在两个基准交易中静态与自适应的最优执行策略

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英文标题：
《Static vs adapted optimal execution strategies in two benchmark trading
  models》
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作者：
Damiano Brigo, Clement Piat
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider the optimal solutions to the trade execution problem in the two different classes of i) fully adapted or adaptive and ii) deterministic or static strategies, comparing them. We do this in two different benchmark models. The first model is a discrete time framework with an information flow process, dealing with both permanent and temporary impact, minimizing the expected cost of the trade. The second model is a continuous time framework where the objective function is the sum of the expected cost and a value at risk (or expected shortfall) type risk criterion. Optimal adapted solutions are known in both frameworks from the original works of Bertsimas and Lo (1998) and Gatheral and Schied (2011). In this paper we derive the optimal static strategies for both benchmark models and we study quantitatively the improvement in optimality when moving from static strategies to fully adapted ones. We conclude that, in the benchmark models we study, the difference is not relevant, except for extreme unrealistic cases for the model or impact parameters. This indirectly confirms that in the similar framework of Almgren and Chriss (2000) one is fine deriving a static optimal solution, as done by those authors, as opposed to a fully adapted one, since the static solution happens to be tractable and known in closed form.
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中文摘要：
我们在两类不同的策略中考虑交易执行问题的最优解：i）完全适应或自适应策略；ii）确定性策略或静态策略，并对它们进行比较。我们在两种不同的基准模型中实现了这一点。第一个模型是一个具有信息流过程的离散时间框架，处理永久和临时影响，最大限度地降低交易的预期成本。第二个模型是一个连续时间框架，其中目标函数是预期成本和风险价值（或预期短缺）型风险标准之和。在Bertsimas和Lo（1998年）以及Gathereal和Schied（2011年）的原著中，两个框架中都知道最佳适应解决方案。在本文中，我们推导了两个基准模型的最优静态策略，并定量研究了从静态策略转移到完全适应策略时的最优性改进。我们得出结论，在我们研究的基准模型中，除了模型或影响参数的极端不切实际的情况外，差异并不相关。这间接证实了在Almgren和Chriss（2000）的类似框架中，可以很好地推导静态最优解，正如这些作者所做的那样，而不是完全适应的，因为静态解碰巧是可处理的，并且以闭合形式已知。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Static_vs_adapted_optimal_execution_strategies_in_two_benchmark_trading_models.pdf (803.6 KB)

2022-5-25 16:36:05 上传

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关键词：Quantitative QUANTITATIV derivatives IMPROVEMENT agent-based

静态vs在两个基准交易模型中采用了最优执行策略damiano-BrigoDept。伦敦达米亚诺数学学院。brigo@imperial.ac.ukCl\'水泥浇筑深度。伦敦克莱门特数学学院。piat15@imperial.ac.ukFirst版本：2016年9月7日。本版本：2016年9月20日摘要我们考虑两种不同类别的交易执行问题的最优解决方案，i）完全适应或自适应，ii）确定性或静态策略，并对其进行比较。我们在两种不同的基准模型中实现了这一点。第一个模型是具有信息流动过程的特定时间框架，处理永久性和临时性影响，最大限度地降低交易的预期成本。第二个模型是一个连续时间框架，其中目标函数是预期成本和风险价值（或预期短缺）型风险标准之和。最佳自适应解决方案在Bertsimas和Lo（1998）以及Gathereal和Schied（2011）的原著中的两个框架中都是已知的。在本文中，我们推导了两个基准模型的最优静态策略，并定量研究了从静态策略转移到完全适应策略时的非优化改进。我们的结论是，在我们研究的基准模型中，除了模型或影响参数的极端真实情况外，差异不相关。

