Orlicz空间中凸集的闭性及其在对偶中的应用

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英文标题：
《Closedness of convex sets in Orlicz spaces with applications to dual
  representation of risk measures》
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作者：
Niushan Gao, Denny H. Leung, Foivos Xanthos
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Let $(\\Phi,\\Psi)$ be a conjugate pair of Orlicz functions. A set in the Orlicz space $L^\\Phi$ is said to be order closed if it is closed with respect to dominated convergence of sequences of functions. A well known problem arising from the theory of risk measures in financial mathematics asks whether order closedness of a convex set in $L^\\Phi$ characterizes closedness with respect to the topology $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$. (See [26, p.3585].) In this paper, we show that for a norm bounded convex set in $L^\\Phi$, order closedness and $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$-closedness are indeed equivalent. In general, however, coincidence of order closedness and $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$-closedness of convex sets in $L^\\Phi$ is equivalent to the validity of the Krein-Smulian Theorem for the topology $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$; that is, a convex set is $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$-closed if and only if it is closed with respect to the bounded-$\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$ topology. As a result, we show that order closedness and $\\sigma(L^\\Phi,L^\\Psi)$-closedness of convex sets in $L^\\Phi$ are equivalent if and only if either $\\Phi$ or $\\Psi$ satisfies the $\\Delta_2$-condition. Using this, we prove the surprising result that: \\emph{If (and only if) $\\Phi$ and $\\Psi$ both fail the $\\Delta_2$-condition, then there exists a coherent risk measure on $L^\\Phi$ that has the Fatou property but fails the Fenchel-Moreau dual representation with respect to the dual pair $(L^\\Phi, L^\\Psi)$}. A similar analysis is carried out for the dual pair of Orlicz hearts $(H^\\Phi,H^\\Psi)$.
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中文摘要：
设$（\\Phi，\\Psi）$是Orlicz函数的共轭对。如果Orlicz空间$L^\\Phi$中的集合相对于函数序列的支配收敛是闭合的，则称其为顺序闭合的。金融数学中风险度量理论产生的一个众所周知的问题是，关于拓扑$\\ sigma（L ^ \\ Phi，L ^ \\ Psi）$，在$L ^ \\ Phi$中的凸集的序闭性是否表征了闭性。（见[26，第3585页]）本文证明了对于$L^\\Phi$中的范数有界凸集，阶闭度和$\\sigma（L^\\Phi，L^\\Psi）$-闭度是等价的。然而，一般来说，$L^ \\ Phi$中凸集的阶闭性和$\\ sigma（L^ \\ Phi，L^ \\ Psi）$-闭性的重合等价于拓扑$\\ sigma（L^ \\ Phi，L^ \\ Psi）$的Krein-Smulian定理的有效性；也就是说，凸集是$\\sigma（L^\\Phi，L^\\Psi）$-闭合的当且仅当它是关于有界$\\sigma（L^\\Phi，L^\\Psi）$拓扑闭合的。结果表明，当且仅当$\\ Phi$或$\\ Psi$满足$\\ Delta\\u 2$条件时，$\\ Phi$中凸集的阶闭度和$\\ sigma（L ^ \\ Phi，L ^ \\ Psi）$-闭度是等价的。利用这一点，我们证明了一个令人惊讶的结果：\\ emph{如果（且仅当）$\\ Phi$和$\\ Psi$都不满足$\\ Delta\\u 2$-条件，那么在$L^ \\ Phi$上存在一个一致的风险度量，它具有Fatou属性，但不满足关于对偶$（L^ \\ Phi，L^ \\ Psi）$）的Fenchel-Moreau对偶表示。对双对Orlicz心脏$（H^\\Phi，H^\\Psi）$进行了类似的分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：Mathematical Presentation Quantitative Applications mathematica

ORLICZ空间中凸集的闭性及其在风险度量对偶表示中的应用牛山高、DENNY H.LEUNG和FOIVOS-xantosabstract。设（Φ，ψ）为或lic z函数的共轭pa ir。如果理论空间LΦ中的集合相对于函数序列的支配收敛是闭的，则称其为序闭的。金融数学中风险度量理论提出的一个众所周知的问题是，LΦ中凸集的有序闭度是否表征了关于拓扑σ（LΦ，Lψ）的闭度。（见[26，第3585页]）本文证明了对于LΦ中的赋范有界凸集，阶闭度与σ（LΦ，Lψ）-闭度是不等价的。然而，一般来说，LΦ中凸序列的阶闭度与σ（LΦ，Lψ）闭度的重合等价于Krein-Smulian定理对拓扑σ（LΦ，Lψ）的有效性；也就是说，凸集是σ（LΦ，Lψ）-闭的，并且仅当它与有界的σ（LΦ，Lψ）拓扑相对应时才是闭的。结果表明，当且仅当Φ或ψ满足-条件利用这一点，我们证明了一个令人惊讶的结果：如果（且仅当）Φ和ψ都不满足-条件下，则LΦ上存在一个一致的风险度量，该度量具有fatoupproperty，但不符合关于对偶对（LΦ，Lψ）的Fenchel-Moreau对偶表示。对双对Orlicz心脏（HΦ，Hψ）进行了类似的分析。日期：2018年6月28日。2010年数学学科分类。46E30、46A20、91B30。关键词和短语。对偶表示，风险测度，凸泛函，Fatou性质，序闭集，序r闭包，Orlicz空间，Orlicz心。第一作者是PIMS博士后研究员。第二作者的研究部分得到了AcRF拨款R-146-000-242-114的支持。

