二分市场模型的危机和物理阶段

它们还表明，这些制度不会产生可观的利润或损失，因此在大多数情况下对投资者来说都相当不利，但由于其安全性，可能是一种应急计划（央行收购不良资产就是一种逆向行为）。05101520 25t（τ单位）0.00.20.40.60.81.0pu（t）α=1.50，β=1.50希腊：0.01意大利：0.41葡萄牙：0.05西班牙：0.00爱尔兰：0.4505101520 25t（τ单位）0.0×1001.2×1003.6×1001.0×1012.7×1017.4×1012.0×1025.5×103Ei（t）#破产银行：3IT043GR034GR030GR035FIG。3、当γ=αβ>1时，尽管负冲击后的价格和权益图的形状类似于当1>γ>0时，系统的行为在性质上是不同的。许多资产价格暴跌至或接近于零。这一体系之所以存在，是因为股本为零的投资者（银行）停止存在，不会进一步传播冲击。新的平衡，而当γ>1时，所有三个变量都呈指数增长，A，p不确定。换句话说，经济上的“泡沫”形成了。所以γ>1，如果它持续很长时间，要么形成泡沫，要么导致崩溃。由此得出以下结论：1。当γ=αβ<0时，没有投资者破产，但交易过程中损失或产生的金额也可以忽略不计。这使得这些制度（无论是投资者还是市场都是反向的，但并非两者都是）有利于防止失败，但它们对盈利非常不利。2、当1>γ>0时，系统不会出现振荡，但最终会在离原始状态不远的地方进入新的平衡状态。负面股票可能会导致一些投资者破产，这取决于他们的资产（A·p）最初与他们的权益的比较。3、当γ>1时，负面冲击会导致资产和股票指数下跌。如果γ<1持续存在，将出现危机。

正冲击可能形成泡沫和指数增长期。A、 全相位图。5显示了不同α和β值下系统的平均最终价格和松弛时间示例。这一体系似乎有两个显著的阶段：一个是在所有GIIP持有量（左上象限和右下象限）没有显著贬值的情况下达到新的平衡，另一个是所有GIIP持有量变得一文不值（右上象限和左下象限虚线上方）。在过渡区的倒立和第三象限中，弛豫时间变得非常大，这意味着驱动动力学的力变得非常弱。光滑度和弛豫时间增长似乎都表明存在二级相变。相变似乎可以很好地描述为：γ=αβ=1。现在我们对这个唯象模型的不同阶段进行了系统的数值分析。我们识别相位以及它们之间的二阶相位转换。然后，我们修改方程（1）–（3），并通过解析推导得出相位转换的条件。GIIPS的数据非常不一致，从这个意义上说，对于这些欧洲国家中的每一个，持有该国主权债务总额一半以上的投资者通常都不到几个。If048 12t（τ单位）0.860.900.940.98α=0.50，β=0.50，f=-0.1EpA048 12t（τ单位）1.001.041.081.121.16α=0.50，β=0.50，f=0.1EpA0 246 8t（τ单位）0.00.40.8α=1.50，β=1.50，f=-0.1EpA0 20 40 60t（τ单位）1001012102410361048010601072α=1.50，β=1.50，f=0.1epa图。1银行vs 1资产系统中微分方程的数值解。上图显示了一个“稳定”的状态，在冲击之后，没有任何变量衰减到零或爆炸，而是逐渐接近一组新的值。

