero移动，其“拉力”与其离零的距离成比例。在接下来的正式定义中，这表现为存在一些η>0的假设，即当S（p（k））>0时，E[S（k）| S（p（k））]≤ -η| S（p（k））|。类似地，当S（p（k））<0时，我们期望对称行为，即E[S（k）| S（p（k））]≥ η| S（p（k））|。在上述表达式中，常数η代表扩散函数的反转程度。

预期的“拉力”方向旨在减少价差，并且随着价差值越来越偏离零，拉力的大小会越来越大。定义：给定的两次连续可微函数S：（0，∞) ×（0，∞) → 如果存在一个常数η>0，使得条件期望条件E[符号（S（p（k）），则无固定点的R被认为是价格过程p（k）的均值回复S（k）| S（p（k））]≤ -η| S（p（k））|满足。C.交易算法在上述假设和定义到位的情况下，我们现在描述一种交易这对股票的算法。为此，设V（k）为第k阶段交易账户的值，初始值为V（0），取S（p（k））是关于在p（k）处评估的价格p的扩散函数的梯度向量。定义|S（p（k））|作为该向量元素绝对值的向量。设L>0为允许的杠杆因子，即允许交易者在绝对值上投资LV（k）。交易阈值：我们首先描述p（k+1）在上一节所述的有界回报消费下可以获得的所有可能价值的集合。注意| pi（k+1）- pi（k）|≤ γpi（k）。并观察到p（k+1）包含在setBγ（p（k））中{p：| pi- pi（k）|≤ γpi（k）对于所有i}，我们选择交易阈值（p（k）的函数）为τ（k）=2η最大值∈Bγ（p（k））（p- p（k））TS（p）（p- p（k））哪里S（p）是扩散函数的Hessian。基于阈值的交易算法：向量n（k）表示交易员在第k阶段持有的股票数量，ni（k）表示第i阶段持有的股票数量。以下规则具体说明了交易员持有的股票：在有利的交易条件下，以| s（k）|>τ（k）为特征，我们取（k）=-λ（k）符号（S（p（k）））S（p（k）），其中λ（k）=LV（k）|S（p（k））| Tp（k）是一个正常数。

否则，我们取（k）=0。回想一下，由于S没有固定点，因此λ（k）一直定义得很好。请注意，理想化市场允许交易部分股票，负ni（k）表示做空第i个股票中的那么多股票，而正值表示交易者必须购买同样多的股票。另一方面，n（k）=0意味着交易者选择不持有股票中的任何头寸。上述公式保证，当| S（p（k））|>τ（k）时，交易者在经纪人允许的限额内全部投资，总投资额为| n（k）| Tp（k）=LV（k）。对于L=1的特殊情况，交易员被称为自我融资。在k+1阶段，账户价值V（k+1）根据上述交易算法分布在股票中，但以价差S（p（k+1））作为输入变量。备注：k-thinterval期间账户价值的变化评估为V（k）=V（k+1）- V（k）=nT（k）p（k）其中p（k）。=p（k+1）- p（k）是第k周期内价格向量的变化。在下一节中，我们将展示上述交易算法可使账户价值实现正预期增长。三、 主要结果根据我们的交易算法，对于所有k，例如S（p（k））≤ τ（k），交易者在股票中不持有任何头寸，因此V（k）=0。以下定理是本文的主要结果，它告诉我们，当条件有利于交易时，计数值的预期变化必须为正。定理（正预期增长）：设（p（k），p（k））为有界收益的股价对| Xi（k）|≤ γ，对于i=1，2和相关的扩散函数S（p），其相对于样本路径p（k）是均值回复的。然后，具有阈值τ（k）的交易策略保证了账户价值的预期变化，V（k），对所有k都是正的，对于所有k都是正的。

也就是说，对于所有k，使得p（| S（p（k））|>τ（k））>0，它遵循V（k）|S（p（k））|>τ（k）> 0.A.正预期增长理论的证明我们首先陈述并证明了一个初步引理，该引理将随后用于定理的证明：引理（有界近似误差）：沿着样本路径p（k），第k周期内扩展函数的变化与其线性近似之间的差有界S（k）- [S（p（k））]Tp（k）≤ ητ（k）。证明：我们考虑给定价格变化向量的扩散函数的一阶泰勒级数价格点p（k）的p；i、 e.，S（p（k）+p） =S（p（k））+[S（p（k））]Tp+R(p） 其中错误项R(p） 是一阶拉格朗日余数。根据泰勒-拉格朗日公式[15]，存在一个价格点p*和常数0<h*< 1，以便*= p（k）+h*p、 接下来就是R(p） =S（p（k）+p）- S（p（k））- [S（p（k））]Tp=pT公司S（p*)p、 回顾价格向量的变化p（k）虽然先验未知，但有界，p（k+1）的可能值范围仅限于之前定义的集合Bγ（p（k））。此未知的错误项因此，p（k）以| R为界(p（k））|≤最大值∈Bγ（p（k））（p- p（k））TS（p）（p- p（k））= ητ（k）。回顾以下公式：S（k）和上述边界R(p（k）），我们得到S（k）- [S（p（k））]Tp（k）≤ ητ（k）。定理的证明：回顾会计价值的变化V（k）=nT（k）当| S（p（k））|>τ（k）时，用上一节定义中的n（k）代替p（k），V（k）=-符号（S（p（k）））λ（k）[S（p（k））]Tp（k）.由于我们只想证明账户价值预期变化的符号为正，且λ（k）>0是给定k的常数，而不丧失一般性，因此假设λ（k）=1。

因此V（k）=-符号（S（p（k）））[S（p（k））]Tp（k）.根据有界逼近误差引理，我们确定了有界S（k）- ητ（k）≤ [S（p（k））]Tp（k）≤ S（k）+ητ（k）。利用这些不等式，我们得到了符号（S（p（k）））[S（p（k））]Tp（k）≤ 符号（S（p（k）））S（k）+ητ（k）。对S（p（k））两边的期望求反并取其为条件，会导致以S（p（k））为条件的预期账户价值变化的下界，即V（k）S（p（k））= -E符号（S（p（k）））[S（p（k））]Tp（k）S（p（k））≥ -E[符号（S（p（k）））S（k）| S（p（k））]- ητ（k）。现在调用S（p（k））上的均值回归假设，我们得到V（k）S（p（k））≥ -E[符号（S（p（k）））S（k）| S（p（k））]- ητ（k）>η（| S（p（k））|- τ（k））。设fS（p（k））（s）是由p（k）诱导的可能不连续的s（p（k））上的概率密度函数。由于P（| S（P（k））|>τ（k））>0，setIτ（k）。={s：| s |>τ（k）和fS（p（k））（s）>0}是长度非零的非空。因此V（k）S（p（k））> 所有S（p（k））为0∈ Iτ（k）并利用总期望定律，我们得到V（k）|S（p（k））|>τ（k）=Zs公司∈Iτ（k）EV（k）S（p（k））fS（p（k））（s）ds>0。四、 模拟和结果在本节中，我们首先描述我们的一般模拟设置。然后，我们使用一对候选证券和扩散函数，并使用历史数据模拟我们的交易算法。最后，我们给出并讨论了结果，并比较了我们的算法在购买和持有组合证券策略方面的性能。接下来的所有模拟均使用杠杆系数L=1；也就是说，我们假设有一个自融资账户。此外，该算法确保交易者在股票中持仓时充分利用杠杆。A、 模拟设置为了在历史数据上测试我们的算法，我们首先选择配对交易的候选证券和候选分布函数。