本文的部分研究是在第二位作者访问阿尔伯塔大学数学和统计科学系时进行的。他感谢东道主弗拉基米尔·特洛伊（VladimirTroItsKy）和国防部提供的温暖的医院和有利的工作环境。thirdauthor承认NSERC拨款的支持。2 N.GAO、D.LEUNG和F.XANTHOS1。引言在这篇开创性的论文【4】中，为根据一致的风险度量量化金融头寸风险的问题奠定了理论基础。此后，风险度量理论一直是数学金融领域一个活跃而富有成果的研究领域（参见[2、3、5、6、8、11、14、16、23、25]）。它还推动了凸分析和泛函分析的新发展（参见[9，15，21，26]）。在风险度量的公理化处理中，财务头寸由向量空间X建模，其中包含概率空间上随机变量的常数(Ohm, ∑，P）。X上的一致风险度量是函数ρ：X→ (-∞, ∞]这是正确的（即不完全相同∞) 并满足以下性质：（1）（次加）ρ（X+X）≤ ρ（X）+ρ（X），对于所有X，X∈ 十、（2） （单调）ρ（X）≤ ρ（X）如果X，X∈ X和X≥ Xa。s、 （3）（现金添加剂）ρ（X+m1）=ρ（X）- m表示任意X∈ X和任意m∈ R、 （4）（正齐次）ρ（λX）=任意X的λρ（X）∈ X和任何0<λ∈R、 观察一致风险度量是凸的，即ρ（λX+（1- λ） X）≤ λρ（X）+（1- λ） ρ（X）对于ll X，X∈ X和所有λ∈ [0，1]。风险测度理论中的一个重要课题是确定X上的风险测度何时允许关于涉及X的对偶的表示。Delbaen[1 0]获得了这个方向上的第一个主要结果，他使用了smodel空间X所有有界随机变量的空间L∞（P） 考虑到二元性（L∞, 五十） 。定理1.1（D elbaen）。

对于L上的每个相干风险度量ρ，以下是等效的∞（P） 。（1） 有一组非负随机变量，期望值为1，因此ρ（X）=supY∈量化宽松[-XY]对于任何X∈ L∞,（2） ρ满足（L∞-) Fatou性质：ρ（X）≤ 当（Xn）在L中有界时，lim infnρ（Xn）∞和Xna。s--→ 十、 对偶表示3在Delbaen定理中，集合Q可以解释为一组概率分布（情景），而风险度量X是该集合情景（压力测试）中最坏的预期损失。一般来说，这种双重代表在优化问题和投资组合选择中发挥着重要作用。定理1.1（1）中的表示与σ（L）有关∞, 五十） -通过凸分析中的Fenchel-Moreau对偶定理降低ρ的微连续性。这里，σ（L∞, 五十） ρ的下半连续性是指集合{ρ≤ λ} ={X∈ L∞（P） ：ρ（X）≤ λ} 为σ（L∞, 五十） -闭合f或任意λ∈ R、 另一方面，定理1.1中的条件（2）等价于集合{ρ≤ λ} ar e以序列的收敛为主而闭合。在定理1.1中，与其他早期风险度量框架一样，模型空间由有限的财务头寸组成。领导可以参考F¨ollmer和Schied[17]，以全面处理这种情况下的主要结果。更现实的财务状况模型可能涉及无界随机变量；这推动了L以外模型空间上风险测度的研究∞. Orliczspaces LΦ和Orlicz hearts HΦ是Banach函数空间的自然类，是Lpspaces的推广，已成为（无界）金融头寸的重要模型空间。Cheridito和Li【8】、Biagini和Fritelli【5】以及最近的Kr¨atschmer、Schied和Z¨ahle【24】以及G ao和Xanthos【19】对LΦ和HΦ风险度量的研究做出了贡献。

