自动赎回权责发生制票据估值的半解析方法

更详细地说，试样在时间τa<T，P（τa）的概率由以下公式得出：P（τa）=N（d（τa），C），di=log（\'Si/ci）+（\'r- \'qi（τa）- \'\'σi（τa）/2）τa\'\'σi（τa）√τa，i=1，2，（31）C=1ρρ（32）式（17）中给出了“r”、“qi（τa）和”σi（τa），其中τk=τa。在0到τ期间，支付优惠券的总天数为：N=τXτa=1P（τa）。（33）同样，我们可以获得第二个应计期的息票日数公式。唯一的区别是，现在除了两项资产都高于应计障碍的条件外，我们还有一个条件，即工具在时间τ没有自动调用。一般来说，在第k个应计期的时间τ支付息票的概率是指工具在第一个k未自动调用的联合概率- 观察时间和两项资产在时间τa时均高于应计障碍。通过ECτa表示资产在时间τa时高于应计障碍的事件，并使用第3.1节中的符号，可以表明：-1，k（τa）=k-1Xs=0Xσs∈Ck公司-1秒(-1） sPs\\j=1’Eσs（j）∩ ECτa！，（34）我们再次使用公约：∩j=1'Eσ（j）∩ ECτa=ECτa。方程式（34）可以类似方程式（9）重写为：Pk-1，k（τa）=EK-1Xs=0Xσs∈Ck公司-1秒(-1） s2s+2（▄Xσs>bcσs）, （35）式中，Xσ是向量：[X1，σs（1），X2，σs（1），…，X1，σs（s），X2，σs（s），s（τa），s（τa）]，bcσ是向量：[b1，σs（1），b2，σs（1），…，b1，σs（s），b2，σs（s），c，c]。通过▄Cσs（τa）表示使用方程（17）-（22）构造的协变矩阵，乘以τσs（1），τσs（s），τa，并用dσ表示使用势垒向量bcσs构造的相应数量不等式（22），我们可以写：Pk-1，k（τa）=k-1Xs=0Xσs∈Ck公司-1秒(-1） sN2s+2（▄dσs，▄Cσs（τa））。（36）对于第k个应计期内的息票支付天数，我们得出：Nk=τkXτa=τk-1+1Pk-1，k（τa）。

（37）为了计算优惠券对总支付的贡献，我们需要考虑折扣因素，因为我们假设在观察时间支付优惠券。请注意，团队支付的概率已经包括达到该应计期的概率。因此，总息票贡献由以下公式得出：V CM=γMXs=1e-\'rsτsNs，（38），其中γ是息票的日利率。推导过程类似于方程式（4）。请注意，在实践中，在相应的观察日期后不久有一个单独的付款日期。4应用123.5总支付额为简单起见，假设工具在自动调用的情况下100%赎回（这在现实中很常见），我们获得的总支付额为：Vtot=Vmaturity+M-1Xk=1e-\'rkτkPk+V CM（39），其中我们已从方程（26）中替换Pmatf。4应用在本节中，我们概述了所开发的形式主义的一些应用。我们从纯权责发生制工具的最简单情况开始。4.1纯应计工具我们在本小节中考虑的纯应计工具具有以下特点：–如果在交割时两项资产都超过应计障碍ci，则按利率γ支付每日息票–在到期时（时间τm），如果两项资产都超过发行时的现货价格的一定百分比κ，则按100%赎回。如果至少有一项资产低于κ'S，则该工具仅支付与最低比率Si/'Si成比例的一部分。显然，这是我们在删除自动调用选项后考虑的通用工具。在这种简单的情况下，第3节的半解析方法尤其有效。