下面的图处于“不稳定”状态，正或负冲击要么导致某些变量崩溃，要么导致某些变量爆炸或崩溃。43 21012 34α432101234β最终价格之和Xupu（tf）0.00.61.21.82.43.03.64.24.843 21012 34α432101234β松弛时间81624324048566472图。左图：GIIPS主权债务数据的相图，使用最终价格比率之和作为订单参数。我们可以在相位图中看到一个明显的变化，从红色相位到蓝色相位，最终平均价格很高，然后下降到零。与第一象限相比，在α<0、β<0象限，蓝相的下降更为突然。右图：系统达到新平衡阶段所需的时间。该弛豫时间在过渡区周围显著增加，这支持了第一象限和第三象限可能发生相变（显然是二阶）的观点。灰白色线表示曲线γ=αβ=1。它很好地拟合了长弛豫时间的红色曲线。这可能表明γ=1是分隔系统两相的临界值。我们做了一个平均场假设，并将网络分割开来，假设每个资产u有一个主要投资者，我们可以将其视为一个1投资者1资产系统，并尝试推导出这种情况下的阶段。如下所示，1乘1系统尽管在最终状态的细节方面没有网络系统的丰富性，但仍表现出相同的阶段。此外，我们能够解析地导出相变。五、 平均场相空间的分析推导在上述平均场方法中，我们处理的是一个1个投资者1个资产系统和一个E、a和p。我们可以结合等式。（1） –（3）在1乘1系统中，通过采用另一个t派生自（2）。

通过这种方式，我们可以消除E和A的大多数情况，找到p的方程（见附录A），其中包含一些非线性项。定义“返回”u≡ tp作为基本变量，非线性大致为u+a型tu.简而言之，方程式为τt+t+ωu=Outu公司pτ=τB+τA，ω=1-γApEτB+τA.（4）正如我们在附录A中所示，在γ<1的稳定阶段，r.h.s.上的非线性都不会很大。我们还表明，当γ<1时，Ap/E变成其t=0值加上其他不可能大的非线性项≈ 1+f+O（u）。对于小冲击f=-ε我们可以安全地使用Ap/E=1。因此，对于γ<1且变化不大的时间尺度，我们基本上处理的是阻尼谐振子。请注意，方程式（4）几乎与Bouchaud在[6]中提出的解释1987年坠机的方法相同。虽然ω依赖于A、p和E，但我们可以使用近似指数ansatz u~ uexp[λt]。λ的解为：λ±=-1±√1.-4τω2τ因此我们得到三个区域：1。当ω>4τ时，将出现振荡解。当γ<-（τA-τB）τAτB。对于τA=τB，这只是我们在模拟中观察到的振荡γ<0的条件。2、当4τ>ω>0时，即。-（τA-τB）τAτB<γ<1我们有衰减解，但λ±<0。因此，变化不会很大，最终系统会达到新的平衡。当ω<0，即γ>1时，我们将有两个符号相反的实解。正根λ+>0表示不稳定，因为该解发散。因此，我们证明了我们先前观察到的三个阶段的存在，并分析了过渡条件。很容易证明，在不稳定的相位中，解中出现λ±指数：返回tp是tp（t）=u（t）=u+eλ+t+u-eλ-t=0时的初始条件tp（0）=0我们有u+=-u-因此，这两种解决方案似乎具有同等的优势。

因此，无论何时-在我们的情况下）是肯定的，解决方案会出现分歧。当f>0时，泡沫形成并呈指数增长，而当f<0时，因为我们的变量是非负的，价格就崩溃到零。这证明稳定的有效条件是γ<1。还要注意，非线性项都与tp，因此att=0u（0），tu（0）= 因此，解在t=0时是精确的。导数和非线性项的详细信息在附录A中给出。在附录B中，我们使用所有三个变量X=E，p，AX的指数ansatz提供了另一个直接证明相变在γ=1时~ X+Xexp[宽x1t]+Xexp[宽x2t]。然后，我们证明，在相变附近，E、A、p中的指数表明，三者的相指数附近需要相同。此外，如图5中右图所示，在相变附近，系统演化的时间尺度与系统中的其他时间尺度相比非常长，因此比τin（4）长得多，意味着| wX | τ-1这导致方程的大量简化，并产生γ=1+f1-βfas——相变点，对于单位冲击f→ 0恢复γ=1。六、 结论我们已经证明，二部投资市场响应动力学的GIPSI模型[10]表现出三个阶段：两个稳定阶段，其中一个是振荡阶段，另一个是类logistic阶段；一个不稳定阶段，其指数衰减或增长取决于初始扰动。不稳定阶段可能存在于现实世界中，尽管它一定是短暂的。它可以描述“繁荣-萧条”时期：危机时期（如[10]所示）或快速增长时期，即所谓的“泡沫”。我们还从模型的平均场版本分析得出这些阶段。

