最坏情形不变风险测度的闭式解

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英文标题：
《Closed-form solutions for worst-case law invariant risk measures with
  application to robust portfolio optimization》
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作者：
Jonathan Yu-Meng Li
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Worst-case risk measures refer to the calculation of the largest value for risk measures when only partial information of the underlying distribution is available. For the popular risk measures such as Value-at-Risk (VaR) and Conditional Value-at-Risk (CVaR), it is now known that their worst-case counterparts can be evaluated in closed form when only the first two moments are known for the underlying distribution. These results are remarkable since they not only simplify the use of worst-case risk measures but also provide great insight into the connection between the worst-case risk measures and existing risk measures. We show in this paper that somewhat surprisingly similar closed-form solutions also exist for the general class of law invariant coherent risk measures, which consists of spectral risk measures as special cases that are arguably the most important extensions of CVaR. We shed light on the one-to-one correspondence between a worst-case law invariant risk measure and a worst-case CVaR (and a worst-case VaR), which enables one to carry over the development of worst-case VaR in the context of portfolio optimization to the worst-case law invariant risk measures immediately.
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中文摘要：
最坏情况下的风险度量是指当只有基础分布的部分信息可用时，计算风险度量的最大值。对于诸如风险价值（VaR）和条件风险价值（CVaR）等流行的风险度量，现在已经知道，当基础分布仅知道前两个时刻时，可以对其最坏情况对应项进行封闭式评估。这些结果非常显著，因为它们不仅简化了最坏情况风险度量的使用，而且为最坏情况风险度量和现有风险度量之间的联系提供了深刻的见解。我们在这篇文章中证明，对于一般的一类法律不变的相干风险度量，也存在一些令人惊讶的相似的闭式解，这类度量由谱风险度量组成，作为CVaR最重要的扩展。我们揭示了最坏情况下法律不变风险度量与最坏情况CVaR（和最坏情况VaR）之间的一一对应关系，这使得我们能够在投资组合优化的背景下，立即将最坏情况VaR的发展延续到最坏情况下法律不变风险度量。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Closed-form_solutions_for_worst-case_law_invariant_risk_measures_with_applicatio.pdf (225.76 KB)

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关键词：Optimization Quantitative distribution Applications Mathematical

最坏情形不变风险测度的闭式解及其在证券组合优化中的应用Jonathan Yu Meng Li*2016年9月15日抽象最坏情况风险度量是指当只有基础分布的部分信息可用时，计算风险度量的最大值。对于诸如风险价值（VaR）和条件风险价值（CVaR）等流行的风险度量，现在已知，当只有前两个时刻已知基本分布时，可以以封闭形式对其最坏情况对应项进行评估。这些结果是显著的，因为它们不仅简化了最坏情况风险度量的使用，而且为最坏情况风险度量和现有风险度量之间的联系提供了深刻的见解。我们在本文中表明，对于一般的一类法律不变的相干风险测度，也存在一些令人惊讶的相似的闭式解，这类测度由谱风险测度作为特例组成，可以说是CVaR最重要的扩展。我们揭示了最坏案例法不变风险度量与最坏案例CVAR（和最坏案例VaR）之间的一一对应关系，这使得我们能够在投资组合优化的背景下，将最坏案例VaR的发展立即延续到最坏案例法不变风险度量。1简介衡量随机服务水平的风险通常需要了解其概率分布。例如，行业标准的风险度量，风险价值（VaR），通过计算随机损失分布的极值分位数来报告其风险水平。另一种风险度量方法，条件风险价值（CVa R），已成为替代VaR的最流行的行业标准，它计算超过极值分位数的平均损失，以指示随机损失的风险性。

然而，实施这些措施和任何其他基于分销的风险措施的问题在于*加拿大渥太华渥太华大学特尔弗管理学院。联系人：jonathan。li@telfer.uottawa.camost实践中，分布的精确形式通常很简单，只有样本数据可用于估计分布，这不可避免地容易出现采样误差。这一问题推动了最坏情况风险度量的发展，其目标是确定一组候选分布上可能存在的最坏风险水平，以捕获分布的不确定性。El Ghao ui等人（2003）[9]首先研究了最坏情况下的风险值（WCVa R），他们考虑了前两个时刻所描述的一组候选分布，并说明了如何计算该集合的最坏可能风险值。El Ghaoui et al.（2003）[9]最值得注意的结果之一可能是WCVaR的闭式解。闭合的Form表达式非常类似于加权平均标准偏差的风险度量，因此为如何最小化WCVaR提供了有用的见解。El Ghaoui等人还提供了半有限程序的公式，该公式与闭式表达式等效，当需要进一步解决力矩的额外不确定性时，该公式非常有用。事实证明，当候选分布集由前两个时刻描述时，最坏情况条件风险值（WCCVaR）也存在一个封闭式表达式（见Chen et al.（2011）[6]，Natarajan et al.（2010）[11]），该表达式与WCVaR的表达式相同。有趣的是，这意味着，诸如El Ghaoui et al.（2003）中处理力矩不确定性的WCVaR的一些发展可以直接应用于WCCVaR。

