随机网格法在CVA有效逼近中的应用

设Y（t）=g（t，X（t，X*)), 0.5 t 5 t.LetLt=t+V+dXi=1Vi。根据It^o公式，Y（t）’m（m（t））=Y（s）’m（m（s））+ZtsY（r）Иm（r））dM（r）+ZtsY（r）Иm（m（r））dhMi（r）+Zts’Иm（r））dY（r）+ZtsdhY，’m（m）i（r。注意，M（t）=M（s）+dXj=1ZtsVj（PT-rF）（X（r，X*))dBj（r），hMi（t）=hMi（s）+dXj=1Zts（Vj（PT-rF）（X（r，X*)))dr，Y（t）=Y（s）+dXj=1Zts（Vjg）（X（r，X*))dBj（r）+Zts（Ltg）（X（r，X*))dr，andhY，(R)m（m）i（t）=hY，(R)m（m）i（s）+dXj=1Zts（Vjg）（X（r，X*))（Vj（PT-rF））（X（r，X*))dr.So我们有eu[| Y（t）(R)m（t））- Y（s）(R)m（m（s））|]=dXj=1ZtsEu[| Y（r）Дm（（PT-rF）（X（r，X*))) （Vj（PT-rF）（X（r，X*)))|]dr+ZtsEu[|um（m（r））（Ltg）（X（r，X*))|]dr+dXj=1ZtsEu[|（Vjg）（Vj（PT-rF））（X（r，X*))|]dr.现在，根据Дmand g的定义，我们得到了，ZtsEu[|μm（m（r））（Ltg）（X（r，X*))|]dr 5ZtsEu[| M（r）|]1/2Eu[|（Ltg）（X（r，X*))|]1/2月5日支持∈[0，T]Eu[|（Ltg）（X（r，X*))|]1/2ZtsEu[| M（r）|]1/2dr。根据伯克霍尔德不等式，ZtsEu[| M（r）|]1/2dr 5 Eu[hMit]1/2（t- s） 5 supr∈（s，t）kVj（PT-rF）k∞（t- s） 。另一方面，我们有，dXj=1ZtsEu[|（Vjg）（X（r，X*))（Vj（PT-rF））（X（r，X*))|]dr5 kVj（PT-rF）k∞dXj=1ZtsEu[|（Vjg）（X（r，X*))|]drdXj=1supr∈（s，t）kVj（PT-rF）k∞（t- s） ，对于任何F∈ C∞b（RN）和任何0<s<t<t。另一方面，μm（（PT-rF）（x*)) （Vj（PT-rF）（x*))= （Vj（μmo （PT-rF））（x*) （Vj（PT-rF））（x*)= Vj（μmo （PT-rF）（x*)Vj（PT-rF）（x*)) - ^1mo （PT-rF）（x*)Vj（PT-rF）（x*).注意，μm=0，我们有eu[| Y（r）μm（（PT-rF）（X（r，X*))) （Vj（PT-rF）（X（r，X*)))|]= Eu[| Y（r）|Иm（（PT-rF）（X（r，X*))) （Vj（PT-rF）（X（r，X*)))]= I1，j（r，f）- I2，j（r，f），其中i1，j（r，f）=Eu[| g（r，X（r，X*))|Vj（μmo （PT-rF）Vj（PT-rF））（X（r，X*))],I2，j（r，F）=Eu[| g（r，X（r，X*))|^1mo （PT-rF）（X（r，X*))Vj（PT-rF）（X（r，X*))].设Φg（r，x）=g（r，x（r，x*))|. 然后通过引理6，Φg∈ 数据处理设Φg，i（r，x），i=1，由引理5的公式确定。

那么我们有i1，j（r，F）=r-1/2Eu[Φg，j（r，x）umo （PT-rF）（X（r，X*))Vj（PT-rF）（X（r，X*))],和支持∈[0，T]，x∈RNEu[|Φg，i（t，x）| p]<∞.然后存在一个常数C>0，使得| I1，j（r，F）| 5 Cr-1/2kVj（PT-rF）k∞.我们还有| I2，j（r，F）| 5 CEu[| g（r，X（r，X*))|]kVj（PT-rF）k∞,对于任何F∈ C∞b（RN）和任何0<r<T。让向量场Vjbe表示为Vj=PNi=1vij（x）xi然后我们有vj（PT-rF）（x）=NXi=1NXk=1vij（x）（TΦk，i（T- r）Fxi）（x），其中Φk，i（t，x）=Xk（t，x）xind（TΦk，i（T）F）（x）=Eu[Φk，i（T，x）F（x（T，x））]。此外，我们有VJ（PT-rF）（x）=NXi=1NXk=1（Vjvij（x）（TΦk，i（T- r）Fxi）（x）+vij（x）（VjTΦk，i（T- r）Fxi）（x））。然后根据[7]的推论9，由于Φk，i∈ k存在一个常数C>0，这样kvj（PT-rF）k∞5 CkF k∞,andkVj（PT-rF）k∞5 C（T- r）-1/2公里F k∞,对于任何F∈ C∞b（RN），j=1，d、 和任何0<r<T。所以我们有e[| g（t，X）（t，X*)) ^1m（（磅-tF）（X（t，X）））- g（s，X）（s，X*)) ^1m（（磅-sF）（X（s，X）））|]5 CkF k∞Zts（r-1/2+（T- r）-1/2）dr.Letting m→ ∞, 我们有自己的主张。推论8让T>0。存在一个常数C>0，使得e[| g（t，X（t，X*))（PT-tF）（X（t，X*)) ∨ 0- g（s，X）（s，X*))（PT-sF）（X（s，X*)) ∨ 0 |]5 CkF kLipZts（r-1/2+（T- r）-1/2）dr，适用于任何F∈ Lip（RN）和任何0<s<t<t。证据对于F∈ Lip（RN），存在Fm∈ C∞b（RN），m=1，2，···，这样kFmk 5kF kLipand Fm（x）→ F（x），对于任何x∈ 注册护士。所以我们从引理7得到了结果。引理9设m=1，M、 T>0。存在一个常数C>0，使得Eu[| g（t，X（t，X*))（P（m）T-th）（X（m）（t，~X*m） （）- h（￠X（m）（t，￠X*m） ）|]5C（k香港∞+ k香港∞)（T- t） ，（15）andEu[| g（t，X（t，X））（P（m）t-t（h∨ 0））（￠X（m）（t，￠X*m） （）- （h）∨ 0）（￠X（m）（t，￠X*m） ）|]5C（k香港∞+ k香港∞)（T- t） 。（16） 对于任何h∈ C∞b（RNm），t∈ [0，T）。证明。（15）遵循It^o的公式。因此，我们显示（16）。设(R)k，k=1，…，如（14）所定义。