自动赎回权责发生制票据估值的半解析方法

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《A Semi-Analytic Approach To Valuing Auto-Callable Accrual Notes》
---
作者：
V. G. Filev, P. Neykov, G. S. Vasilev
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  We develop a semi-analytic approach to the valuation of auto-callable structures with accrual features subject to barrier conditions. Our approach is based on recent studies of multi-assed binaries, present in the literature. We extend these studies to the case of time-dependent parameters. We compare numerically the semi-analytic approach and the day to day Monte Carlo approach and conclude that the semi-analytic approach is more advantageous for high precision valuation.
---
中文摘要：
我们开发了一种半解析方法来评估具有权责发生制特征的自动赎回结构，该结构受障碍条件的约束。我们的方法基于文献中对多资产二进制文件的最新研究。我们将这些研究扩展到时间相关参数的情况。我们对半解析方法和日常蒙特卡罗方法进行了数值比较，得出结论，半解析方法更有利于高精度估值。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
-->

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：权责发生制 赎回权 Quantitative derivatives Monte Carlo

评估自动可赎回应计票据价值的半分析方法v。G、 文件V*1,3，P.Neykov+2，和G.S.Vasilev1,4R＆D，CloudRisk Ltd，Narodno Subranie 9，1000 So fia，BulgariaHQ，CloudRisk Ltd，308 Spice Quay Heights，32 Shad Thames，London，SE1 2YL，United KindomSchool of theory Physics，Dublin Institute for Advanced Studies，10 Burlington Road，Dublin 4，IrelandDepartment of Physics，So fia University，James Bourchier 5 blvd，1164 So fia，BulgariaAbstracts我们开发了一种半解析方法来评估具有权责发生制特征的可自动赎回结构，该结构受障碍条件的约束。我们的方法基于文献中对多资产二进制文件的最新研究。我们将这些研究扩展到时间相关参数的情况。我们对半解析法和逐日蒙特卡罗法进行了数值比较，得出半解析法更有利于高精度估值的结论。*维塞林。filev@cloudrisk.co.uk；五、lev@stp.dias.ie+plamen。neykov@cloudrisk.co.ukgenko。vasilev@cloudrisk.co.uk；gvasilev@phys.uni-so FIA.bg1简介2内容1简介22工具33半分析法43.1指标函数和常用符号。43.2随时间变化的估价公式。73.3自动呼叫概率和最终支付。83.4息票出资。103.5支付总额。124应用124.1纯应计工具。124.2双指数范围应计自动调节工具。135结论14A估值公式的证明151简介自动赎回结构在结构化产品领域非常流行。在自动调用结构的顶部，通常会添加与利息支付相关的功能。

因此，将范围累计工具和自动看涨期权相结合，不仅会产生有趣的条件动态，而且会给出一个典型结构化产品参考文献[1]的示例。除了息票的强路径依赖性之外，工具的最终赎回也变得依赖于路径。有趣的是，在布莱克-斯科尔斯的世界里，人们可以得到一个封闭形式的表达式来表示这种导数的支付。另一方面，我们也可以依赖一种直接的蒙特卡洛（MC）方法参考文献[2]。通常，嵌入在工具中的利息支付功能每天都会累积固定金额，与基础利率的某些触发水平相关。评估此类工具的标准方法是每日MC模拟。本文的目标是提出另一种半分析方法（SA），在某些情况下，该方法的性能明显优于蛮力日常MC评估参考文献[3]。正如我们将要展示的那样，自动调用概率评估的复杂性随着仪器的观察次数呈线性增长，人们可以预期，在某个时候，MC方法将变得更加有效。然而，即使在这些高维情况下，半分析方法也能更好地控制仪器的灵敏度，因为与MC方法相比，它不依赖于数值差异。一个相关的问题是，上述方法（即SA与MC）的优缺点是什么。我们通过彻底的数字调查来解决这个问题。从技术上讲，我们的工作主要基于参考文献[4]，其中提供了多资产、多时期二进制文件的估价公式。除了将这些研究应用于自动赎回和范围权责发生制结构之外，我们还扩展了ref的主要结果。

