最坏情形不变风险测度的闭式解

通过将优化问题替换为已知其最优值的公式，我们得到了以下等式：（λ- ^1（β））-（λ- φ（β））4λ≥ 0，β∈ [0，1]，其中λ≥ 0和Д（β）：=R[（1- α）- 1（0，β）（α）]q（α）dφ（α）。具有上述重新制定的约束条件的优化问题（5）可以进一步重新制定为MINQ（α）∈Q，λ，λ≥0supβ∈[0,1]{（λ）- φ（β））4λ+Д（β）+uλ+（u+σ）λ}=> minq（α）∈Q，λ，λ≥0supβ∈[0,1]{λ4λ-λφ（β）2λ+φ（β）4λ+Д（β）+uλ+（u+σ）λ}=> minq（α）∈Q，Q，r≥0supβ∈[0,1]{φ（β）r+φ（β）q+Д（β）}+q4r+u(-q2r）+（u+σ）4r=> minq（α）∈Q，Q，r≥0supβ∈[0,1]{φ（β）r+φ（β）q+Д（β）}+（q- u）+σ4R，其中r=4λ和q=-λ2λ应用于第三行。通过引入虚拟变量s，t∈ R, 我们有以下等效公式minq（α）∈Q，Q，r，s，ts+Z（1- α） q（α）dφ（α）+tZ（0，β）（α）q（α）dφ（α）- φ（β）r- φ（β）q+s≥ 0，β∈ [0，1]（7）4rt≥ （q）- u）+σr≥ 0，其中第二个约束可以被重新构造为二阶约束Q- uσr- tr+t∈ Q、 （8）式中Q：={（u，t）∈ R| ||u | |≤ t} （参见，例如[3]）。为了进一步减少问题，我们首先放松约束q（α）∈ Q稍后将验证松弛是否紧密。我们再次应用二次曲线线性规划的理论[18]，导出了松弛问题的对偶。我们可以通过y（β）定义（7）的双变量∈ Y[0，1]，其中Y[0，1]表示[0，1]上有界变化的右连续函数集，对应于[0，1]上所有有限有符号孔l测度的空间。y（β）上的积分遵循Lebesgue-Stieltjes积分。此外，让y∈ R表示对应于二阶圆锥约束（8）的双变量。

我们可以将拉格朗日函数写成如下，其中x：=（q（α），q，r，s，t），L（x，y（β），y）=Z（1- α） q（α）dφ（α）+s+t-Z[Zβq（α）dφ（α）- φ（β）r- φ（β）q+s]dy（β）- y（q- u）- y（σ）- y（r- t）- y（r+t）=Z（1- α） q（α）dφ（α）-Z[Zαdy（β）]q（α）dφ（α）+s（1-Zdy（β））+t（1+y- y） +r（Zφ（β）dy（β）- Y- y） +q（Zφ（β）dy（β）- y） +yu- yσ，其中在等式的第二行中，第二项通过交换积分阶获得。对偶问题maxy（β），yminxL（x，y（β），y）归结为以下问题maxy（β），yuy- σY受（1）约束- α）-Zαdy（β）=0，α∈ supp（φ）（9）Zdy（β）=1（10）y+0（11）年- y=-1（12）年+年≤Zφ（β）dy（β）（13）y=Zφ（β）dy（β）（14）qy+y+y≤ y、 （15）其中y+0表示y（β）在[0，1]上不递减。继Shapiro（2001）[18]之后，如果存在可行（q*（α） ，q*, R*, s*, T*) 这样（广义）slater条件可以满足。这是（7）的情况，因为给定任何不满足slater条件的可行解，我们总是可以找到改变本地可行s和t，以便满足条件c。从（15）可以看出，我们有≤ Y- Y- Y=>Y≥ -qy公司- Y- Y=>Y≥ -q（y- y） （y+y）- Y=> -σy≤ σsZφ（β）dy（β）-（Zφ（β）dy（β））（由于（12），（13），（14））（16）由于yi仅受上述不等式的约束，因此等式必须保持最优解。还可以观察到，通过应用分部积分，我们可以写出（9）asy（1）- y（α）=1- α，α∈ supp（φ）。（17） 在不丧失一般性的情况下，我们可以假设y（β）没有被y（1）=1归一化。与（14）和（16）一起，目标函数c现在可以重新格式化为u（Zφ（β）dy（β））+σsZφ（β）dy（β）-（Zφ（β）dy（β））（18）=u（Zsupp（φ）φ（β）dy（β）+Z[0,1]\\supp（φ）φ（β）dy（β））+（19）σs（Zsupp（φ）φ（β）dy（β）+Z[0,1]\\supp（φ）φ（β）dy（β））- （Zsupp（φ）φ（β）dy（β）+Z[0,1]\\supp（φ）φ（β）dy（β））。（20） 观察到积分sr[0,1]\\supp（φ）可以独立于y（β）在[0,1]\\supp（φ）上的精确形状。

