Slepian过程运行极大值的联合分布

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英文标题：
《The joint distributions of running maximum of a Slepian processes》
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作者：
Pingjin Deng
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Consider the Slepian process $S$ defined by $ S(t)=B(t+1)-B(t),t\\in [0,1]$ with $B(t),t\\in \\R$ a standard Brownian motion.In this contribution we analyze the joint distribution between the maximum $m_{s}=\\max_{0\\leq u\\leq s}S(u)$ certain and the maximum $M_t=\\max_{0\\leq u\\leq t}S(u)$ for $0< s < t$ fixed. Explicit integral expression are obtained for the distribution function of the partial maximum $m_{s}$ and the joint distribution function between $m_{s}$ and $M_t$. We also use our results to determine the moments of $m_{s}$.
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中文摘要：
考虑Slepian过程$S$由$S（t）=B（t+1）-B（t），t在[0,1]$与$B（t），t在标准布朗运动中定义。在本文中，我们分析了最大$m\\u{s}=\\max\\u{0\\leq u\\leq s}s（u）$确定值和最大$m\\u t=\\max\\u{0\\leq u\\leq t}s（u）$之间的联合分布，对于$0<s<t$固定值。给出了局部最大值$m{s}$的分布函数以及$m{s}$和$m\\t$之间的联合分布函数的显式积分表达式。我们还使用我们的结果来确定$m{s}$的矩。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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关键词：联合分布 EPIA EPI distribution Contribution

SLEPIAN过程运行最大值的联合分布Pingjin DENGAbstract：考虑由S（t）=B（t+1）定义的SLEPIAN过程- B（t），t∈ [0，1]带B（t），t∈ Ra标准B rownian运动。在此分布中，我们分析了最大值=最大值0之间的jo int分布≤U≤sS（u）确定，最大Mt=max0≤U≤0<s<固定的tS（u）。得到了部分极大值ms的分布函数和ms与Mt的联合分布函数的显式积分表达式。我们还利用我们的结果确定了ms的矩。关键词和短语：高斯过程；Slepian过程；运行最大值。1、导言在本文中，我们考虑定义为布朗运动过程增量的一维Slepian过程，即s（t）=B（t+1）- B（t），t∈ [0，1]，（1）其中B（t）是概率spa ce上的标准布朗运动定义(Ohm, F、 P）。可以很容易地验证S（t），t∈ [0，1]是一个平稳的高斯过程，协方差函数（s，t）：=E[s（s）s（t）]=1- |s- t |，s，t∈ [0，1]。Slepian在[1]中首次定义的Slepian过程S（t），已经在随机过程和统计学中进行了广泛的研究。Zakai和Ziv【2】将Sle-pian过程应用于雷达的信号形状问题，而这些过程在扫描统计和信号检测问题上的应用在Cressie【3】和Bischoff及Gegg【4】中给出。随机过程中的另一个重要主题是边界穿越概率，其中详细讨论了Slepian过程。基于S的Mar-kov-like性质（或倒数性质，见[5]），Slepian[1]，Mehr和McFadden[6]，Shepp[7][8]研究了S在S（0）条件下具有常数基数的交叉概率。

对于更一般的边界，Bischoff和Gegg【4】和Deng【9】给出了S与连续分段线性边界交叉概率的解析公式。关于边界交叉概率的rencet结果，请读者参考[10、11、12、13、14、15、16、17]。对于一般的随机过程，在许多出版物中都考虑了上确界的尾部渐近性和过程在两个区间上的上确界的联合生存函数，例如，[18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29]。极值统计在应用中也很重要，例如，最大值的统计是风险管理中的一个关键过程，子时间间隔上实现的风险与整个时间间隔上实现的风险之间的关系始终可以使用运行的最大值过程的联合分布来表征。然而，这种联合分布的公式很难建立。在布朗运动的情况下，在[30]中给出了基于福克-普朗克方程的该联合分布的显式t公式。最近，研究了布朗运动和布朗桥过程的两个运行极大值之间的联合分布（分别见[31]和[32]）。对于方程（1）中定义的Slepian过程，对于Slepian过程的部分运行最大值和不同极端的相关性知之甚少。本文研究了Slepian过程的最大统计量，得到了部分极大值2的分布函数的一个显式表达式：PINGJIN DENGms=max0≤u≤sS（u）。给出了该分布函数的简单积分表达式，使我们能够计算运行中的最大过程m的矩母函数。