在分布式目标优化（DRO）的文献中也可以找到最坏情况风险度量的替代公式（例如，参见[5、7、11、21、22、23]）。这些工作大多集中于推导可处理的凸或圆锥规划，以计算最坏情况值（并找到相应的稳健解）。我们的工作是基于从WCVaR和WCCVaR的封闭式解决方案中获得的见解。考虑到封闭形式的优美性，很自然地会想，封闭形式的结果是否仅仅是VaR和CVaR相对简单结构的结果，或者对于结构更复杂的替代风险度量也是如此。在更复杂的风险度量列表中，最重要的是光谱风险度量，它在理论和实践中都起着至关重要的作用。Acerbi（2002）[1]首先介绍了它们，他试图概括CVaR（和VaR），以便在一系列CVaR（VaR）上对风险规避进行更现实的描述。后来，很明显，这类度量相当于在保险业中有应用的变形风险度量[13,16]。我们还知道，光谱风险度量即使不是全部，也能满足现代风险理论（[1、4、8、10]）所假设的大多数理想属性，即单调性、凸性、平移不变性、相干性和定律不变性。然而，一个更令人惊讶的发现是，任何满足所有这些特性的风险度量，也被称为法律不变的相干风险度量，都可以通过光谱风险度量来表示（见[10，19]）。本文研究了最坏情况谱风险测度（WCSRM）和最坏情况律不变相干风险测度（WCLICRM）的性质。

我们的发现是，尽管它们看起来很复杂，但当只有前两个时刻是已知的潜在分布时，它们都可以归结为一个封闭的表达式。封闭形式显著地重新组合了加权平均标准偏差的度量，这使我们能够阐明任何WCLICRM和WCCVaR（和WCVaR）之间的一对一对应关系。在观察的基础上，我们展示了如何将结果扩展并应用到r obust投资组合优化中。本文的组织结构如下。在第2节中，我们证明了WCSRM和WCLICRM的闭式结果是一组具有固定前两个矩的单变量分布。我们在第3节中展示了如何将结果应用于稳健的投资组合优化。2分析结果let(Ohm, F、 P）是一个概率空间，Z表示随机变量及其分布FZ，即Z：(Ohm, F、 P）→ R 和FZ（t）：=P（Z≤ t） 。随机变量的空间包含在L中(Ohm, F、 P）。我们回顾了光谱风险度量的以下定义。定义1。（谱风险度量[1]）给定一个随机变量Z，设F-1Zdenote其一般逆cdf函数，即F-1Z（α）：=inf{q | FZ（q）≥ α} 。函数ρφ（Z）：=Zφ（α）F-1Z（α）dα称为谱风险度量，由φ参数化，如果φ∈ L[0，1]是一个非减量概率密度函数，即φ≥ 0和rφ（α）dα=1。密度函数φ也称为“容许的”ris k谱。直观地说，谱风险度量可以被视为风险值（VaR）的加权和，其中φ的可容许性强制要求分配给较大VaR的权重不能小于。这是一个理性的、厌恶风险的个体所需要的一致性的特征。

最显著的中央风险度量示例是（1- ）-条件风险值（（1- ）-CVaR），其中spe c trumφ的形式为φ（α）：=[1-，1）（α）和∈ （0，1）代表FZ的尾部概率。为了理解为什么标准风险度量在现代风险度量理论中起着核心作用[4，8，10]，我们将回顾关于法律不变一致性风险度量的以下定义。定义。（法律不变一致性风险度量）任何风险度量ρ：L(Ohm, F、 P）→R 满足1）单调性：ρ（Z）≤ ρ（Z）对于任何Z≤ 扎勒最肯定；2） 凸度：ρ（（1- λ） Z+λZ）≤ （1）- λ） ρ（Z）+λρ（Z），0≤ λ≤ 1.3） 平移不变性：ρ（Z+c）=ρ（Z）+c，c∈ R;4） 正同质性：ρ（λZ）=λρ（Z），λ≥ 0；5） 定律不变性：ρ（Z）=ρ（Z）（如果FZ）≡ FZ。这有助于成为一种具有法律不变性的一致性风险度量。上述风险度量类别的重要性在于，它满足了现代交易风险度量理论[4、8、10]关于合理风险度量应该满足什么的所有假设属性。有趣的是，尽管其具有普遍性，但这类一般风险度量与光谱风险度量之间存在着密切的联系，即前者始终可以通过s upremum表示通过Latter表示。定理1。任意律不变一致风险测度ρΦ：L(Ohm, F、 P）→ R具有以下表达式ρΦ（Z）=supφ∈Φρφ（Z），其中Φ L[0，1]表示一组容许谱。证据文献[19]中已经讨论过（见命题1），任何定律不变量的相干r isk测度ρ：Lp(Ohm, F、 P）→ R 带p∈ [1，∞) 允许ρ（Z）=supu的表示∈MZAV@Rγ（Z）du（γ），其中AV@Rγ代表γ-CVaR和M表示[0，1]上的一组概率度量。