优惠券通过方程（31）、（33）中的第一周期公式计算，其中τa=τm，而到期时的付息则通过方程（30）计算，其中Pup=N（～d（τm），C），（40），其中方程（31）中给出的ci和～d（τm）中给出的ci为：di=log（～Si/ci）+（～r- \'qi（τm）- \'\'σi（τm）/2）τm\'\'σi（τm）√τm，i=1，2，（41），式中，\'r，\'qi（τm）和'σi（τm）由方程（17）给出，其中τk=τm。4应用134.2双指数范围应计自动可计工具在本节中，我们比较了半分析（SA）方法和标准蒙特卡罗（MC）方法的效率。由于SA问题的维数随自动调用日期的数目线性增加，我们考虑了一个自动调用日期和两个范围累计期的情况。因此，我们的问题是四维的，我们仍然需要依赖数值方法来估计累积分布。为了进一步简化分析并便于比较，我们简化了到期时的薪酬。如果两个基础性能均高于最终屏障κ（如前所述），工具将支付100%的费用，但如果不满足此条件，而不是弥补更差的性能：minS/S，S/S分数，仪器以κ×100%赎回。方程式（30）则简化为：V饱和度=Pup+κPdown。（42）息票支付的描述与第3.4节中的描述相同。表1给出了数值示例中使用的波动率σi、股息收益率qi、利率r和相关系数ρ。此外，最终屏障设置为60%（κ=0.60），每日应计率为（15/365）%（γ=0.15/365）。

每个应计期的长度为一年，因此：τ=1和τ=2。σiqirρ0.25 0.005 0.01 0.780.20 0.007 0.01 0.78表1：数值示例中使用的波动率σi、股息收益率qi、利率r和相关性ρ。为了比较算法的效率，我们比较了运行时间T作为绝对误差的函数. 结果图如图1所示。圆点对应SA方法，而方形点代表MC数据。正如人们所料，运行时间T因为MC算法随着~ 1个/虽然可以忽略 < 0.01，它迅速增加到~ 10秒，用于 = 5.0×10-4、另一方面，同样的方法有一个稳定的计算时间T~ 4s，用于 < 2.0×10-TheSA和MC曲线相交于 ≈ 0.7×10-3、使用theSA方法提高精度的优势 < 0.7×10-3是显而易见的。例如，计算 = 2.0×10-4将需要运行MC模拟~ 60秒，而SA方法可以达到相同的精度~ 5秒，是12的一个因数。显然，比较取决于5个结论14^E^E^E^E^E^E企??????0.0030.004; ETEHSL企SA图1：运行时间T的曲线图以秒为单位，作为绝对误差的函数. 圆形的红色dost代表SA结果，而方形的蓝色dost对应MC数据。实现和参数的选择。为了进行比较，我们使用MatLab对这两种方法进行了比较。Monte Carlo部分使用矢量化MC算法，SA方法使用内置的MatLab累积分布函数。SA方法的另一个明显优点是在估计仪器灵敏度方面具有更高的精度。大多数希腊人都可以推导出半解析表达式，这使得他们的计算只需要有限的数值效果。

这显然不是MC方法的情况，MC方法通常依赖于数值差异。最后，正如我们在本节开头所指出的，问题的维数随着自动调用次数的增加而线性增加。因此，预计在某个时候，MC方法将更加有效。然而，如果在MC方法中难以分析敏感性，SA方法可能仍然更有效。5结论本文对相关文献做出了一些贡献。我们的主要成果是开发了一种半分析性估值方法，证明了嵌入范围权责发生制结构的自动赎回工具的估值公式15。我们的方法包括与时间相关的参数，因此大大方便了从业者。在此过程中，我们将参考文献[4]中的多资产、多周期二进制文件的估值公式扩展到时间相关参数的情况，据我们所知，这是一个新的结果。这项工作的另一个优点是比较了直接蒙特卡罗方法和半解析方法。我们的比较表明，半解析方法在更高精度下更具优势，并且可能比蛮力蒙特卡罗方法快一个数量级。当计算仪器的灵敏度时，半分析方法也特别有用。人们普遍认为，敏感性计算往往比工具价格本身更重要，因为它们有助于正确的工具套期保值。最后，我们的工作可以作为一个起点，对与范围应计自动赎回工具相关的更复杂结构进行建模。

