Slepian过程运行极大值的联合分布

根据Bachelier-Levy公式和完整的timehorzion（见备注2.1），我们得出B（u）≤ a+bu+bs-ys，所有u∈ [0，∞)= 1.-经验值{-2b（b+as- y） s}，因此概率{B（u）≤ au+b，适用于所有u∈ [0，s]| B（s）=y}=1-经验值{-2b（b+as- y） s}。（16） 进一步注意，给定B（s）=y，过程B（u+s）- y又是一个标准的布朗运动，因此是方程（15）isP{B（u）中的第二个因子≤ cu+d，适用于所有u∈ [s，T]| B（s）=y}=P{B（u）≤ c（u+s）+d- y、 适用于所有u∈ [0，T- s] }，再次使用Bachelier-Levy公式，我们得到P{B（u）≤ cu+d，适用于所有u∈ [s，T]| B（s）=y}（17）=Φ（d+cs- Y√T- s+c√T- s）- 经验值{-2c（d+cs- y） }Φ（d+cs- Y√T- s- c√T- s） ，其中Φ（x）=Rx-∞√2πe-sds是标准正态分布的累积分布函数。让p=1-s、 q=s+1m，η=s+1m，δ=√T- s、 s=s2-s、 T=t2-t、 将方程（16）和8平津-邓格方程（17）代入方程（15），我们得出tP（m，m）=Zm-∞Zpx+q-∞2π√sexp{-y2s}扩展{-x} n1型- 经验值{-（m）- x） （px+q- y） s}o×nΦ（px+η- yδ+M+xδ）- 经验值{-（M+x）（px+η）- y） }Φ（px+η-yδ-M+xδ）odydx，完成证明。定理证明EM2.6：对于s=0，m≤ M，Slepian过程的运行极大值和Mtof之间的联合概率分布函数isP（M，M）=Pm=S（0）≤ m、 Mt=最大值0≤U≤tS（u）≤ M= P{S（0）≤ m、 和S（u）≤ M代表所有u∈ [0，t]}。在S（0）上条件化，并使用定理2.2证明中的相同方法，我们得到了P（m，m）=√2πZm-∞经验值{-x} Φ（M- 十、√T+M+x√T）dx-√2πexp{-M} Zm公司-∞Φ(-M- 十、√T+M+x√T）dx，其中T=t2-t、 然后，声明如下。引理2.7的证明：SinceM（θ）：=E[exp{θms}]，从方程（6）我们得到m（θ）=Z∞-∞exp{θm}n1+sΦ(√sm）φ（m）+s1+smΦ(√sm）φ（m）+maφ(√sm）φ（m）odm，其中a=1+s√s

设λ=1+s，u=s1+s，γ=√s1+s，那么m（θ）=λZ∞-∞exp{θm}Φ(√sm）φ（m）dm+uZ∞-∞mexp{θm}Φ(√sm）φ（m）dm+γZ∞-∞m exp{θm}φ(√sm）φ（m）odm。观察任何θ∈ R、 我们有exp{θm}Φ(√sm）φ（m）=√2πexp{θm}exp{-m} Φ(√sm）=√2πexp{-（m）- θ） }exp{θ}Φ(√sm）=exp{θ}Φ(√sm）φ（m- θ） （18）类似地，我们有exp{θm}φ(√sm）φ（m）=√2πexp{θm}exp{-m} φ(√sm）=exp{θ}φ(√sm）φ（m- θ） 。（19） 将方程（18）和（19）代入M（θ），letG（θ）=λZ∞-∞Φ(√sm）φ（m- θ） dm+uZ∞-∞mΦ(√sm）φ（m- θ） dm+γZ∞-∞mφ(√sm）φ（m- θ） dm，然后引理成立。推论2的证明。8： 取方程（7）的一阶导数，让θ=0，我们得到p=λZ∞-∞mΦ(√sm）φ（m）dm+uZ∞-∞mΦ(√sm）φ（m）dm+γZ∞-∞mφ(√sm）φ（m）dm，SLEPIAN过程9的运行最大值的联合分布，其中λ=1+s，u=s1+s，γ=√s1+s。很容易检查ZMΦ(√sm）φ（m）dm=√s√2π√1+sΦ（m√1+秒）- Φ(√sm）φ（m）+C，ZmΦ(√sm）φ（m）dm=2T+3√s√2π（1+s）Φ（m√1+秒）- （m+2）Φ(√sm）φ（m）-√SM√2π（1+s）φ(√sm）+C，其中C，关心常数。因此，我们有a：=Z∞-∞mΦ(√sm）φ（m）dm=√s√2π√1+s，a：=Z∞-∞mΦ(√sm）φ（m）dm=2T+3√s√2π（1+s）。使用分部积分公式，我们得到a：=Z∞-∞mφ(√sm）φ（m）dm=√s{Z∞-∞mΦ(√sm）φ（m）dm- 2Z∞-∞mΦ(√sm）φ（m）dm}=√s（a）- 2a），因此我们得到p=λa+ua+γa=√s√2π√1+s。取方程（7）的二阶导数，让θ=0，我们得到p=λZ∞-∞mΦ(√sm）φ（m）dm+uZ∞-∞mΦ(√sm）φ（m）dm+γZ∞-∞mφ(√sm）φ（m）dm，通过类比方法，我们得到∞-∞mΦ(√sm）φ（m）dm=，Z∞-∞mΦ(√sm）φ（m）dm=，Z∞-∞mφ(√sm）φ（m）dm=0。因此，我们有p：=E[ms]=2+3s1+正在建立证明。4、确认本工作部分资金来源于国家自然科学基金项目71573143和国家自然科学基金项目200021-166274。参考文献[1]D.Slepian，“特定高斯过程的首次通过时间”，Ann。数学统计员。，第32卷，第610–612页，1961年6月。[2] M.Zakai和J.Ziv，“关于雷达距离估计中的阈值效应（corresp.），”IEEE信息论学报，第15卷，第1期，pp。

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