基于递推的短期极端收益预测

由于偏度为正且峰度远大于3，因此重复间隔也呈现右偏斜和厚尾分布。这证实了重复间隔服从拉伸指数分布（Xie等人，2014；Suo等人，2015；Jiang等人，2016）或q指数分布（Ludescher等人，2011；Ludescher和Bunde，2014；Chicheportiche和Chakraborti，2014）。我们在面板a的95%栏中看到滞后1的显著正自相关，在0.01水平上，三种类型的回报率都有显著的Ljung-BoxQ统计。此外，当回报为正时，滞后5的自相关也为正。这表明，在95%分位数阈值处的重复间隔中，存在短滞后和长滞后的自相关。在99%列中，自相关系数接近于0，Ljung Box Q统计数据对正、负和绝对回报率不显著，表明复发间隔中没有相关性。两列中的结果还表明，当分位数阈值从95%增加到99%时，复发间隔的自相关性逐渐降低至不显著，这也见于XT和97.5%分位数列。在B组到F组中，滞后1和5处的自相关系数均为正且具有统计学意义，表明在复发间隔中存在强自相关。此外，滞后30的容格盒Q统计在1%的水平上具有统计学意义，这意味着当复发间隔滞后较长时，显著的自相关也很普遍。

这些结果得到了重现期去趋势函数分析（DFA）的长记忆行为结果的支持（Ren和Zhou，2010b；Xie et al.，2014；Suo et al.，2015）。重复间隔由每个样本校准周期内的拉伸指数分布、q指数分布和Weibull分布确定。图3显示了1928年至1985年样本校准期间99%分位数内负极端事件之间复发间隔的概率分布。三种拟合分布的最佳拟合也绘制为实心曲线进行比较。请注意，拉伸指数分布给出了最好的函数。还请注意，拉伸指数最有可能，这也与中国市场和美国市场的负极端回报和绝对极端回报之间的重复间隔分布一致（Wang等人，2009；Ren和Zhou，2010a；Xie等人，2014；Suo等人，2015）。由于所有分布曲线都非常相似，因此我们不显示其他校准周期的重复间隔。表2显示了从不同回报类型和不同阈值获得的复发间隔三个拟合分布的估计参数。为了评估分布函数的有效性，还列出了对数可能性。最大值分布的可能性以粗体显示，表示10010110210310-510-410-310-210-1τp（τ）PDFsExpqExpWBLFigure 3：（彩色在线）。重复间隔的分布。该图显示了分位数为99%的负极端回报与三种分布（拉伸指数分布、q指数分布和威布尔分布）的最佳拟合之间的复发间隔的经验分布。

分析是在1885年至1928年期间进行的。相应的分布给出了最佳的函数。面板A显示，随着阈值的增加，最佳重复间隔从q指数分布过渡到拉伸指数分布。这种分布转换行为也见于中国股市微小波动的重现期（Jiang等人，2016）。请注意，在B–F组中，最大可能性来自所有复发间隔的q指数分布。Ludescher et al.（2011）和Ludescher and Bunde（2014）还发现，极端损失之间的复发间隔由q指数分布捕获。面板B-F中拉伸指数分布缺乏最大可能性的可能解释是，99%分位数阈值对于从q指数到拉伸指数的分布转换来说不够大。表2显示了每种类型回报的估计参数和分位数阈值之间的单调趋势，例如u和α随着分位数阈值的增加而减少，q随着分位数阈值的增加而增加。我们的结果支持复发间隔分布对分位数阈值的依赖性（Xie et al.，2014；Chicheportiche and Chakraborti，2014；Suo et al.，2015；Jiang et al.，2016）。

对于相同的分位数阈值和相同类型的收益，我们还发现面板B-F中的估计分布参数彼此接近，这表明复发间隔分布仅取决于分位数（Ludescher et al.，2011；Ludescher and Bunde，2014；Jiang et al.，2016）。当我们获得分布参数时，我们可以通过将参数放入危险概率W的理论公式中，找到WSE、WqW和WW的危险函数的理论曲线(t | t）由等式给出。（9） （10）和（11）分别表示拉伸指数分布、q指数分布和威布尔分布。另一方面，使用公式（5），我们可以评估经验危险函数Wemp，Wemp(t | t）=#（t<τ≤ t+t） #（τ>t），（24），其中分母#（τ>t）是值大于t的重复间隔数，分子#（t<τ≤ t+t） 在（t，t+t] 。图4显示了危险概率W的曲线图(t | t）作为从99%分位数阈值获得的极端负回报的持续时间t的函数，当t=1。它显示了根据实际数据（填写的标记）估计的经验危险概率和从理论方程（solidcurves）获得的分析危险概率。注意，尽管所有理论线在同一条曲线上不重叠，但它们都随着时间t的推移而减少，经验危险概率也是如此。统计数据很差，经验危险概率振荡很强，但对于给定的t值，分析危险概率值与经验危险概率值相当，表明分析危险概率与经验危险概率一致。