此外，尽管给出了二维情况下的数值示例和所给出的公式，但可以使用此处给出的关键公式轻松编写公式的多资产和多周期推广。致谢：我们要感谢Bojidar Ibrishimov批判性地阅读了手稿。估价公式的完整性证明我们提供了公式（23）的证明。我们的证明遵循参考文献[4]中概述的步骤。使用定义（6）、（18）和方程（15），很容易得到：logXA=log XA+Au+A∑Z。（43）此外，对数函数的单调性意味着：m（S XA>S a）=1m（S log XA>S log a）=1m（B Z<B）（44），其中：B=-S A∑，（45）b=S（对数xA/A+Au）。（46）现在我们使用参考文献[4]中的引理（我们将证明其完整性）：引理1。如果B是秩为m的m×n矩阵≤ n和Z是估值公式16的随机unitA证明，长度为n的变量向量具有相关矩阵R。然后：E{1m（B Z<B）}=Nm（D-1b，D-1（B R BT）D-1） ，（47）式中：D=pdiag（B R BT）。（48）将引理1应用于方程式（45）中给出的B和B，我们得到：D=diag（SA∑R∑TATS）=diag（A∑R∑AT）=diag（AΓAT），D-1（SA∑）R（ATS）D-1=S D-1A∑R∑ATD-1S=S C S，D-1b=S D-1（log xA/a+a.u）=S d，（49），其中我们使用了S和d是对角线和通勤，Si，i=1。将关系式（49）代入方程（47），我们得到方程（23）。现在，让我们证明引理1：证明：让我们将m×n矩阵B完成为n×n非奇异矩阵B。我们写：B=BB型⊥, （50）其中B⊥是一个（n- m） ×n矩阵，我们将在下面指定。考虑相关矩阵R的Cholesky分解：R=U UT。（51）下一步，我们通过▄B=▄B U，用U变换矩阵▄B，这意味着：B=B U，（52）B⊥= B⊥U（53）由于B具有秩m，而U是可逆的，因此Balso具有秩m。

因此，我们不能认为基本独立- 列向量。跨越anm维子空间Lm。我们总是可以自由选择B⊥成为n的矩阵-m独立n-跨越Lm正交完备的列向量。选择B⊥暗示：B⊥R BT=B⊥U（B U）T=B⊥BT=0，（54）接下来，我们应用变换Y=▄B Z。随机向量Y的协方差矩阵由：C=▄B R▄BT给出=B R BT0 B⊥R BT⊥, （55）参考文献17，其中我们使用了方程式（54）。定义：Y | |=B Z，Y⊥= B⊥Z，（56）条件1m（B Z<B）变为1m（Y |<B）。此外，Y因式分解的概率密度函数：ρ（Y）=（2π）n/2qdet（▄B R▄BT）exp-YT（▄B R▄BT）-1年==（2π）（n-m） /2pdet（B⊥R BT⊥)经验值-年初至今⊥（B）⊥R BT⊥)-1年⊥××（2π）m/2pdet（B R BT）exp-YT | |（B R BT）-1年||== ρ⊥（Y）⊥) ×ρ| |（Y | |）（57），因为没有对Y施加任何条件⊥ρ上的积分⊥（Y）⊥) 我很团结。剩下的是ρ| | |（Y | |）上的积分，经过正规化后：Y⊥→ D-1/2年⊥给出等式（47）。参考文献【1】M.Bouzoubaa和A.Osseiran（2010）。”《异国情调期权和混合动力汽车结构、定价和交易指南》，2010年约翰·威利父子有限公司，[2]P.格拉斯曼（2003年）《金融工程中的蒙特卡罗方法》，2003年斯普林格，[3]R.Korn、E.Korn和G.Kroisant（2010年）金融和保险中的蒙特卡罗方法和模型”，2010年Taylor and Francis Group，LLC，[4]Max Skipper和Peter Buchen（2009年）。”布莱克-斯科尔斯经济中多资产、多时期二进制文件的估值公式”。ANZIAMJournal，50，第475-485页。内政部：10.1017/S1446181109000285，[5]J.赫尔（2015）。”期权、期货和其他衍生品，第9版。”，2015、2012、2009皮尔逊教育[6]P.Zhang（1998）。”奇异选项，2ed。“，1998年《世界科学》[7]R.c.Heynen和H.M.Kat（1996）。”《风险杂志》，9（6）。