平均场方程与Bouchaud[6]提出的Langevin方程几乎相同，该方程可以很好地描述崩溃附近的市场行为。Bouchaud模型中过渡所需的非线性项在GIPSI模型中自然存在，无需手动添加任何新项。七、致谢我们感谢欧盟委员会FET开放项目“FOC”255987和“FOC-INCO”297149、NSF（拨款SES-1452061）、ONR（拨款N00014-09-10380、拨款N00014-12-1-0548）、DTRA（拨款HDTRA1-10-1-0014、拨款HDTRA-1-09-1-0035）、NSF（拨款MMI 1125290）、欧洲多路复用和LINC项目的财政支持。我们还感谢StefanoBattiston进行了有益的讨论，并为我们提供了部分数据。作者还希望感谢马蒂亚斯·兰丹特（Matthias Randant）和其他人的有益评论和讨论，特别是福提奥斯·西奥基斯（Fotios Siokis）分享了有关数据和欧元区危机的重要观点。S、 V.B.感谢Yeshiva学院Bernard W.Gamson博士计算科学中心的支持。[1] Daron Acemoglu、Vasco M Carvalho、Asuman Ozdaglar和Alireza Tahbaz Salehi。聚合函数的网络起源。《计量经济学》，80（5）：1977–2016，2012。[2] F.Allen和D.（2007年）。大风系统性风险和监管。金融机构的风险。（第341-376页）。芝加哥大学出版社。[3] 富兰克林·艾伦和道格拉斯·盖尔。金融传染。《政治经济学杂志》，108（1）：1–332000年。[4] 莱昂纳多·巴吉格利、乔瓦尼·迪亚西奥、路易吉·因凡特、法布里齐奥·利洛和费德里科·皮埃罗邦。银行间市场和多元化网络：中心性度量和统计完整模型。在互联网络中，第179–194页。Springer，2016年。[5] Sushil Bikhchandani和Sunil Sharma。金融市场中的羊群行为。《国际货币基金组织经济评论》，47（3）：279-3102000。[6] J-P Bouchaud和Rama Cont.《朗之万应对股市波动和崩盘的方法》。

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《金融稳定杂志》，7（3）：111–125，2011年。附录A：1 Investorvs 1资产系统的分析结果我们给出了1×1模型的分析解，并得出了图5中出现相变的曲线。在任何时间t，a1×1系统的方程式变为(t+τBt） AA=β三通=βA热塑性弹性体(t+τAt） pp=αtAA（A1）下面，我们将尝试在这些方程的解中找到相变的条件。我们可以尝试消除A和E。我们首先需要找到首先是tA/A。从第二个方程中取另一个导数，得到(t+τAt） 聚丙烯-(t+τAt） ptpp=αtAA公司- αtAA公司（A2）将其与第一个方程式相结合，得出：(t+τAt） pp+τB(t+τAt） pp=γAtpE+O(tp）τAτBt+（τA+τB）t型+1.-γApEtp=O(tp）（A3）其中非线性项再次是p中的二次项（因此是Fisher方程的一般形式），看起来像EO(tp）=τB（1+τAt）tptpp- ατB（（1+τAt）tp）p（A4）下面，我们还将表明，在稳定状态下，频率的非线性，即γAp/E项，为O级(助教tp），因此，如果我们在很短的时间内StablerRegime中的tp在零附近振荡。这一次动力学更加丰富，我们有一个阻尼振荡器，其驱动力耦合到p和类型的非线性~ (tp）。获取返回u≡ tp作为基本变量，其非线性程度大致为u+a型tu.简而言之，方程式为τt+t+ωu=Outu公司τ=τB+τA，ω=1-γApEτB+τA，p（t）=Ztu（t）dt（A5）虽然ω依赖于A，p和E，但我们可以使用近似的时间相关指数ansatz u~uexp[λt]。λ的解为：λ±=-1±√1.-ω>0和1时的4τω2τ- 4τω<0将出现振荡解。

