Orlicz空间中凸集的闭性及其在对偶中的应用

如果可能，假设T w∈Co.在W中取一个序列（wk），使T wko-→ T w in LΦ。显然，（T wk）是有序有界的，在LΦ中是范数有界的，所以（wk）是范数有界的l∞. 写入wk=（akn）和w=（an）n。因为Xn是不相交的，T wk=PnaknXna。s--→ T w=PnanXn，Limkann=anf，对于每个n，它遵循（wk）σ(l∞, l)-收敛到w，与选择w相反。然而，对于范数有界凸集C，等式C=Cσ（LΦ，Lψ）通常是成立的 LΦ。定理3.4。设C是LΦ中的任意范数有界余凸集。ThenCo=Cσ（LΦ，Lψ）。特别地，Cois阶闭，C是阶闭的i f，并且仅当它是σ（LΦ，Lψ）闭的。证据正如所观察到的，inclusionCo Cσ（LΦ，Lψ）始终保持不变。为了证明逆包含，必须证明如果C是单位巴洛夫LΦ的凸子集，则0∈Cσ（LΦ，Lψ），然后0∈ 我们将证明分为三个步骤。第一步：每n≥ 1和每个0≤ Y∈ Lψ，存在一对不相交的随机变量ZY，nand WY，n满足以下条件：（1）ZY，n∈ LΦ和WY，n∈ HΦ，（2）ZY，n+WY，n∈ C、 （3）E[Φ（| ZY，n |）]≤n、 （4）E[| WY，n | Y]≤ 1、由于Lψ是（LΦ）中的latt冰理想值*, 根据[1，定理3.50]，LΦ在|σ|（LΦ，Lψ）下的拓扑对偶正是Lψ。因此，根据马祖定理，0∈Cσ（LΦ，Lψ）=C |σ|（LΦ，Lψ），10 N.GAO，D.LEUNG和F.Xantosso认为存在X∈ C使得E[| X | Y]≤ 1、由于C在单位球中，我们得到了E[Φ（| X |）]≤ 1、现在拿k≥ 1这样E{| X |>k}Φ（| X |）≤n、 SetZY，n=X1{| X{k}和WY，n=X1{| X|≤k} 。很明显，ZY，nand WY，nare不相交。条件（1）-（3）很容易验证。条件（4）之所以成立，是因为[| WY，n | Y]≤ E[| X | Y]≤ 1、第二步：LΦ中存在序列（Zn）和（Wn），因此对于每个n≥ 1，（1）Xn：=Zn+Wn∈ C、 （2）E[Φ（| Zn）]≤n、 （3）kWnkΦ≤n、 对于任何n，保留步骤I.的符号≥ 1，定义An={WY，n:0≤ Y∈ Lψ}HΦ。L等，Yk公司∈ Lψ并设ε>0。设置Y=εPki=1 | Yi |∈ （Lψ）+。

第I步，E【WY，nYi】≤ E|WY，纽约州|≤ εE|WY，n | Y≤ ε。这表明0位于An的σ（HΦ，Lψ）-闭凸包中。由于σ（HΦ，Lψ）是HΦ上的弱拓扑，0位于An的范数闭凸包中。现在拿WYi，n∈ An，1≤ 我≤ k、 凸组合Wn=Pki=1ciWYi，nsuch表示kWnkΦ≤n、 将Zn=Pki=1ciZYi，n。然后，n：=Zn+Wn=kXi=1ci（ZYi，n+WYi，n）∈ C的Cby凸性。此外，由于Φ是凸函数，E[Φ（| Zn |）]≤kXi=1ciEΦ（| ZYi，n |）≤n、 步骤III.在步骤II的表示法中，（Xn）阶的子序列收敛到0。因此0∈从第二步开始，我们知道kWnkΦ≤对于所有n和henceP∞|Wn |∈ LΦ。此外，由于Φ是连续且不断增加的，因此EhΦ（supn | Zn |）i=EhsupnΦ（| Zn |）i≤∞XE[Φ（| Zn |）]≤Xn=1，对偶表示11，从该表示中，supn | Zn |之后为∈ LΦ。因此，eX：=supn | Zn |+∞X | Wn |∈ LΦ。显然，| Xn |≤eX代表所有n≥ 因此（Xn）是一个序有界序列inLΦ。根据马尔可夫不等式，Φ（ε）P{| Zn |>ε}≤ E[Φ（Zn）]≤对于任何ε>0。