这间接证实，在Almgren和Chris（2000）的类似框架中，一个是由这些作者所做的静态最优解，而不是完全适应的静态最优解，因为静态解碰巧是可处理的，并且以封闭形式已知。AMS分类代码：60H10、60J60、91B70；JEL分类代码：C51、G12、G13关键词：最优交易执行、最优调度、算法交易、变异演算、风险度量、风险价值、市场影响、永久影响、临时影响、静态解决方案、适应性解决方案、动态规划。D、 Brigo，C.Piat：基准交易执行模型中的静态与自适应最优解决方案21简介交易执行的一个基本程式化事实是，当交易者在有限的时间内买卖大量股票时，市场自然会朝相反的方向移动。如果假设交易资产的价格动态不受影响，交易活动将影响该价格并导致价格受影响。基于供需的分析表明，如果交易员开始大量买入，其他交易员会注意到，受影响的价格将趋于上涨。同样，如果一个人开始大量销售，受影响的价格将趋于下降。当市场高度缺乏流动性时，这一点尤为重要，因为在这种情况下，任何交易都会被忽视。最优执行或更恰当的最优调度的目标是确定如何以预期利润或成本尽可能最佳的方式执行订单，同时考虑交易对受影响价格的影响。就我们在本文中所关注的而言，有两大类交易策略：确定性（在执行文献行话中也称为静态）和适应性（或适应性）。我们将交替使用静态/确定性和自适应/自适应。

确定性策略是在执行之前设置的，因此它们独立于价格所采用的实际路径。他们只依赖最初已知的信息。在执行之前，不知道调整后的策略。每次执行的数量取决于目前已知的所有信息。显然，在现实中，市场运营商将根据市场价格和交易的演变来监控市场价格和交易，因此，调整后的策略更为自然。然而，在一些模型中，在适应性策略类别中找到最优交易策略比在静态策略类别中找到最优交易策略要困难得多。1998年，Bertsimas和Lo【6】将最佳执行定义为在固定时间内将预期交易成本降至最低的策略。他们通过使用动态规划得出最优策略，这意味着他们在时间上倒退。因此，在适应策略的类别中寻求最佳解决方案，这是反向归纳法的自然结果，但无论如何都是确定的。然而，一旦添加了影响价格的信息流程，就会调整最佳解决方案，而不再是静态的。该方法仅将预期交易成本降至最低，未将任何风险纳入待优化的标准中。特别是，该标准没有考虑成本函数的方差。两年后，Almgren和Chriss[2]考虑了目标函数的最小化，该目标函数是预期执行成本和成本差异风险标准之和。与之前的模型不同，该设置在标准中包含了惩罚交易成本巨大可变性的可能性。为了解决由此产生的均值-方差优化问题，Almgren和Chriss从一开始就假定解决方案是确定性的。这允许他们获得一个封闭形式的解决方案。

然而，这种解决方案只是静态策略中的最佳解决方案，而不是更广泛、更自然的适应策略。Gatheral和Shied后来解决了一个类似的问题，主要区别在于他们为未受影响的价格假设了一个更现实的模型。Gatheral和Schied-derivean采用了另一种风险标准，即风险函数的时间平均值来调整解决方案。它们得到了策略和最优成本的闭式表达式。TheD。Brigo，C.Piat：基准交易执行模型中的静态与自适应最优解决方案3解决方案不是静态的。然而，这似乎并没有导致一个在质量上与静态解决方案截然不同的解决方案。事实上，Brigo和Di Graziano（2014）添加了置换扩散动力学，发现在许多情况下，信号的粗略统计数据与简单规则扩散模型的类别有关[7]。在本文中，我们将详细比较静态解和完全自适应解。由于在Almgren和Chriss[2]的设置中获得的解决方案是确定性的，在成本差异风险标准下，在完全适应的解决方案集中，它们可能是次优的，因此一些论文试图通过稍微改变框架来找到适应的解决方案。这使我们能够在执行过程中考虑新的价格信息，并建立更精确的模型。例如，在2012年，Almgren[5]假设波动性和流动性是随机的。在这些假设下，他从数值上获得了合适的结果。