然后，我们研究了特定时间间隔[0，s]上运行的最大Ms和较长时间间隔[0，t]上运行的最大Ms之间的联合分布函数，见图1。有趣的是，这种概率可以转化为具有有限时间间隔内由两条直线组成的非连续分段线性边界的Slepian过程的边界不交叉概率的计算。最后，我们根据MSB的分布函数计算其矩。uS（u）smt u=1MSlepian进程运行最大值图1。Slepian过程的轨迹（蓝线）及其在时间间隔上的运行最大值（红线）[0,1]。在时间间隔[0，s]和更长时间间隔[0，t]上获得的部分极大值用m和m表示。结果在接下来的过程中，我们让ms=max0≤U≤sS（u），Mt=最大值0≤U≤tS（u），其中S（u）是（1）中给出的Slepian过程。我们的目标是计算以下两种概率分布函数（pdf）：部分极大值P（m）和P（m）的pdf，这两个运行极大值P（m，m）的联合分布。我们通过引用著名的Bachelier-Levy公式（参见例[33]）来启动t，这是发展我们的主要结果所需要的。具体地说，假设a>0，我们有p{B（t）≤ a+bt，适用于所有t∈ [0，T]}=Φ（b√T+a√T）- E-2abΦ（b√T-A.√T） （2）其中Φ是N（0，1）随机变量的分布，当≤ 0、备注2.1。如果b>0，T=∞, 那么方程（2）中的概率isP{B（t）≤ a+bt，适用于所有t≥ 0}=1- E-2ab。接下来，我们给出了部分最大ms定理2.2的第一个结果。

如果s∈ [0，1]，则S lepian进程S的运行最大msof的pdf由p（m）给出=√2πZm-∞经验值{-x} Φ（m- x个√s+m+x√s） dx（3）-√2πexp{-m} Zm公司-∞Φ(-M- 十、√s+m+x√s） dx，其中s=s2-s、 该定理的证明基于一个事实，即在s（0）条件下，Slepian过程是与布朗运动等价的不分布，我们在第n3节给出了一个证明。SLEPIAN过程运行最大值的联合分布3备注2.3。（i） 当s=0时，则misP的pdf（m）=√2πZm-∞经验值{-x} dx=Φ（m），这也可以通过m=S（0）得到。（ii）当s=1时，从定理2.2中，我们得到全局最大值max0的pdf≤U≤[9]中也证明了如下所示的1S（u），P（M）=P最大值0≤U≤1S（u）≤ M= Φ（M）- Mφ（M）Φ（M）- φ（M），其中φ为Φ的pdf；recallΦ是N（0，1）随机变量的df。备注2.4。如果在定理2.2中m=0，则正在运行的最大进程mstake non positivevalue isP（0）=Z的概率-∞φ（x）Φ（s-1.√sx）dx-√2πZ-∞Φ（s+1√sx）dx=2πarctan√不锈钢- 1.-√s（s+1）π，例数=1是[9]中的备注3.2。接下来，我们建立了MSA和Mt的联合分布函数，将其分为两种情况：s>0和=0。定理2.5。如果0<s≤ T≤ 1，则运行的maxima Ms和Mtof Slepian过程S的联合pdf由p（m，m）=Zm给出-∞Zpx+q-∞2π√sexp{-y2s}扩展{-x} n1型- 经验值{-（m）- x） （px+q- y） s}o×nΦ（px+η- yδ+M+xδ）- 经验值{-（M+x）（px+η）- y） }Φ（px+η-yδ-M+xδ）odydx，（4），其中p=1-s、 q=s+1m，η=s+1m，δ=√T- s、 s=s2-s、 T=t2-t、 第3节介绍了这个定理的证明。定理2.6。如果s=0，则运行的最大和最大滑动过程s的联合pdf由P（m，m）给出=√2πZm-∞经验值{-x} Φ（M- 十、√T+M+x√T）dx（5）-√2πexp{-M} Zm公司-∞Φ(-M- x个√T+M+x√T）dx，其中T=t2-t、 第3.2.1节给出了该定理的证明。部分最大值的力矩。