它遵循（Zn）在概率上收敛到0的t。辛塞普∞|Wn |∈LΦ，（Wn）收敛到0 a.s.因此，（Xn）的子序列收敛到0 a.s.，因此按顺序，因为整个序列（Xn）是有界的。定理3.4允许我们在拓扑σ（LΦ，Lψ）的LΦ中间对一般阶闭凸集进行特征化。推论3.5。由B表示LΦ中的闭合单元球。对于LΦ中的凸集C，以下陈述是重新等价的：（1）C是顺序C L o sed，（2）C是σ（LΦ，Lψ）-顺序闭的。（3） C类∩ kB是σ（LΦ，Lψ）-对于所有k都是闭合的≥ 1、证明。含义（2）==> （1） 根据本节开头的观察结果。定理3.4给出了（1）==> （3） 。含义（3）==> （2） 从每个σ（LΦ，Lψ）-收敛序列都是范数有界的这一事实出发。设X是具有闭单位球B的Banach空间，τ是X上的局部对流。

假设当C∩ kB是所有k的τ-闭合≥ 著名的KreinSmulian定理说，对于任何Banach空间X，弱*拓扑σ（X*, X）在X上*拥有克莱恩·斯穆利安的财产。推论3.5引出了表征成对（Φ，ψ）的自然问题，因此σ（lΦ，lψ）具有Krein-Smulian性质。下一个引理是解决这个问题的关键结构。A组C 如果X，LΦ是（i）单调的≥ 十、∈ C表示X∈ C、 （ii）正齐次ifλC C表示任意λ≥ 0和（iii）如果C+C，则为添加剂 C、 正齐次可加集是凸集。12 N.GAO、D.LEUNG和F.Xantoslemma 3.6。如果Φ和ψ均未通过-条件，则LΦ允许一个单调、正齐次且可加的子集C，该子集是阶闭的，但不是σ（LΦ，Lψ）-闭的。此外，对于任何X∈ LΦ，存在k∈ R所以X- k1级/∈ C、 证明。假设Φ和ψ均未通过-条件我们声称存在不相交正随机变量{Xn}n的范数有界集≥1.∪ {W}∪{Wij}i，j≥LΦ与不相交正随机m变量{Yn}n的范数有界集≥1.∪ {Z}∪ {Zij}i，j≥1在Lψ中，使（a）supp Yn 支持Xn，支持W supp Zand supp Wij公司 所有人的支持，i，j≥ 1，（b）点态sumseX：=PnXnandeZ：=π，jZijbelong分别到LΦ和Lψ，（c）E[XnYn]=E[WZ]=E[WijZij]=1，对于所有n，i，j≥ 由于P是非原子的，因此有三个不相交的可测子集Ohm, Ohm, Ohm属于Ohm,每一个都是无原子的，都有正测度。选择任意0≤ W∈ LΦ(Ohm)和0≤ Z∈ Lψ(Ohm) 以便支持 supp Zand E[WZ]=1。由于Φ使-条件，我们可以将[27，pp.1 39，定理5]应用于LΦ(Ohm) 获得LΦ中归一化不相交正随机变量的序列（Xn），使得ex：=PnXn∈ LΦ。

选择范数有界序列（Yn） Lψsothat supp Yn 对于所有n，supp Xnand E[XnYn]=1。同样，由于ψ使-条件，存在归一化不相交正序（Zij）i，j≥1. Lψ(Ohm)所以thateZ：=π，jZij∈ Lψ。然后选择（Wij） 具有所需特性的LΦ。对于任何X∈ LΦ，Xi，jE【XZij】≤ EXeZ公司≤ kXkΦeZ公司ψ。因此，地图定义了byT X=E[XYn]n⊕ E【XZ】⊕E【XZij】ij是从LΦ到的有界线性算子l∞⊕ R⊕ l（N×N）。显然，T是一个正算子。定义求和运算符：l→ l∞byS公司（aj）j=nXj=1ajn、 任意y的对偶表示13=（y（i，j））i，j≥1.∈ l（N×N），put yi=（y（i，j））j∈ l对于任何i≥ 1、LetC是由所有函数X组成的LΦ的子集∈ LΦ，如果我们写X=u⊕ 一⊕ v、 有λ∈ R和y∈ l（N×N）λ≥ 0，y≥ 0，且xiikyik=1，a≥ -λ、 五≥ λy和u≥ λlXi=1所有≥ 1、如果出现上述情况，我们写X~ （λ，y）。