Almgren和Lorenz【4】通过使用适当的动态规划技术获得了适当的解决方案。同样，在本文中，我们将重点关注在经典的离散时间环境下（Bertsimas和Lo[6]）采用更一般的适应策略而非简单的确定性策略，以及在连续时间环境下（Gatheraland Schied）采用时间平均风险值标准[12]）所获得的收益。本文的结构如下。在第2节中，我们将介绍Bertsimas和Lo提出的离散时间模型，研究对未受影响价格的临时和永久市场影响的情况，并包括价格也受信息流过程影响的情况下的解决方案。我们将推导和研究最佳静态和完全适应的解决方案，并对其进行比较，通过几个数值示例量化完全适应的收益。在第3节中，我们将介绍Gatherel和Schied中的连续时间模型，考虑到临时和永久影响以及基于风险价值的风险标准。我们将报告在【12】中推导出的最佳完全适应解，并将使用变分法技术推导出最佳静态解，类似于【10】中的计算。我们将在一个数字例子中比较这两种解决方案和最优标准，以再次看到完全适应会带来多大收益。第4节总结了本文，总结了其发现，并指出了未来可能的研究方向。2具有信息流的离散时间交易2.1具有基于成本的标准的模型公式et XT是在时间t剩余执行的单位数，因此X=X是初始金额，XT=0是在最后时间t。在本节中，我们考虑购买订单，因此该策略的目的是在时间T之前购买数量X的资产，从而最小化交易的预期成本。

在时间间隔[t，t+1]期间要执行的量为Vt：=Xt- Xt+1。我们期望Vtto是非负的，因为我们想实施aD.Brigo，C.Piat：基准交易执行模型4纯购买计划中的静态与自适应最优解决方案。然而，我们不会对因此，原则上，最优解决方案可以考虑混合买入/卖出最优策略。由于问题是离散时间的，因此它只在每个周期更新，因此我们将假设价格在两次更新之间没有变化。考虑到这一点，我们假设未受影响的中间价格过程为eSt=eSt-1+γYt+σeSWt公司-1，（2.1）Yt=ρYt-1+σYZt公司-1，（2.2）其中信息系数γ、挥发度σ和σ是正常数，Wand Z是独立的标准布朗运动，参数ρ为(-1，1）。Wede定义Wt=Wt+1- Wt，Zt=Zt+1- Zt。如果我们的处决没有影响，那么eS就是代价。它遵循算术布朗运动（ABM），其中添加了信息组件Y。信息处理Y是一个AR（1）处理。例如，它可以是S&P500指数的回报，或者是交易证券的特定信息。γ表示该信息的相关性，即它对价格的影响程度。我们将考虑实际价格的两种动态，这取决于市场影响是永久性的还是暂时性的。我们将在下面定义价格动态时解释这些术语的含义。我们假设在这两种情况下，市场影响都是线性的，这意味着市场对未执行数量的反应是成比例的。在永久性市场影响的情况下，中间价动态会因每次执行而改变。

这意味着，当我们计算交易成本时，在执行期间，未受影响的价格被受影响或受影响的价格取代：St=St-1+θVt公司-1+γYt+σSWt公司-1，S=eS，（2.3），其中永久冲击参数θ为正常数。在临时市场影响的情况下，每次执行仅改变当前时间段的价格。中间价格仍然由（2.1）给出，有效价格S是从每个时期得出的。S具有以下动力学：St=eSt+ηVt公司-1，S=eS，（2.4），其中临时冲击参数η为正常数。备注2.1。由于一种情况假设影响持续整个交易，而另一种情况假设影响是瞬时的，并且只影响一个订单，因此这两种情况都是更具进步性的更一般影响模式的极限情况，参见Obizhaeva和Wang【17】。我们将保留这两个更加程式化的影响案例，并分别进行分析。这两种情况下的问题都是最小化预期的执行成本。由于我们正在考虑aD.Brigo，C.Piat：基准交易执行模型5购买订单中的静态与自适应最优解决方案，XT是剩余的购买数量。因此，在时间0 isC时的最佳预期执行成本*（X，S）：=最小值{V}C（X，S{V}）=最小值{V}E“T-1Xt=0St+1Vt#，（2.5）受制于X=X，XT=0。备注2.2。如前所述，我们不对V，这意味着我们可以在购买订单中进行销售。现在，我们给出了一些计算，得出了问题（2.5）在永久和临时影响情况下的最优解。我们在一般情况下的计算基本上遵循Bertsimas和Lo【6】，但符号略有不同，正如最初在Bonart、Brigo和di Graziano【8】和Kulak【15】中所做的那样。