[4] 对于与时间相关的参数：波动率、利率和股息收益率。本文的结构如下：在第二节中，我们首先简要描述了我们正在研究的衍生工具的类型。在第三节中，我们发展了准解析方法，将参考文献[4]的结果推广到依赖时间的确定性参数的情况，得到了多元累积正态分布下提前赎回概率的表达式。在这种方法的基础上，我们获得了到期支付的类似表达式，但需符合详细的条件。此外，我们将优惠券的收益计算为多变量障碍期权（参考文献[5]），使用开发的SA方法以多变量累积正态分布（参考文献[6]）表示后者的收益。最后，在第四节中，我们将我们的方法应用于具体示例。从数值上实现了SA和MC方法，并证明了将SA方法应用于低维系统的优势，尤其是在需要高精度估值的情况下。2工具在本文中，我们分析了一种结合了范围累计优惠券和自动看涨期权特点的工具该工具与两个相关资产和S的绩效相关联。该工具的观测次数为M，T，商标。如果在观察期内，两项资产同时高于某些障碍bi，则工具将100%赎回。这是自动呼叫条件。为了将估价时间移到零，我们定义τ=T-并讨论观测时间τ，τ。

，τM。据我们所知，文献中尚未给出时间相关参数的闭合公式。3半分析法4–在观察时间内，工具支付的息票与前一个观察时间和当前之间的天数成比例，在此期间，两项资产Si均高于某些障碍ci如果该工具到期，如果两项资产在发行时均高于其现货价格的一定百分比κ，则该工具将100%赎回。如果至少有一部分资产低于κ'S，则该工具仅按比例支付最低比率Si/'Si的一部分。3半解析法本节我们概述了我们的半解析法。我们首先提供一个自动调用概率的公式。3.1指标函数和常用符号在不丧失通用性的情况下，假设自动调用结构有两个基础。在一组日期上施加与自动调用功能相关的触发条件。如果在观察日从未违反自动调用触发器，则自动调用结构在其最终到期日到期。在相反的情况下，如果其中一个自动调用触发器已被违反，则工具将在该特定日期自动调用并具有到期日。让我们用pk表示在观察时间自动调用的概率τk。注意，这意味着在以前的观察时间，两种资产的现货价格从未同时高于壁垒bi。

我们介绍了以下符号：Xi，klabels在观测时间τk处资产的即期价值。如果概率空间(Ohm, z、 P）给出，andA∈ z、 指标函数定义为E（1A）=P（A）。使用上述定义，对于n个基础指数的一般情况，时间τk的自动调用概率由与指标函数的某些概率度量Q相关的期望给出：Pk=EQ（X1，1<b1，1）∪（X2，1<b2，1），（X1，2<b1，2）∪（X2，2<b2，2）。。。，（X1，k<b1，k）∩（X2，k<b2，k）.（1） 为了简化符号，以下我们将省略概率度量Q。对于两个基础的情况，我们还可以定义第一个观察时间的概率或估值日。3半分析法5，仪器在前k次观察时间后不会自动调用：(R)Pk=E（X1，1<b1，1）∪（X2，1<b2，1），（X1，2<b1，2）∪（X2，2<b2，2）。。。，（X1，k<b1，k）∪（X2，k<b2，k）.（2） 请注意，在每次观察时，我们都有一个以上的可能性反映在∪ 活动例如事件（X1，1<b）∪ （X2，1<b）可分为三种情况（X1，1<b）∩ （X2，1<b），（X1，1<b）∩ （X2，1>b），（X1，1>b）∩ （X2，1<b）。如果我们定义X1，s=X1，s/b1，砂X2，s=X2，s/b2，s，我们可以做得更好。然后是条件（X1，1<b1，1）∪（X2，1<b2，1）可分为两种情况（￠X1，1<1）∩（▄X1，1▄X-12，1<1），（▄X2，1▄X-11，1<1）∩（X2，1<1）。因此，为了评估“PK”，我们需要将超过2k个可能的场景相加，每个场景包含2k个条件。这需要对2k个不同的2k维累积多元正态分布进行求和[4]，这在计算上对k的大值来说是压倒性的。