因为AV@Rγ（Z）=（1- γ）-1RγF-1Z（α）dα，我们有ρ（Z）=supu∈MZZγ（1- γ）-1F层-1Z（α）dαdu（γ）=supφ∈ΦZφ（α）F-1Z（α）dα=supφ∈Φρφ（Z），其中Φ：={Д|Д（κ）=Rκ（1- γ）-1du（γ），κ∈ [0，1]，u∈ M} 并且，根据定义，每一个φ都是[0，1]上的一个非递减概率密度，即它是一个容许谱。如前所述，对于VaR和CVaR的情况，当只有前两个时刻是已知的基础分布时，可以对其最坏的情况对应项进行封闭式评估。更具体地说，给定一对平均值和标准偏差（u，σ），最大的st（1-）-VaR和（1-）-具有平均u和标准偏差σ的分布集上的CVaR值可通过以下公式计算：【9，6】ρW CV aR（u，σ，）=ρW CCV aR（u，σ，）=u+σr1- （1）其中∈ （0，1）是尾部概率。沿着这条工作路线，我们考虑以下优化问题，该问题定义了最坏情况下不变一致风险度量（WCLICRM）：ρW CLICRM（u，σ，Φ）：=supFZ∈QρΦ（Z）（2）服从于E[Z]=uSTD[Z]=σ，其中Q表示(-∞, ∞). 作为WCLICRM的一个特例，我们还定义了当单个光谱φ被视为ρW CSRM（u，σ，φ）：=ρW CLICRM（u，σ，{φ}）时的最坏情况光谱风险度量（WCSRM）。（3） 在继续之前，我们将对用于确定问题（2）的风险度量ρΦ做出以下假设。假设1。对于WCLICRM定义中使用的任何风险度量ρΦ，集Φ由L∞[0，1]，即仅限有界函数。如【15】所述，除非所有考虑的随机变量本质上是有界的，即Z∈ L∞(Ohm, F、 P），通常是一个具有任意谱φ的特殊风险度量ρφ∈ L[0，1]可能没有很好的定义。不难证实，在假设1中，对于任何Z，谱风险度量ρφ都是有限的∈ L(Ohm, F、 P）（事实上，对于任何Z∈ L(Ohm, F、 P））。

此外，这个假设并没有真正的限制性，因为对于任何一般规律不变的相干风险度量ρ，总是有一组Φ L∞[0，1]使得ρ=supφ∈Φρφ成立（见推论5，[14]）。目前尚不清楚问题（2）是完全通用的还是仅适用于CVaR等特殊情况。本节的主要结果是表明，对于Φ：={φ}的情况，即WCSRM（3）的情况，（2）的解通常允许一个优雅的闭式表达式，不仅可以容易地解决上述问题。我们分两步给出结果。首先，我们关注光谱风险度量的情况，即（3），并表明在这种情况下，问题（3）简化为闭合形式。此后，WCLICRM的结果，即（2）一般，可以相当直接地得到验证。在展示我们的主要结果之前，我们需要以下引理来帮助我们进行分析。引理1。给定假设1，任何谱风险度量ρφ（Z）可等效为ρφ（Z）=minq（α）E[φ（0）Z+Z[（1- α） q（α）+（Z- q（α））+]dφ（α）]，其中q∈ L（0，1），存在一个非递减函数作为最优解。证据根据[2]中的命题3.2，我们得到ρ（Z）=minq（α）φ（0）E[Z]+Z[（1- α） q（α）+E[（Z- q（α））+]]dφ（α），最优解q*（α） 满意度q*（α）∈ [F-1Z（α），F-α上的1Z（α）+）∈supp（φ），即φ（α）定义的度量值的支持，否则可以取任意值。因此，人们总是可以构造一个非递减函数Q*（α） 在（0，1）上达到最优性。应用Fubini定理，我们得到了结果。F-1Z（α）+：=inf{q | FZ（q）>α}应用引理1，我们可以等价地表述WCSRM（3）a sρW CSRM（u，σ，φ）=supFZminq（α）Z的问题∞-∞[φ（0）z+z[（1- α） q（α）+（z- q（α））+]dφ（α）]dFZ（4）受z约束∞-∞zdFZ=uZ∞-∞zdFZ=u+σZ∞-∞dFZ=1，FZ∈ Q、 为了简单起见，从这里开始∞-∞可能写得有误。