我们使用一种更简单的方法进一步推导静态类中的最优解。2.2永久市场影响：最佳适应解决方案在本节中，我们解决了问题（2.5），再现了Bertsimas和Lo的解决方案[6]，假设市场影响是永久的，这意味着受影响的价格如下（2.3）。在自适应设置中，问题以递归方式解决。在任何时间t，我们将问题视为t是初始时间，并且从时间t+1开始执行是最优的。我们只需要在t时期做出决定，忽略过去，已经解决了未来。对于任何t，从时间t开始的执行成本是时间t的成本和从时间t+1开始的成本之和。取期望值的最小值，这可以写成Bellman方程：C*（Xt，St）=最小值兽医[St+1Vt+C*（Xt+1，St+1）]。（2.6）由于执行应在时间T（XT=0）前完成，所有剩余股份必须在最后一段时间内执行：五、*T-1=XT-将该值代入t=t时的Bellman方程（2.6）- 1给出了时间T的最佳预期成本- 1： C类*（XT）-1，ST-1） =最小值兽医-1[街VT公司-1] =ET-1[文本-1] =ET-1[（ST-1+θXT-1+γYT）XT-1] =ST-1XT-1+θXT-1+ργXT-1年期-1，D.Brigo，C。

Piat：基准交易执行模型6中的静态与适应性最优解决方案，其中我们使用了YT-1，XT-1和ST-1在时间T已知- 以及标准布朗运动增量的完全期望。现在我们后退一步，以在时间T获得最优策略- 2，将上述表达式插入（2.6）中，取t=t-2并注意到XT-1=XT-2.-VT公司-2、C*（XT）-2号街-2） =最小值兽医-2[圣-1.VT公司-2+C*（XT）-1，ST-1） ]=最小值兽医-2[（ST-2+θVT公司-2+γρYT-（2）VT公司-2+ST-1XT-1+θXT-1+ργXT-1年期-1] =最小值V[（ST-2+θVT公司-2+γρYT-（2）VT公司-2+（ST-2+θVT公司-2+γρYT-2+γρYT-2） （XT）-2.- VT公司-2） +θ（XT-2.- VT公司-2） ]=最小值V[ST-2XT-2+γρYT-2XT-2（1+ρ）- （γρYT-2+θXT-（2）VT公司-2+θXT-2+θVT公司-2] 。为了找到该表达式的最小值，我们将其相对于VT公司-2：C（XT-2，ST-（2）VT公司-2=-θXT-2.- γρYT-2+2θVT公司-2=0。该方程的解是在时间T执行的最佳数量- 2：五、*T-2=XT-2+γρYT-22θ。时间T的最优预期成本- 2 isC*（XT）-2，ST-2） =ST-2XT-2+γρYT-2XT-2（1+ρ）- （γρYT-2+θXT-（2）五、*T-2+θXT-2+θ(五、*T-2） =ST-2XT-2+γρYT-2XT-2（1+ρ）- （γρYT-2+θXT-（2）XT公司-2+γρYT-22θ+ θXT-2+θXT公司-2+γρYT-22θ= ST公司-2XT-2+3θXT-2+γρ（1+ρ）XT-2年期-2.-γρ4θYT-2、我们使用上述表达式恢复递归，并在时间t获得最优策略- 3.D.Brigo，C。