例如，当γApE<-1，这只发生在负γ上，我们有这样的振荡解。这与显示振荡行为在αβ<0象限内的模拟结果一致。然而，为了稳定，我们关心的是真正的解决方案。当ω<0时，即γApE>1时，我们将有两个符号相反的实解。由于解发散，正根的存在表示不稳定。对于t=0时震级为f的δ函数冲击，我们发现：→ E（1+f）初始标度为E=A=p=1后，正根存在的条件变为：t=0：γ>EAp=（1+f）。这种对冲击量级的依赖是正常的，因为足够大的冲击可以将粒子踢出局部最小值。冲击可以是任意小的，因此稳定的绝对条件是我们预期的稳定：γ>1（A6）。现在的问题是，系统在受到冲击时选择哪种解决方案。回报tp是tp（t）=u（t）=u+eλ+t+u-eλ-t=0时的初始条件tp（0）=0我们有+=-u-因此，这两种解决方案的强度是相等的。因此，每当其中一个解决方案（u-在我们的情况下）是肯定的，解决方案会出现分歧。当f>0时，价格呈指数形式增长，而当f<0时，因为我们的变量是非负的，所以价格就会跌到零。这证明了稳定的充分条件是γ<1。还要注意，非线性项都与tp，因此在t=0O时u（0），tu（0）= 因此，在t=0.1时，解是精确的。相位变换附近微扰理论的有效性为了使上述解有效，我们必须确认修正很小。我们必须找到一个存在于被忽略项中的小参数，使微扰解可行。我们有两组非线性：（1）O(tp）; （2） γAp/E.a。

非线性O(tp）首先让我们检查O中的非线性项(tp）.注意，当较大的根λ-变为正值。因此在跃迁附近我们有4τω 1λ+≈ -τ+ωλ-≈ -ω（A7），因此接近相变意味着λ-1/τ。其结果是O(tp）weget（使用u+=-u-上述）τAt） u=τAu+λ+eλ+t- λ-eλ-t型≈τAu+λ+eλ+t- λ-eλ-t型Ou=τBu（1+τA）t） 向上- ατB（（1+τAt） u）p≈τBu（1+τAu+（λ+- λ-))向上的- ατB（（1+τAt） u）p（A8）b.非线性γAp/EWe希望检查在稳定状态下助教，tp，Eremain small是一个一致的假设，因此微扰展开是有效的。非线性以上的任何项助教，tp，因此，在这种近似下，Eis的阶数更高。我们希望找到γAp/E的部分第一次导数为线性的tp。在稳定状态下，变化很慢，因此在冲击后的短时间内，我们可以在t=0附近展开泰勒系列中的变量。同样，我们将重新缩放变量att=0到E=p=A=1。使用（3）tE=Atpwe getA（t）p（t）E（t）tp=Ap+t(轻触+Atp）E+tAtptp≈E（Ap+t(轻触）tp=tp+O(助教tp）≈ tp（A9）因此，导数很小的假设是一致的，我们可以使用微扰理论，并在确定稳定条件时安全地丢弃非线性项。这样，稳定性条件在（A6）中只有一个正ω。我们还可以显式地使用上面的指数ansatz来检查稳定性，如下所示。附录B：利用相变的性质证明γ=1由于我们有耦合的二阶方程，可以使用指数ANSATZ估计解，如下所示。方程（1）和（2）是二阶的，因此自然会有A和p的两个解tE=Atp、E也将有两种模式。因此，指数ansatz必须至少有两个指数。