幸运的是，使用deMorgan规则，我们可以大大降低计算成本。让我们用事件（X1，i<b）来表示∪ （X2，i<b），则事件ei被写入单个场景（X1，i>b）∩ （X2，i>b）。使用众所周知的概率关系p\\ni=1Ei=XiP（Ei）-Xi，jP（Ei∪ Ej）+Xi、j、kP（Ei）∪ Ej公司∪ Ek）+…+(-1） nP公司[ni=1Ei和德摩根定律[ni=1Ei=\\ni=1可以显示“Pk=Pk\\s=1Es！=1+kXs=1Xσs∈Cks公司(-1） sPs\\j=1’Eσs（j）！。（3） 其中，第二个和是k个元素的全部组合（按升序排序）-th类，Cks。请注意，还有2k个不同的术语，但只有最后一个术语是2k维的。通常，2s维项的数量为堪萨斯州.3半解析法6本着同样的精神，我们可以获得自动调用概率Pk的公式：Pk=k-1Xs=0Xσs∈Ck公司-1秒(-1） sPs\\j=1’Eσs（j）∩？Ek！，（4） 我们使用约定的地方：∩j=1'Eσ（j）∩\'Ek=\'Ek。方程（3）和（4）可以根据指标函数重写。对于紧凑性，可采用参考文献[4]中的符号。我们引入了一种多指数表示法，用xit表示元素Xi，s，其中I=1，n和n是所有观察到的资产价格的数量。在方程（1）中考虑的情况下，我们有n=2 k。使用字典顺序，我们可以使映射显式化：（i，s）→ I=I[I，s]=2* （s）- 1） +i（5），其中我们使用i=1，2。接下来，我们定义以下符号：（XA）j=XAj1。XAjnnj=1，m，（6），其中m是势垒条件数，A是n×m矩阵。使用这些符号，一般指标函数可以写成：m（S XA>S a）（7），其中a是障碍向量，考虑到不同类型的不平等，我们引入了m×m对角矩阵S，其对角元素的值为±1（“+”，表示“>”和\'-’ 对于“<”）。

方程式（3）、（4）现在变为：(R)Pk=E1+kXs=1Xσs∈Cks公司(-1） s2s（XA（σs）>b（σs））, （8） Pk=EK-1Xs=0Xσs∈Ck公司-1秒(-1） s2s+2（X▄A（σs）>▄b（σs））, （9） 其中，A（σs）、b（σs）、~A（σs）、~b（σs）分别是2k×2s、1×2s、2k×2（s+1）、1×2（s+1）矩阵。它们的非零项是：A（σs）I[I，σs（j）]，I[I，j]=1，（b（σs））I[I，j]=bi，σs（j），（10）~A（σs）I[I，σs（j）]，I[I，j]=1，（~b（σs））I[I，j]=bi，σs（j），（11）对于I=1，2和j=1，sA（σ）I[I，k]，I=1，（￠b（σ））I=bi，k，对于I=1，2。（12） 在等式（10）中，我们使用了映射（5）。请注意，组合σ按升序排序是至关重要的。3半分析法73.2依赖时间的估值公式如果我们局限于时间独立的确定性参数（利率、股息收益率、波动率），我们可以直接应用从inref导出的公式。[4] 计算方程式（8）和（9）中的指示器函数。然而，在处理长仪器时，这是一个非常粗糙的近似值。这就是为什么我们将参考文献[4]的结果扩展到与时间相关的情况。起点是用几何布朗运动对资产Si的动力学进行建模：dSiSi=（r（s）- qi（s））ds+σi（s）dWi（s），（13），其中Wiare将布朗运动与相关系数ρij相关联。实际上，方程（13）的积分形式是：Si（τ）=S（0）iexpτZr（s）- 合格中介机构-σi（s）ds+τZσidWi（s）（14） 对于Tkwe可以写入的资产i：logXi，k=log Xi+？ri，k- \'qi，k-(R)σi，kτk+(R)σi，k√τkZi，k，（15）其中Zi，kis由：Zi，k=(R)σi，k给出√τkτkZσi（s）dWi（s）（16）和'ri，k=τkτkZds ri（s），'qi，k=τkτkZds qi（s），（17）'σi，k=τkτkZdsσi（s）。根据参考文献[4]，我们确定了数量：u=？ri，k- \'qi，k-(R)σi，kτk，∑=诊断（(R)σi，k√τk）。（18） 3半解析方法8，是时间独立情况下相应定义的直接概括[4]。