因此，我们可以通过设置满足（10）、（11）、（17）的y（β）=β来获得最佳y（β），即它对应于[0，1]上的统一度量。目标函数（20）将眼角缩减为u（Zφ（β）dβ）+σsZφ（β）dβ- （Zφ（β）dβ）=u+σsZφ（β）dβ- 1，sinceRφ（β）dβ=1。我们要证明的是，在放松约束q（α）后，问题（7）仍然很紧∈ Q。Shapiro（2001）[18]，考虑到强对偶成立，我们对原始最优解（q）有以下互补条件成立*（α） ，q*, R*, s*, T*) 和对偶最优解（y*（β） ，y*)Z[Zβq*（α） dφ（α）- φ（β）r*- φ（β）q*+ s*]dy公司*（β） =0=>Zβq*（α） dφ（α）=φ（β）r*+ φ（β）q*- s*, β∈ [0，1]（自y起）*（β） 在[0，1]上是一致的）=>Zβq*（α） dφ（α）=Zβ（2φ（α）r*+ Q*)dφ（α）+φ（0）r*+ φ（0）q*- s*, β∈ [0，1]=>Zβ（q*（α）- 2φ（α）r*- Q*)dφ（α）=φ（0）r*+ φ（0）q*- s*, β∈ [0，1]，=>Zββ（q*（α）- 2φ（α）r*- Q*)dφ（α）=0，β、 β∈ [0，1]。其中第二行也可以看到[17]，第三行是因为将部件集成应用到右侧。因此，对于任何α∈ supp（φ），我们必须有q*（α） =2φ（α）r*+ Q*, 如果φ为so（注意r*≥ 0）。因为对于nyα∈ [0，1]\\supp（φ），q的变化*（α） 在（7）中没有区别，因此我们证实，在松弛问题中也存在一个最佳的非递减函数。这完成了他的职业生涯。上述结果不仅为以封闭形式生成WCSRM提供了一个统一的视角，用于不同的频谱φ选择，即相应地修改标准偏差的s比例因子，还可以重新解释WCCVaR的早期结果。

而WCCVaR中标准偏差的比例因子通常表示为Q1-，似乎是非尾部和尾部概率之间比率的平方根，上述结果表明，该比率也可以解释为φ的“偏斜”程度，即Rφ（p）dp，与φ在[0，1]上均匀的情况相比，其中Rφ（p）dp=1。我们有ρW CSRM（u，σ，φ*) = φ时为u*是统一的。因此，闭合形式可以粗略地理解为“风险中性值，其中φ是均匀的，加上标准偏差乘以与均匀测量情况相比倾斜的agivenφ的多少，即qRφ（p）dp- 1英寸。尽管定理2的结果很优美，但事实上并不明显，如果从名义风险度量（即固定分布）的角度来看，则其结果可能与直觉相反。为了了解为什么结果可能是令人惊讶的，让我们强调一下结果中的以下含义。推论1。给定任何（u，σ），谱φ的最坏情况谱风险度量，即ρW CSRM（u，σ，φ）等效于最坏情况（1- ′）-值A和（1- ′）-条件风险值分别为Rφ（p）dp，即ρW CV aR（u，σ，Rφ（p）dp）和ρW CCV aR（u，σ，Rφ（p）dp）。显然，对于名义风险度量，上述陈述可能不正确，因为为了匹配光谱风险度量的值，相应的尾部概率o f a（1- ′）-CVaR可能取决于给定分布的形状，即′：=（FZ）。然而，在上述推论中，WCSRM和WCCVa R之间的等效性可以独立于分布的结构，即平均值和标准偏差来建立。我们现在准备给出最坏情况下的法律不变一致风险测度的一般情况的结果，这可以直接从定理2的结果中获得。定理3。