现在我们开始计算部分最大值ms的矩，from Theorem2。经过一些计算，我们得到了ms的密度函数p（m），它表示为：p（m）=1+sΦ(√sm）φ（m）+s1+smΦ(√sm）φ（m）+maφ(√sm）φ（m），（6），其中a=1+s√sis是一个常数。从等式（6）（或等式（3）），我们可以分析ms的特征。在图e2中，我们绘制了运行最大mt.4平津灯的分布和密度-1 0 1 2 3 400.10.20.30.40.50.60.70.80.91mP（m）t=0.3（a）mt的分布，t=0.3。-5.-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4 500.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5mp（m）t=0.3（b）t=0.3的mt密度。-1 0 1 2 3 400.10.20.30.40.50.60.70.80.91mP（m）t=0.8（c）mt的分布，t=0.8。-5.-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4 500.10.20.30.40.50.60.7mp（m）t=0.8（d）mt的密度，t=0.8。图2：。方程（3）和（6）分别给出了运行最大mt的分布和密度，不同的t。给定s，计算ms的力矩，由m（θ）给出的msis的力矩母函数：=E[exp{θms}]=Z∞-∞exp{θm}p（m）dm，第k阶矩E[mks]的公式由矩生成函数的第k阶导数给出，并设置θ=0，即E[mks]=dkM（θ）dθk |θ=0。利用方程（6），我们得到以下结果：引理2.7。假设0≤ s≤ 1是固定的，msisM（θ）=exp{θ}G（θ），（7）的力矩生成函数，其中G（θ）=λZ∞-∞Φ(√sm）φ（m- θ） dm+uZ∞-∞mΦ(√sm）φ（m- θ） dm+γZ∞-∞mφ(√sm）φ（m- θ） dm，λ=1+s，u=s1+s，γ=√s1+s，s=s2- s、 我们在第3节给出了这个引理的证明。使用方程式（7），我们可以计算所有或der的力矩，前两个力矩收集为以下推论2.8。

给定0≤ s≤ 1，则一阶和二阶矩由p给出：=E【ms】=√s√2π√1+s，（8）SLEPIAN过程的运行最大值的联合分布5p：=E[ms]=2+3s1+s。（9）这个推论的证明显示在第3节。结合方程式（8）和（9），我们可以得到ms的方差函数。在图3中，我们绘制了mt.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.20.40.60.811.21.4矩均值方差函数图3。运行maximun proce ss mt.3的测量和方差函数。定理证明2。2： 观察到运行中的最大msofSlepian过程的概率分布函数为isP（m）=Pms=最大值0≤U≤sS（u）≤ M= P{S（u）≤ m、 适用于所有u∈ [0，s]}。通过S（0）条件，我们表示上述概率asP（m）=Zm-∞P{S（u）≤ m、 适用于所有u∈ [0，s]| s（0）=x}Д（s（0）=x）dx，其中Д（s（0）=x）是s（0）的密度，即Д（s（0）=x）=√2πexp{-x} 。根据文献[9]中的引理2.3，过程Y=nYt=（S（t）| S（0）=x），t∈ [0，1]过程Z=nZt=（2）分布中的ois当量- t） B（t2-t） +（1- t） x，t∈ [0，1]o，thusP（m）=Zm-∞P（2）-u） B（u2- u） +（1- u） x个≤ m、 适用于所有u∈ [0，s]Д（S（0）=x）dx=Zm-∞PB（u）≤ （m+x）u+m- x、 适用于所有u∈ [0，s2- s]Д（S（0）=x）dx。（10） Lets=s2-s、 然后从著名的Bachelier-Levy公式（见方程式（2））中，我们得到B（u）≤ （m+x）u+m- x、 适用于所有u∈ [0，s]= Φ（m- 十、√s+m+x√s）- 经验值{-M- x} Φ(-M- 十、√s+m+x√s） ，（11）6平津灯塔Φ（x）=Rx-∞√2πe-sds是标准正态分布的累积分布函数。