更重要的是相关矩阵的表达式，定义为：R（i，k）（j，l）≡ hZi，k，Zj，li。（19） 利用方程（16）和公式：*τZσi（s）dWi（s），τZσj（r）dWj（r）+=ρijmin（τ，τ）Zσi（τ）σj（τ）dτ，（20）我们得到：r（i，k）（j，l）=ρij√τkτl′σi，k′σj，lmin（τk，τl）Zσi（τ）σj（τ）dτ。（21）接下来的参考文献[4]中，我们定义：Γ=∑R∑，（22）D=pdiag（AΓA），C=D-1（AΓA）D-1，d=d-1.对数（xA/a）+au.这里使用的是xi，k=xi对于所有k=1，M、 在这些量的therms中，指示函数由参考文献[4]中相同的表达式给出，但基本变量在等式（22）中给出，并且由于时间依赖性，thay与参考文献[4]中给出的不同，M（SXA（ω）>S a）=Nm（S d（ω），S C（ω）S），（23），其中Nm是累积多元正态分布（以零为中心）。请注意，方程式（18）–（23）适用于任何n×m矩阵A和任何正势垒向量A。3.3自动呼叫概率和最终支付。应用方程式（23）计算我们获得的自动呼叫概率Pk：Pk=k-1Xs=0Xσs∈Ck公司-1秒(-1） sN2s+2（d（σs），C（σs）），k=1。M- 1、（24）3半解析法9，其中d（σs）和C（σs）是通过将方程式（10）中的A（σs）和b（σs）代入方程式（22）得到的。注意，方程式（24）中的指数k从1到M- 1、原因是最后一次观测时间是自然时间。让我们用Pmatt表示达到成熟的概率。显然，我们有：Pmat=1-M-1Xk=1Pk，（25）概率Pmatc可分为两种贡献：Pmat=Pup+Pdown（26），其中Pup是指两种资产同时达到期限的概率，而Pdown是指至少一种资产低于该期限的概率。事实上，概率Pup正好是PM，因此我们可以写：Pup=M-1Xs=0Xσs∈Ck公司-1秒(-1） sN2s+2（d（σs），C（σs））。（27）显然，这也决定了Pdownas Pdown=Pmat- 幼仔

为了计算到期时的支付效果，我们还需要在表现最差的资产低于屏障κSi的条件下，资产的平均表现。发生这种情况的概率正好是Pdown，这是参数κ的函数。让我们表示^Xi=Si/^Siand定义^X=min（^X，^X），概率下降可以写为：Pdown=P（^X<κ）。（28）资产的平均绩效，前提是至少有一项资产低于屏障κ，然后与条件期望值h^Xi | X<κ成比例：最小值S，S^X<κ=-PdownκZdκκdPupdκ，（29），其中我们使用dPmat/dκ=0。因此，到期时的支付由以下公式得出：V饱和度=Pup+Pdown最小值S，S^X<κ=幼犬-κZdκdPupdκ，（30）还要注意Pmat=\'PM-13半分析法10在下一小节中，我们计算息票的贡献。3.4优惠券贡献为了获得总回报，我们必须评估优惠券的贡献。这可以通过对两种资产二元（现金或其他）期权进行求和来实现，前提是该工具在适当的应计期内仍然有效。实际上，在时间τ时，两种资产越过障碍的概率由此类期权的支付概率给出。在第一个应计期，这将减少到标准的双资产二元选择权【7】。为了写下该概率的闭合表达式，我们需要再加一个观测时间τa，它将在应计日期上迭代。显然，最简单的情况是0≤ 助教≤ τ、 这是第一个应计期。在这种情况下，我们仅对一个观测时间τa应用公式（23），其中a=S=1，a=c。