假设1，基于ρΦ=supφ定义的任何最坏情况下不变的一致风险度量∈Φρφ可以用闭合形式ρW CLICRM（u，σ，Φ）=u+σssupφ计算∈ΦZφ（p）dp- 1，相当于最坏情况（1- ′）-VaR和（1-′）-通过设置′=supφ的CVaR∈ΦRφ（p）dp。证据为了简单起见，我们编写了FZ~ （u，σ）表示具有平均u和标准偏差σ的任何分布。我们有ρW CLICRM（u，σ，Φ）：=supFZ~（u，σ）supφ∈Φρφ（Z）=supφ∈ΦsupFZ~（u，σ）minq（α）Z[φ（0）Z+Z[（1- α） q（α）+（z- q（α））+]dφ（α）]dFZ=supφ∈Φu+σsZφ（p）dp- 1=u+σssupφ∈ΦZφ（p）dp- 1，其中最后一个等式仅仅是由于σ√· 是一个递增函数。在本节结束时，我们得出结论，WCVaR和WWCVaR的封闭式见解可以很好地应用到许多风险度量中，这些度量在现代风险理论y.3稳健投资组合优化中被认为是合理的。推论1（或定理3）中的观察结果在ro-bust投资组合优化中尤其有用。我们在本节中提供了必要的详细信息，以得出VaR稳健投资组合优化与一般规律不变ris k度量之间的联系。证券投资组合优化问题寻求一个在满足许多约束条件（如无卖空要求）的同时将最坏情况风险降至最低的投资组合。当采用一个法律不变的一致风险测度minx时，它一般可以表示为以下极小极大问题∈XsupFRρΦ(-（R）x） （21）根据E【R】=uCOV【R】=σ，其中x Rn表示不同资产上可接受的投资组合分配向量，以及R：(Ohm, F、 P）→ Rn个资产及其分布的随机返回向量的n个数。假设集合X是不包含0的有界多面体。

在上述公式中，我们假设只有平均u∈ Rnand协方差∑∈ Rn×n已知收益的联合分布，投资组合x∈ 寻求在以u和∑为均值和协方差的多变量分布集合上最小化最坏情况风险的X。由于目标函数的极小极大形式和随机收益的高维性，上述问题似乎很难解决。幸运的是，我们可以首先应用以下结果来简化鲁棒性问题。引理2。（[6]）设A：={Aξ| E[ξ]=u，COV[ξ]=∑}，B：={η| E[η]=au，VAR[η]=a∑a}。对于任何a 6=0∈ Rn、 它认为A=B。换句话说，我们可以等价地重新表述上述问题asminx∈XsupFZρΦ(-Z） 受E[Z]=u影响xSTD[Z]=√十、∑x其中，对于任何固定x，随机变量Z只是一个具有非变量分布FZ的随机变量。内部最大化问题现在可以使用定理3的结果重新表述，整个问题可以简化为以下最小化问题minx∈十、-ux个+√十、∑xssupφ∈ΦZφ（p）dp- 1、前提是术语supφ∈ΦRφ（p）dp可以通过函数求解，这个最终问题可以通过SOCP解算器轻松解决【3】。此外，除了比例因子外，它与VaR稳健投资组合优化（[9]）相同，这证实了以下事实与推论1中的观察结果一致。推论2。在假设1的条件下，利用律不变一致风险测度求解稳健投资组合优化问题等价于利用（1）求解稳健投资组合优化问题- ′）-VaR（或（1- ′）-CVaR）带′=supφ∈ΦRφ（p）dp。上述事实立即表明，可以将上述稳健投资组合问题（2 1）简单地扩展到前两个时刻不确定的情况，这在稳健VaR和CVA优化的文献中得到了很好的解决[9、6、11]。