权利要求一：C为单质、正均质性和加性。确实，如果X′≥ 十、∈ C和X~ （λ，y），然后是X′~ （λ，y）和uX~ （μλ，y）对于任何u≥ 0，因此X′，uX∈ C、 现在假设X~ （λ，y）和X′~ （λ′，y′）。自y，y′起≥ 0，即xiikλyi+λ′y′ik=λXiikyik+λ′Xiiky′ik=λ+λ′。因此，我们可以找到0≤ y′\'∈ l（N×N）这样的t hat tPiiky′ik=1，（λ+λ′）y′=λy+λ′y′。让我们展示X+X′~ （λ+λ′，y′）。实际上，写入T X=u⊕ 一⊕ v和T X′=u′⊕ a′⊕ v′，thenT（X+X′）=（u+u′）⊕ （a+a′）⊕ （v+v′）。Nowa+a′≥ (-λ） +(-λ′）=-（λ+λ′），v+v′≥ λy+λ′y′＝（λ+λ′）y′，andu+u′≥λlXi=1iSyi+λ′lXi=1iSy′i=lXi=1iS（λyi+λ′y′i）=（λ+λ′）lXi=1iSy′i，对于所有≥ 1、这证明了X+X′~ （λ+λ′，y′），因此X+X′∈ C、 根据需要。自订单插入以来l是范数紧的，对于l, 集合∪p[0，vp]在l.14 N.GAO、D.LEUNG和F。

xantosclaim II:C是LΦ中的订单关闭。设（Up）为C中的一个序列，其阶收敛于某个U∈ LΦ。我们想展示你∈ C、 WriteT Up=向上⊕ ap公司⊕ VP和T U=U⊕ 一⊕ v、 对于每个n≥ 1，用x（n）表示向量x的n-t h坐标l∞. 关于任意n的ByDominated收敛定理≥ 1，limpup（n）=limpE[UpYn]=E[UYn]=u（n）。此外，由于（Up）是阶有界的，因此，范数有界，在LΦ中，很容易看到t（Up）是范数有界的l∞. 由此得出（up）σ(l∞, l)-收敛到u。类似地，（ap）收敛到a。对于任何（bij）∈ l∞（N×N），Xi、jbi、jE（向上- U） Zij]≤ Eh |以上- U | Xi，j | bij | Ziji≤ supi，j | bij | E|向上的- U | eZ→ 因此（vp）相对于拓扑σ收敛到v(l（N×N），l∞（N×N））。自从l（N×N）具有Schur性质，（vp）范数收敛到v。对于每个p，假设Up~ （λp，yp），写入ypi=（yp（i，j））∞j=1对于每个i.选择M，以便kupk∞≤ 所有p的M如果l≥ 1，然后（2）M≥ 向上（n）≥ λplXi=1iSypi（n）→ λplXi=1ikypikas n→ ∞.特别是，M≥ λpPiikypik=λp≥ 0，因此（λp）是一个bo unded序列。如有必要，取一个子序列，假设（λp）收敛到某个λ≥ 如果λ=0，则y为l（N×N）使得piikyik=1，其中yi=（y（i，j））∞j=1。那么很容易看出≥ -λ、 五≥ λy和u≥ λPli=1isyif对于所有l.因此，U~ （λ，y）和U∈ C、 对于其余的证明，假设λ>0。自副总裁起≥ λpyp≥ 0表示allp和（vp）的范数收敛于l（N×N），可以得出（λpyp）在l（N×N）。通过一个子序列，我们可以假设（λpyp）pC在范数上收敛于l（N×N）。设置y=zλ。然后是y≥ 0，且（yp）在无rm时收敛到y。为了完成证明，我们将验证~ （λ，y）。显然，对于任何我≥ 1，我们有2个Kypik→ 2ikyikas p→ ∞. 选择psuch thatDUAL EXPRESSION 15λp≥λ表示所有p≥ p、 根据（2），如果p≥ p、 然后0≤ 2基皮克≤Mλ2i-1对于纽约i≥ 1.