在能源期货（Xie et al.，2014）、现货指数和指数期货（Suo et al.，2015）和股票回报率（Ren和Zhou，2010a；Jiang et al.，2016）中也可以看到风险概率的下降模式，这表明0 15 30 45 6000.020.040.060.080.1tW（1 | t）WEMPWSEWQEWW图4：（彩色在线）。危险概率W图(t | t）带t=1。危险事件对应于从99%分位数阈值获得的极端负回报。分析是在1885年至1928年期间进行的。随着时间t的推移，观察后续极端回报的概率降低。这揭示了极端回报集群的存在和极端回报触发过程中的潜在依赖结构，这支持了“许多极端价格运动是由之前的极端运动触发的”以及“大事件或频繁事件后比平静期后更频繁地发生更大的极端事件”的观点（Gresnigt等人，2015年）。这是由投资者的积极羊群行为和金融市场不稳定性的内生增长造成的（Jiang等人，2010；Gresnigt等人，2015）。由于结果都相似，我们不显示危险可能性W(t | t）用于不同的阈值和其他类型的回报。6、预测极端回报利用风险概率和优化的风险阈值，我们构建了一个模型来预测给定时间段内金融市场中正、负和绝对极端回报的发生情况。风险概率由回归历史中极端事件之间复发间隔的分布参数确定。当危险概率超过优化危险阈值时，将生成即将发生的极端事件的指标，这将最大限度地发挥这些极端预测的效用。

我们进行样本外测试，以评估该极端收益预测模型的预测能力，如下所示。1、在给定的样本校准期间，我们根据指定的极值或分位数阈值标记极端事件。2、拟合标记极端事件之间的重复间隔，我们估计拉伸指数分布、q指数分布或威布尔分布参数。3、利用样本校准期内估计的分布参数，我们确定了危险概率W(t | t），并通过最大化有用性U（θ）找到优化的危险阈值wt。4、利用样本校准期内的分布参数和优化的危险阈值，我们预测了时间段内即将到来的极端事件的指标t并评估预测信号。为了找到优化的危险阈值，我们改变[0，1]中的危险阈值，以获得所有可能的（A，D）对。绘制A与D的关系图，我们获得了著名的“接收器-操作员特征”（ROC）曲线（Bogachev和Bunde，2009）。利用ROC曲线，我们衡量了早期预警模型预测能力的有效性。图5显示了样本内测试和样本外测试的极端负回报ROC预测曲线。样本内（样本外）时期为1885年至1928年（1929年至1932年）。对角线是一个随机猜测。请注意，对于样本内和样本外测试，三个拟合分布的ROC曲线在同一条曲线上完全重叠，这表明结果不依赖于用于拟合复发间隔的分布公式。所有ROC曲线都在随机猜测线以上，表明样本内和样本外测试都比随机猜测具有更好的预测能力。

还请注意，样本外曲线低于样本内曲线，这证实了样本外预测通常比样本内测试差的观察结果（Lang和Schmidt，2016）。由于它们都表现出非常相似的模式，我们没有显示从不同阈值和不同类型的极端回报中获得的ROC曲线。0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81AD输入：sExpin:qExpin:WBLout:sExpout:qExpout:WBLFigure 5：（在线颜色）。样本内测试和样本外预测的ROC曲线。极端回报率对应于分位数为99%的负回报率。样本期为1885年至1928年。样本期从1929年到1932年。由于所有三个拟合分布都给出了相同的ROC曲线，我们仅评估了q指数分布极端收益预测模型的样本内和样本外性能。我们找到了优化的危险阈值（hazardthreshold），该阈值最大限度地提高了样本内校准期间的有用性，并估计了诸如正确预测率、误报率、有用性以及样本内和样本外期间的KSS分数等性能测量值。结果如表3所示。首先，我们观察到，除了面板A中97.5%分位数的正回报和面板B中95%分位数的正回报外，所有有用性U值均为正，这表明当缺失事件和假警报错误的权重相等时，我们的模型提供了比忽略预测信号的基准更准确的结果。第二，除上述两个例外情况外，所有KSS得分均大于0，这对应于随机猜测，表明正确预测的比率超过假警报的比率。