作为本文的主要结果，我们在下面的定理中证明了上述问题可以简化为均值和标准差的加权和的形式。定理2。假设1，任何最坏情况下的光谱风险度量（WCSRM）都可以以闭合形式进行评估：ρW CSRM（u，σ，φ）=u+σsZφ（p）dp-1、在（1）的情况下- ）-CVaR，我们有rφ（p）dp=。证据首先，假设在（4）中，对于任何固定的FZ，存在一个非递减函数作为最优解，我们可以在不损失一般性的情况下施加约束q（α）∈ Q，其中Q表示所有非递减函数（0，1）的s et。这将有助于证明的其余部分。也设g（z；q（α））：=R[（1- α） q（α）+（z- q（α））+]dφ（α）。由于集合Q是凸的，并且（4）中的目标函数对于任意固定的Fzan和Fzf中的线性对于任意固定的Q（α）是凸的，因此我们可以应用Sion\'sminmax定理[20]在以下等价问题Minq（α）处切换sup、min和ar-rive∈Q{supFZ∈QZ[φ（0）z+g（z；q（α））]dFZ | ZzdFZ=u，ZzdFZ=u+σ}。应用二次曲线线性问题的对偶理论（Shapir o 2001[18]），我们可以用它的对偶代替内部最大化问题，从而得到tominq（α）∈Qminλ，λ，λλ+uλ+（u+σ）λ（5）受λ+zλ+zλ约束≥ φ（0）z+g（z；q（α）），z、 （6）σ>0时，强对偶成立。很容易验证，当σ=0时，我们有ρW CSRM（u，0，φ）=u，因此只有σ>0的情况需要进一步研究。我们声称，给定任何固定q（α）∈ Q，函数g（z；Q（α））等价于以下函数h（z；Q（α））：=supβ∈[0,1）Z[（1- α） q（α）+1[0，β]（α）（z- q（α））]dφ（α）。我们通过考虑任意z值的以下两种情况来验证这一点：基于给定的q（α），要么存在α∈ （0，1）使得q（α）≤ z或其他。对于第一种情况，设β（z）：=arg max{α∈（0,1）}{α：q（α）≤ z} 。因为q（α）是非递减的，所以我们有q（α）≤ Zα∈ （0，β（z）]。

因此，我们可以等效地写g（z；q（α））asg（z；q（α））=z[（1- α） q（α）+1（0，β（z）]（α）（z- q（α））]dφ（α）。根据定义，h（z；q（α））≥ g（z；q（α））如下。要显示另一个方向，让β*（z） 表示h（z；q（α））中问题的最优解。有两种可能的情况：β*（z）≤ β（z）或其他。如果β*（z）≤ β（z），我们有h（z；q（α））=z[（1- α） q（α）+1（0，β*（z） ]（α）（z）- q（α））]dφ（α）≤Z[（1- α） q（α）+1（0，β*（z） ]（α）（z）- q（α））+1（β*（z） ，β（z）]（α）（z- q（α））]dφ（α）=g（z；q（α）），而对于情况β*（z） >β（z）我们有h（z；q（α））=z[（1- α） q（α）+1（0，β（z）]（α）（z- q（α））+1（β（z），β*（z） ]（α）（z）- q（α））]dφ（α）≤g（z；q（α）），其中最后一个不等式是由于β（z）的定义。现在，对于不存在α的情况∈ （0，1）使得q（α）≤ z、 weimmediately haveh（z；q（α））=z（1- α） q（α）dφ（α）=g（z；q（α）），其中第一个等式是由于最佳β*（z） 在h（z；q（α））中必须有bezero，第二个是在g（z；q（α））的定义之后。因此，我们可以在约束（6）中用h（z，q（α））代替g（z；q（α）），这将导致λ+zλ+zλ≥ φ（0）z+zβ[（1-α） q（α）+（z-q（α））]dφ（α）+Zβ[（1-α） q（α）]dφ（α），Zβ∈ [0，1]，orminz{（λ-Z[（1- α）- 1（0，β）（α）]q（α）dφ（α））+（λ- （φ（0）+Zβdφ（α）））Z+λZ}≥ 0，β∈ [0，1]。定义为φ（0）+Rβdφ（α）=φ（β）。对于任何固定β，上述不等式的左侧是一个一元二次函数的初等极小化问题。仅当λ≥ 0