根据支配收敛定理（3）Xiikyik=limpXiikypik=1。此外，（4）a=lim ap≥ - limλp=-λ、 和（5）v=limpvp≥ limpλpyp=λy。最后，对于每个n和每个i，Sypi（n）→ Syi（n）作为p→ ∞. 因此，对于任何l，u（n）=跛行（n）≥ limpλplXi=1iSypi（n）=λlXi=1iSyi（n）。这证明（6）u≥ λlXi=1isyif对于任何l。清楚地，（3）-（6）表明U~ （λ，y），根据需要。权利要求三：-W∈ Cσ（LΦ，Lψ）\\C因此C不是tσ（LΦ，Lψ）-闭合的。ClearlyT公司(-W） =0⊕ -1.⊕ 0、如果-W∈ C、 那么就存在λ≥ 0和0≤ y∈ l（N×N）使得-1.≥ -λ、 0个≥ λy，且piikyik=1，其中yi=（y（i，j））j。λ≥ 1，强制y=0，这是不可能的。这证明了-W/∈ C、 接下来，我们展示-W∈Cσ（LΦ，Lψ）。让V，Vl∈ Lψ和ε>0。设置V=εPlt=1 | Vt |。自supijE【WijV】起≤ （supijkWijkΦ）kV kψ<∞, 存在≥ 1足够大，使E【WijV】<2秒-1对于所有i，j.Sincepene【XnV】≤ E【eXV】<∞, 存在r≥ 1此类文件∞Xn=rE【XnV】<s+1.16 N.GAO、D.LEUNG和F.Xantoslet y∈ l（N×N）由y（i，j）=sif（i，j）=（s，r）a定义，否则为0。简单计算表明t hat ifX：=2s∞Xn=rXn- W+WSR然后X~ （1，y），因此X∈ C、 此外，如果1≤ t型≤ l、 然后E[XVt]- E类[(-W） Vt]≤ εE|X+W | V≤ ε2s∞Xn=rE【XnV】+εsE【WsrV】<ε。这证明了-W∈Cσ（LΦ，Lψ）。最后，假设存在X∈ LΦ使X- k1级∈ C代表所有k∈ R、 假设u是t X的第一个分量。然后是t（X）的第一个分量- k1）智能开关单元- k（E[Yn]）n.自X起- k1级∈ C、 u型- k（E[Yn]）n≥ 0.因此E【Yn】n≤ukfor所有k≥ 1，由此得出所有n的E[Yn]=0，与Yn的选择相反。我们现在准备介绍本节的主要结果。定理3.7。对于非原子概率空间上定义的Orlicz空间LΦ，以下陈述是等效的。（1） Letρ：LΦ→ (-∞, ∞] 成为一致的风险衡量标准。

当且仅当存在一组非负随机变量inLψ，每个变量的期望值为1，使得ρ（X）=supY∈量化宽松[-XY]对于任何X∈ LΦ。（2） Letρ：LΦ→ (-∞, ∞] 是一个适当的凸泛函。定义ρ*（Y）=supX∈LΦ（E[XY]- ρ（X））对于任何Y∈ Lψ。那么ρ具有Fatou性质，并且仅当ρ（X）=supY∈Lψ（E[XY]- ρ*（Y））对于任何X∈ LΦ。（3） LΦ中的每一阶闭凸集都是σ（LΦ，Lψ）-闭的。（4） LΦ中的每个σ（LΦ，Lψ）-顺序闭合conv ex se t都是σ（LΦ，Lψ）-闭合的。（5） σ（LΦ，Lψ）具有Krein-Smulian性质。双重表示17（6）Φ或ψ满足-条件证据（3）==> （2）==> （1） 从命题3.1和3.2以及观察到每个σ（LΦ，Lψ）-闭集都是顺序闭的。根据推论3。5、我们有（3）<==> （4）<==> （5） 。如果Φ满足-条件，则σ（LΦ，Lψ）是弱拓扑，具有Krein-Smulian性质。