第三，请注意，在大多数结果中，样本内性能的U和KSSSCore大于样本外性能的U和KSSSCore，这与样本外预测低于样本内测试的观察结果一致。我们在面板E中发现了一个例外，在面板F中发现了九个例外，其中样本外预测超过了样本内测试，这表明了测试模型的预测能力。结果还表明，样本内测试的可用数据越多，样本外预测的性能越好，最近两个湍流时期的预测也进一步支持了这一点，这两个时期的预测优于其他时期的预测。第四，请注意，与95%和97.5%分位数相比，99%分位数的极端回报预测产生的误报率和正确预测率更低，这产生了较高的有用性和KSS分数。结果表明，具有高分位数的极值事件可以更准确地预测。表1显示了Ljung-Box Q测试的统计数据，这些测试在所有面板中随着分位数阈值的增加呈现出下降的模式，表明增加分位数阈值可能会降低极端情况下的记忆强度。在我们的模型中，我们忽略了极值中的潜在依赖结构，因为分位数阈值越大，极值中的记忆越弱，预测性能越好。与基于Hawkes过程的模型（Gresnigt et al.，2015）相比，我们的模型具有模型参数更少、估计方法更简单和预测实现更快的优势。结论我们对1885年至2015年期间道琼斯工业平均指数的极端财务状况进行了复发区间分析。

我们根据新提出的极端识别方法以及分位数阈值确定极端回报。通过极值识别方法，我们能够找到与尾部分布的最小KS统计量相关的最优极值阈值。我们发现，重复间隔（即不同类型收益和阈值的连续极值之间的时间间隔）遵循q指数分布。这使我们能够分析得出危险概率W(t | t）在时间间隔内自上次极端事件发生在时间t后，我们将观察下一次极端事件。分析W(t | t）值与根据实际数据估计的经验风险概率非常吻合。利用风险概率，我们开发了一个极端回报预测模型，用于预测即将发生的金融极端事件。当危险概率大于危险阈值时，该模型可以在即将发生极端事件时发出警告。通过最大化极端预测的有用性来获得危险阈值。样本内测试和样本外预测均表明，我们的预测模型生成的信号在统计学上优于忽略这些信号的基准，并且用于拟合出现间隔的输入分布公式对我们的预警模型的最终结果没有影响。虽然在大多数情况下，样本内测试的预测性能优于样本外预测，但扩大样本内校准周期可能会产生优于样本内测试的样本外预测。此外，增加极值提取阈值可以提高模型在样本内测试和样本外预测中的预测能力。

我们的结果可能会为金融市场极端情况的发生以及重现期分析在预测金融极端情况中的应用提供新的线索。确认SZ-Q、 J.和W.-X.Z.感谢国家自然科学基金（71131007和71532009）、上海“陈光”项目（2012CG34）、长江学者和大学创新研究团队项目（IRT1028）、中国奖学金委员会（201406745014）和中央大学基础研究基金的支持。G、 -J.W.和C.X.感谢中国国家自然科学基金会（71501066、71373072和71521061）的支持。A、 C.感谢巴西机构FAPEAL（PPP 20110902-011-0025-0069/60030-733/2011）和CNPq（PDE 2073602014-6）的支持。H、 E.S.得到了NSF（资助CMMI 1125290、PHY 1505000和CHE-1213217）和DOE合同（DE-AC07-05Id14517）的支持。ReferenceReferencesAhn，J.J.、Oh，K.J.、Kim，T.Y.、Dong，H.K.，2011年。支持向量机在金融危机预警系统开发中的作用。专家系统。应用程序。282966–2973。Alessi，L.，Detken，C.，2011年。高成本资产价格繁荣/萧条周期的准实时预警指标：全球流动性的作用。欧元。J、 政治。经济。27520–533。Babeck\'y，J.、Havr\'anek，T.、Matˇeju，J.、Rusn\'ak，M.、Smidkov\'a，K.、Vaˇsicek，B.，2014年。发达国家的银行、债务和货币危机：程式化事实和预警指标。J、 财务部。刺15，1–17。Barrell，R.、Davis，E.P.、Karim，D.、Liadze，I.，2010年。OECD国家的银行监管、房地产价格和银行危机预警系统。J、 银行。财务342255–2264。Betz，F.、Oprica，S.、Peltonen，T.a.、Sarlin，P.，2014年。预测欧洲银行的困境。J、 银行。财务45225–241。Bogachev，M.I.，Bunde，A.，2009年。