在两个基准交易中静态与自适应的最优执行策略

Piat：基准交易执行模型7C中的静态与自适应最优解决方案*（XT）-3，圣-3） =最小值兽医-3[圣-2.VT公司-3+C*（XT）-2，ST-2） ]=最小值兽医-3[圣-2.VT公司-3+ST-2XT-2+3θXT-2+γρ（1+ρ）XT-2年期-2.-γρ4θYT-2] =最小值V[（ST-3+θVT公司-3+γρYT-3） XT公司-3+3θ(VT公司-3.- XT公司-3） +γρ（1+ρ）(VT公司-3.- XT公司-3） 年初至今-3.-γρ4θ（ρYT-3+σY）]=最小值V[3θVT公司-3.-θXT-3+γρ（1+ρ）YT-3.VT公司-3+ST-3XT-3+3θXT-3+γρYT-3XT-3（1+ρ+ρ）-γρ4θ（ρYT-3+σY）]。为了找到该表达式的最小值，我们将其相对于VT公司-3：C（XT-3，圣-（3）VT公司-3=3θVT公司-3.-θXT-3.- γρ（1+ρ）YT-3=0。该方程的解是在时间T执行的最佳数量- 3：五、*T-3=XT-3+γρ（ρ+2）3θYT-3、然后计算时间T的最优预期成本- 3： C类*（XT）-3，圣-3） =3θ(五、*T-（3）-θXT-3+γρ（1+ρ）YT-3.五、*T-3+ST-3XT-3+3θXT-3+γρYT-3XT-3（1+ρ+ρ）-γρ4θ（ρYT-3+σY）=3θXT公司-3+γρ（ρ+2）3θYT-3.+ ST公司-3XT-3+3θXT-3.-γρ4θ（ρYT-3+σY）-θXT-3+γρ（1+ρ）YT-3.XT公司-3+γρ（ρ+2）3θYT-3.+ γρYT-3XT-3（1+ρ+ρ）=ST-3XT-3+2θXT-3+ρ+2ρ+3γρXT-3年期-3.-γρ4θ（（ρ+2）+ρ）YT-3+σY.更一般地说，我们可以从前面的三个最优策略和预期成本结果中看到一种模式，这可以通过归纳法得到正式证明。命题2.3（最佳执行策略）。对于任何i≥ 1时间T的最佳执行策略-我是五、*T-i=XT-ii+所有-iwith ai=γPi-1k=1（i- k） 对于i，ρk+1iθ≥ 2，a=0。D、 Brigo，C.Piat：《基准交易执行模型中的静态与适应性最优解决方案》8备注2.4。a可以简化为i=γρiθ（1- ρ） （ρi- iρ+i- 1） 对于i≥ 1.证明。让我≥ 2、ai=γiθi-1Xk=1（i- k） ρk+1=γθρi-2Xk=0ρk-γiθρi-1Xk=1kρk-1=γθρ1- ρi-11- ρ-γiθρ（i- 1） ρi- iρi-1+1（1- ρ） =γρiθ（1- ρ）我- iρi-1.- iρ+iρi- （一）- 1） ρi+iρi-1.- 1.a=0。提议2.5（最佳预期成本）。