为了证明这一观点，我们在El Ghaouiet al.（2003）[9]的工作基础上，提供了以下几种可能的张力，以处理力矩不确定性，由此产生的公式通常可以被改写为圆锥曲线图[12]。我们跳过这些证明，因为一旦应用推论2，它们可以在El Ghaoui et al.（2003）中找到。推论3。（c.f.[9]第2.2-2.4节，3.1）给定假设1，如果随机收益R的分布的平均u和协方差∑仅已知为凸集c Rn×Rn×n，具有律不变一致风险测度ρΦ：=supφ的稳健投资组合优化问题（21）∈Φρφ可通过以下minmax问题minx求解∈Xmaxr，u，∑- RX主题为∑r- u（r- u）supφ∈ΦRφ（p）dp- 1. 0，（u，∑）∈ C此处 0表示左侧矩阵为正半定义。对于下列特殊情况1）（多面体不确定性）C：=Co{（uk，∑k）}k=1，…，问题进一步归结为二次曲线规划，。。。，K、 其中Co是凸包算子2）（分量界）C：={（u，∑）|uL≤ u≤ uU，∑L≤ ∑≤ ∑U}，3）（因子模型中的不确定性）C：={（u，∑）|（uf，S）u=Auf，∑=D+ASA, ufL≤ uf≤ ufU，SL≤ s≤ SU}，其中，假设随机回报的因子模型R=Af+uis，u是对角协方差矩阵D的残差。最后，值得指出的是，根据文献[6]的结果，当可行集X由简单的预算约束（即1）描述时，也可以用闭式解出资产组合优化问题（21）x=1。感兴趣的读者再次参考了文献[6]中的定理m 2.9。4结论性意见在本文中，我们表明，对于基于法律不变一致风险度量定义的一般类别的最坏情况风险度量，也存在闭式解。

该结果在很大程度上概括了最坏情况风险值和最坏情况条件风险值的现有封闭式结果，这些结果在过去十年中受到了相当多的关注。一般类别测度s的闭式解与VaR和CVa R的闭式解非常相似，因此可立即应用于实施最坏情况VaR和CVa R的许多设置。稳健均值方差优化。参考文献[1]C.Acerbi，《风险的光谱度量：主观风险规避的一致表示》，《银行与金融杂志》，26（2002），第1505-1518页。[2] C.Acerbi和P.Simonetti，《具有光谱风险度量的投资组合优化》，技术代表，2002年。[3] F.Alizadeh和D.Goldfarb，《二阶锥规划》，数学规划，95（2003），第3-51页。[4] P.Artzner、F.Delbaen、J.M.Eber和D.Heath，《一致性风险度量》，数学金融，9（1999）。[5] G.C.Calafiore，《模糊风险度量和最优稳健投资组合》，暹罗优化杂志，18（2007），第853-877页。[6] L.Chen、S.He和S.Zhang，一些风险度量的紧界，以及稳健投资组合选择的应用，Oper。第59号决议（2011年），第847-865页。[7] E.Delage和Y.Ye。，力矩不确定性下的分布鲁棒优化及其在数据驱动问题中的应用，《运筹学》，58（2010），第596-612页。[8] H.F"ollmer和A.Schied，《风险和交易约束的凸度量》，《金融与随机》，6（2002），第429-447页。[9] L.E.Ghaoui、M.Oks和F.Oustry，《最坏情况下的风险价值和资产组合优化：圆锥规划方法》，《运营研究》，51（2003），第543-556页。[10] S.Kusuoka，《关于法律不变的一致性风险度量》，数学经济学进展，S.Kusuoka a和T.Mar uyama编辑，第卷。

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