代入方程式（11）和Д（S（0）=x）=√2πexp{-x} 在方程（10）中，我们得出结论P（m）=√2πZm-∞经验值{-x} Φ（m- 十、√s+m+x√s） dx公司-√2πexp{-m} Zm公司-∞Φ(-M- 十、√s+m+x√s） dx，定理证明2.5：对于0≤ s≤ T≤ 1，米≤ M，Slepian过程的运行极大值Ms和Mtof s isP（M，M）=P之间的联合概率分布函数ms=最大值0≤u≤sS（u）≤ m、 Mt=最大值0≤U≤tS（u）≤ M= P{S（u）≤ m、 适用于所有u∈ [0，s]和s（u）≤ M代表所有u∈ [0，t]}。再次使用条件过程Y=nYt=（S（t）| S（0）=x，t∈ [0，1]ois等效不分布，过程Z=nZt=（2- t） B（t2-t） +（1- t） x，t∈ [0，1]o，我们得到p（m，m）=Zm-∞P{S（u）≤ m、 适用于所有u∈ [0，s]和s（u）≤ M代表所有u∈ [0，t]| S（0）=x}Д（S（0）=x）dx=Zm-∞PnB（u）≤ （m+x）u+m- x、 适用于所有u∈ [0，s2- s] 和（12）B（u）≤ （M+x）u+M- x、 适用于所有u∈ [0，t2- t] oД（S（0）=x）dx，其中Д（S（0）=x）=√2πexp{-x} 是S（0）的密度。

自0起≤ s≤ T≤ 1，米≤ M，然后是2- s≤t2级- t；m+xu+m- 十、≤M+xu+M- x、 u型∈ [0，s2- s] 因此，等式（12）中的最后一个概率等于toP（m，m）=Zm-∞PnB（u）≤ （m+x）u+m- x、 适用于所有u∈ [0，s2- s] andB（u）≤ （M+x）u+M- x、 适用于所有u∈ [s2- s、 t2级- t] oД（S（0）=x）dx。设a=m+x，b=m-x、 c=M+x，d=M-x、 s=s2-s、 T=s2-s、 我们可以用符号asP（m，m）=Zm来简化P（m，m）-∞PnB（u）≤ au+b，适用于所有u∈ [0，s]和（13）B（u）≤ cu+d，适用于所有u∈ [s，T]oД（s（0）=x）dx。实际上，表示byl（u）=au+b，u∈ [0，s]cu+d，u∈ [s，T]，那么方程（13）可以看作是具有分段线性函数l（u）的Slepian过程的边界非交叉概率，然而，这里不能使用[9]中的定理3.7，因为l（u）在s处不是连续的。为了用方程（13）计算P（m，m），我们需要计算具有非连续边界l（u）的B Rownian运动的非交叉概率，即PlB：=PnB（u）≤ au+b，适用于所有u∈ [0，s]和（14）B（u）≤ cu+d，适用于所有u∈ 【s，T】o.SLEPIAN过程的运行最大值的联合分布7这里使用标准布朗运动B（u）的强马尔可夫性质计算PLBI的技巧（参见e.g.【34】）。

具体地说，通过对方程（14）中的B（s）进行调节，我们得到plb=Zmin（as+B，cs+d）-∞PnB（u）≤ au+b，适用于所有u∈ [0，s]和B（u）≤ cu+d，适用于所有u∈ [s，T]B（s）=yoИ（B（s）=y）dy=Zas+B-∞P{B（u）≤ au+b，适用于所有u∈ [0，s]| B（s）=y}（15）×P{B（u）≤ cu+d，适用于所有u∈ [s，T]| B（s）=y}Д（B（s）=y）dy，其中Д（B（s）=y）=√2πsexp{-y2s}是B（s）的密度，上面的第二个等式由as+B得出≤ cs+d与布朗运动B（u）的独立性。在方程（15）中，第一因子isP{B（u）≤ au+b，适用于所有u∈ [0，s]| B（s）=y}=PuB（u）≤ a+bu，适用于所有u∈ [s，∞) |sB（s）=y= PB（u）≤ a+bu，适用于所有u∈ [s，∞) | B（s）=ys= PB（u）- B（s）≤ a+bu-ys，所有u∈ [s，∞) | B（s）=ys= PB（u）- B（s）≤ a+bu-ys，所有u∈ [s，∞)= PB（u）≤ a+b（u+s）-ys，所有u∈ [0，∞),上面的第二个等式来自{uB（u）；u∈ [s，∞)} 在分布上等价于{B（u）；u∈ [0，s]}，以及自过程{B（u）以来，HOLD上方的最后两个等式- B（s）；U∈ [s，∞)} 也是标准布朗运动，与B（s）无关。