如果ψ满足条件，则LΦ是Lψ的范数对偶，σ（LΦ，Lψ）是弱的*拓扑，通过Krein-Smulian定理具有Krein-Smulian性质。这表明（6）==> （5） 。最后，假设Φ和ψ均未通过-条件设C为应用引理3.6得到的集。定义ρ：LΦ→ (-∞, ∞] 由ρ（X）=inf{m∈ R:X+m1∈ C} 。利用集合C的性质，可以很容易地检查ρ是否是一致的风险度量。很明显，C {ρ≤ 0}和{ρ<0} C的单调性。从C的阶封闭性得出X∈ 如果ρ（X）=0，则为C。因此，{ρ≤ 0}=C，因此{ρ≤ m} =C- m1表示任意m∈ R、 因此{ρ≤ m} 是所有m的闭序。根据命题3.1，ρ具有fat-ouple性质。如果条件（1）成立，则从表达式ρ（X）=supY∈量化宽松[-XY]对于任何X∈ LΦ，很明显C={ρ≤ 0}是σ（LΦ，Lψ）-闭合的，与C的选择相反。这证明了（1）==> （6） 。备注3.8。

在特殊情况下，ψ满足-Delbaen和Owari于2016年9月12日至14日在维也纳数学金融大会上宣布了条件定理3.4。从中，当ψ满足-条件他们的论文于2016年11月在ArXiv上发表，之前的第一版论文（2016年10月ArXiv）已经包含了完整的结果定理3.4和3.7.4。除了§3中考虑的对偶性（LΦ，Lψ）之外，基于Lψ=18 N.GAO、D.LEUNG和F.XANTHOS（HΦ）的事实，在[8]中研究了关于HΦ对（HΦ，Lψ）的风险度量的对偶理论*. 我们的动机是研究HΦ上风险度量的对偶表示，使用较小且更易于管理的空间Hψ作为对偶。尽管定理3.7断言，具有Fatou性质的LΦ上的一致风险度量可能无法对该对（LΦ，Lψ）进行adual表示，但论文[19]建立了当LΦ6=L时，LΦ上的风险度量对（LΦ，Hψ）的adual理论。在这种情况下，Hψ精确地由所有随机变量Y组成，因此（Xn）在LΦ，Xna中是范数有界的。s--→ X个==> E【XnY】→ E[XY]。这一观察结果推动了FatoupProperty更强大版本的推出。A函数ρ：HΦ→ (-∞, ∞] 如果（Xn）在HΦ，Xna中非m有界，则满足强Fatou性质。s--→ X个==> ρ（X）≤ lim infnρ（Xn）。在本节中，为了补充和完成上述三种情况，我们研究了HΦ上的相干风险测度或预凸泛函的强Fatou性质与其对偶（HΦ，Hψ）的对偶r表示之间的联系。假设a集合C HΦ是c中任意范数有界序列（Xn）的有界a.s.c l osedif，a.s.收敛到某个X∈ HΦ，X∈ C、 提案4.1。

设C是HΦ中的凸集，设X∈ HΦ。如果X∈Cσ（HΦ，Hψ），那么X是C中a序列的a.s-极限。如果C是范数有界的，则反之成立。因此，HΦ中的范数有界凸集C是σ（HΦ，Hψ）-闭的当且仅当它是有界的a.s.闭的。证据设C是HΦ中的凸集，设X∈Cσ（HΦ，Hψ）。因为Hψ是Lψ=（HΦ）的格数*, 根据[1，定理3.50]，HΦ在|σ|（HΦ，Hψ）下的拓扑对偶正是Hψ。因此，根据马祖定理，X∈ Cσ（HΦ，Hψ）=C |σ|（HΦ，Hψ）。因此，自1∈ Hψ，在C中有一个序列（Xn），使得e[| Xn- X |]≤对于所有n≥ 1、Sincesupn≤m级≤k（| Xm- X |∧ 1） x个ksupm公司≥n（| Xm）- X |∧ 1） ，双重表示法19如下所示≥n（| Xm）- X |∧ 1） i=limkEhsupn≤m级≤k（| Xm- X |∧ 1） 我≤ limkEhXn≤m级≤k | Xm- X | i≤n-1、因此，Ehinfnsupm≥n（| Xm）- X |∧ 1） i=0，因此infnsupm≥n（| Xm）- X |∧ 1） =0。