对于任何i≥ 1、当时的最低预期成本- i isC公司*ad（XT-i、 ST公司-i） =ST-iXT公司-i+i+12iθXT-i+（i+1）θai+1iρXT-iYT公司-我- 比伊特-我- （一）-1Xk=2bk）σy，bi=iXk=2θρ2（i-k） k2（k- 1） akfor i公司≥ 2、备注2.6。可以简化为i=γρ2θ（1- ρ）1.- ρ2i1+ρ-（1）- ρi）i（1- ρ）对于i≥ 2.D.Brigo，C.Piat：《基准交易执行模型中的静态与适应性最优解决方案》9Proof。让我≥ 2、bi=iXk=2ρ2（i-k） γρ2（k- 1） kθ（1- ρ） （ρk- kρ+k- 1） =γρ2i+42θ（1- ρ） iXk=2ρ-2kρ2k- 2kρk+1+2（k- 1） ρk+kρ- 2k（k- 1） ρ+k- 2k+1（k- 1） k=γρ2i+42θ（1- ρ） iXk=2（k）- 1） k级-2ρ1-kk公司- 1+2ρ-kk+kρ2（1-k） k级- 1.- 2ρ1-2k+（k- 1） ρ-2kk=γρ2i+42θ（1- ρ） “iXk=2k- 1.-k-我-1Xk=12ρ-kk+iXk=22ρ-kk+i-1Xk=1（k+1）ρ-2kk-iXk=22ρ1-2k+iXk=2（k- 1） ρ-2kk#=γρ2i+42θ（1- ρ）1.-我+ 2.-ρ-1+ρ-二+ （ρ-2+ρ-4.- 2ρ-3） ρ-2（一）-（1）- 1ρ-2.- 1个+ρ-2.-ρ-2ii=γ2θ（1- ρ）1.-我ρ2i+4- 2ρ2i+3+2ρi+4i+（1- ρ） ρ- ρ2iρ-2（1- ρ） +ρ2i+2-ρi=γ2θ（1- ρ）（ρ- 2ρ+1）ρ2i+2+（1- ρ） ρ- ρ2i+21+ρ+-ρ2i+4+2ρi+4- ρi=γ2θ（1- ρ）（1）- ρ） （ρ2i+2- ρ2i+4）+（1- ρ） （ρ- ρ2i+2）1+ρ-（1）- ρi）iρ.推论2.1。特别是，时间0时的最佳预期成本为*ad（X，S）=SX+T+12TθX+（T+1）θaT+1TρXY- bTY公司- （T-1Xk=2bk）σY.（2.7）备注2.7。虽然采用了此策略，但它不考虑价格，只考虑信息流程。这是有意义的，因为如果没有信息，最佳策略将是确定性的，如[6]所示。2.3永久市场影响：最优确定性解决方案我们现在将（2.5）的解决方案限制为确定性，以便在时间0时知道该策略，并且无需进一步计算即可执行，与价格所采取的路径无关。定理2.8（最优确定性执行策略）。当我们将解限制在确定性策略的子集时，最优策略是x*t=t- tTX+γYρθ（1- ρ）ρt- 1+（1- ρT）tT. （2.8）D.Brigo，C。

Piat：基准交易执行模型中的静态与适应性最优解决方案10Proof。为了求解（2.5），我们将简单地假设每个X在时间0时已知，并计算时间0时的预期成本：C（X，S{V}）=E“T-1Xt=0St+1Vt#=T-1Xt=0VtE[St+1]自Vt=Xt- Xt+1确定性=T-1Xt=0Vt（E[St]+θVt+γE[Yt+1]=T-1Xt=0VtS+θtXi=0Vi+γYt+1Xi=1ρi！感应=SX+T-1Xt=0（Xt- Xt+1）θtXi=0（Xi- Xi+1）+γYρ1- ρt+11- ρ！=SX+θT-1Xt=0（Xt- Xt+1）（X- Xt+1）+γYρT-1Xt=01- ρt+11- ρ（Xt- Xt+1）。问题（2.5）可以重写asC*（X，S）=minxC（X）。为了找到最小值，我们将预期成本对X，…，的偏导数设为零。。。，XT公司-1、对于t=1。。。，T- 1它给了我们CXt=θ（X- Xt+1）- θ（X- Xt）- θ（Xt-1.- Xt）+γρY1.- ρt+11- ρ-1.- ρt1- ρ= 0.我们得到差值方程xt+1- 2Xt+Xt-1=γYθρt+1，（2.9），边界条件X=X，XT=0。对于某些常数A、B和C，（2.9）的解的形式为A+Bt+Cρt。将此表达式插回方程yieldsA+B（t+1）+Cρt+1- 2（A+Bt+Cρt）+A+B（t- 1） +Cρt-1=γYθρt+1Cρt（ρ- 2+ρ-1） =γYθρt+1C=γYρθ（1- ρ） 。D、 Brigo，C.Piat：基准交易执行模型11中的静态与自适应最优解，根据我们得到的边界条件X=A+C=X，A=X-γYρθ（1- ρ） ，andXT=A+BT+CρT=0，B=-XT+γYρ（1- ρT）θ（1- ρ） 结合这些，我们得到了最优确定性策略的闭式公式。备注2.9。如果Y=0（没有初始信息）、ρ=0（信息只是噪声）或γ=0（信息是无关的），则该策略包括在T期间按相等数量的顺序分割执行。这是一种更为普遍的策略（即VWAP（volume weighted average price））的特例，是在没有信息的情况下获得的策略。定理2.10（与确定性策略相关的最优预期成本）。