它遵循Xna。s--→ 十、 假设C是HΦ中的范数有界凸集，（Xn）是C中的一个序列，它将a.s.收敛到某个X∈ HΦ。因为LΦ=（Hψ）*对于任何Y，Hψ都有阶连续范数，根据[1，定理4.18]∈ Hψ和任何ε>0，存在X∈ LΦ这样e（| Xn）- X |- 十） +| Y|< ε。因此E[（Xn- 十） Y]≤ E|Xn公司- X | | Y|= E（| Xn）- X |∧ 十） | Y|+ E（| Xn）- X |- 十） +| Y|≤ E（| Xn）- X |∧ 十） | Y|+ ε。由支配收敛定理E（| Xn）- X |∧ 十） | Y|→ 0和thuslim supnE[（Xn- 十） Y]≤ ε。由于ε>0是任意的，我们得出结论，（Xn）σ（HΦ，Hψ）-收敛于X下一个推论是推论3.5的对应项，可以得到类似的证明。推论4.2。用B表示HΦ的闭合单位球。对于HΦ中的凸集C，以下是等价的：（1）C是有界a.s.闭的。（2） C是σ（HΦ，Hψ）-顺序闭合，（3）C∩ kB是σ（HΦ，Hψ）-对于所有k都是闭合的≥ 1、定理4.3。以下陈述相当于非原子概率空间上定义的Orlicz心脏HΦ。20 N.GAO、D.LEUNG和F。

xantos（1）Letρ：HΦ→ (-∞, ∞] 成为一致的风险衡量标准。那么ρ具有强Fatou性质，当且仅当Hψ中有一组非负随机变量Q，每个都有期望值1，使得ρ（X）=supY∈量化宽松[-XY]对于任何X∈ HΦ。（2） Letρ：HΦ→ (-∞, ∞] 是一个适当的凸泛函。定义ρ*（Y）=supX∈HΦ（E[XY]- ρ（X））对于任何Y∈ Hψ。则ρ具有强Fatouproperty当且仅当ρ（X）=supY∈Hψ（E[XY]- ρ*（Y））对于任何X∈ HΦ。（3） HΦ中的每个有界a.s.闭凸集都是σ（HΦ，Hψ）-闭的。（4） HΦ中的每个σ（HΦ，Hψ）-顺序闭凸x都是σ（HΦ，Hψ）-闭的。（5） σ（HΦ，Hψ）具有Krein-Smulian性质。（6） Φ或ψ满足-条件证明草图。我们省略了暗示的证明（5）==> （4）==> （3）==>（2）==> （1） 因为它们类似于OREM 3.7中相应含义的证明。如果Φ满足-条件，则HΦ=LΦ是Hψ的对偶空间，因此σ（HΦ，Hψ）是弱*拓扑，具有Krein-Smulia n属性，由Krein-Smulian定理确定。如果ψ满足-条件，则Hψ=Lψ是HΦ的范数对偶，因此σ（HΦ，Hψ）是一个弱拓扑，并且具有Krein-Smulian性质。这证明了（6）==> （5） 。再次证明（1）==> （6） 依赖于一个建筑，我们暂时推迟其验证。如果Φ和ψ均未通过-条件，设C为引理4.4给出的HΦ的子集。然后用ρ（X）=inf{m定义HΦ上的函数ρ∈ R:X+m1∈ C} 是HΦ上的一致风险度量，具有强Fatou性质（由于C的有界a.s.闭合性），但不是σ（HΦ，Hψ）-下半连续的。因此ρ不能表示为条件（1）。引理4.4。假设Φ和ψ均未通过-条件HΦ有一个单调的、正的、齐次的、可加的子集C，该子集有界a.s.闭，但没有σ（HΦ，Hψ）-闭。双重表示21证明草图。