参见alsoGao等人【18】和本文的参考文献t。设（Φ，ψ）是Orlicz函数的共轭对。（有关Orlicz空间的定义和基本事实，请参阅§2。）在论文[5]中，Biagini和Fritelli开始研究LΦ上风险度量相对于度（LΦ，Lψ）的表示。观察到LΦ中随机变量序列的支配收敛意味着σ（LΦ，Lψ）-收敛，他们提出了LΦ上Fatou性质的以下版本：如果ρ（X），则称LΦ上的函数ρ满足Fatouproperty≤ 当（Xn）在LΦ和Xna中有阶界时，lim infnρ（Xn）。s--→ 十、 4 N.GAO、D.LEUNG和F.Zanthosthey然后对每个共轭对（LΦ，Lψ）声明了一个类似于定理1.1的结果。具体而言，声称每个一致风险度量ρ：LΦ→ (-∞, ∞],ρ具有Fatou性质当且仅当(*) Lψ中有一组非负随机变量Q，每个变量的期望值为1，因此ρ（X）=supY∈量化宽松[-XY]对于任何X∈ LΦ。如定理1.1所示(*) 与σ（LΦ，Lψ）闭性和凸集在支配收敛下的闭性的等价性密切相关。他们的观点是基于这样一个断言，即每个Orlicz空间都享有一个技术属性（关于凸集），他们称之为C属性。总之，当ψ满足条件因此，上述等效性的真实性(*) 对于每一个共轭pair（LΦ，Lψ），在风险度量的双重表示理论中都是一个重要的突出问题。例如，参见[26，第3585页]，其中明确提出了这个问题。本文的主要结果是对这一问题的全面解决。结果表明，等效性(*) 当且仅当Φ或ψ满足-条件

首先，我们将问题与LΦ中凸集的阶闭性和σ（LΦ，Lψ）-闭性的等价性联系起来。结果表明，对于LΦ中的范数有界凸集，阶闭度与σ（LΦ，Lψ）闭度是等价的。因此(*) 对于双pa，ir（LΦ，Lψ）取决于拓扑σ（LΦ，Lψ）的Krein-Smulian定理是否成立。我们通过证明拓扑σ（LΦ，Lψ）的Krein-Smulian定理成立，当且仅当Φ或ψ满足-条件在最后一节中，我们还研究了HΦ上关于对偶对（HΦ，Hψ）的对偶表示问题。这补充了第3节中双对（LΦ，Lψ）的结果、Gao和Xanthos的双对（LΦ，Hψ）[19]和Cheridito a和Li的双对（HΦ，Lψ）[8]。双重代表52。在这一部分中，我们收集关于或licz空间的基本事实并设置旋转。我们分别采用[1]和[13，27]作为Banach格和Orlicz空间上未解释术语和事实的标准参考。回想一下函数Φ：[0，∞) → [0，∞) 如果它是凸的、递增的且Φ（0）=0，则称为Orlicz函数。通过ψ（s）=sup{ts定义Φ的联合函数- Φ（t）：t≥ 所有s的0}≥ 0、如果限制→∞Φ（t）t=∞ （等价地，如果ψ是有限值的），则ψ也是一个奥尔利兹函数，其共轭为Φ。在本文中，（Φ，ψ）代表Orlicz对，使得→∞Φ（t）t=∞ 对于任何t＞0的情况，Φ（t）＞0。Φ的限制很小，因为它们只消除了LΦ与Lor L重合的情况∞, 在这种情况下，我们的主要结果要么微不足道，要么已知。在本文中(Ohm, ∑，P）表示非原子概率空间。理论空间LΦ：=LΦ(Ohm, ∑，P）是所有实值随机变量X的空间（模a.s。

等式）使得kxkΦ：=infλ>0:EΦ|X |λ≤ 1.< ∞.LΦ上的| |·|Φ称为卢森堡范数。由所有X组成的LΦ的子空间∈ LΦ这样eΦ|X |λ< ∞ 对于llλ>0，通常称为LΦ的Orl i cz心脏，并用HΦ表示。众所周知，我∞ HΦ LΦ HΦ是LΦ的范数闭子空间。我们总是赋予共轭Orlicz空间Lψ和共轭Orlicz炉膛ψOrlicz normkY kψ：=supX∈LΦ，kXkΦ≤1.E[XY]对于所有Y∈ Lψ，相当于Lψ上的卢森堡标准。Orlicz函数Φ满足-条件（如果存在t）∈ （0，∞) andk公司∈ R使得Φ（2t）<kΦ（t）对于所有t≥ t、 众所周知，Lψ=（HΦ）*Lψ是LΦ的阶连续对偶，是（LΦ）中的格理想*.此外，以下条件是等效的。（1） Lψ=（LΦ）*,6 N.GAO、D.LEUNG和F.XANTHOS（2）LΦ=HΦ，（3）Orlicz函数Φ满足-条件，（4）LΦ具有阶连续范数，即Xα↓, infαXα=0 in LΦ==> infαkXαkΦ=0。如果存在X，则LΦ中的序列（Xn）是有序的∈ LΦ使得| Xn |≤ Xa。s、 对于所有n，LΦ阶的序列（Xn）收敛到X∈ LΦ，书写为XNO-→ X in LΦ，如果Xna。s--→ X和（Xn）在LΦ中有阶界。如果LΦ具有ordercontinuous范数，则Xno-→ X英寸LΦ==> kXn公司- XkΦ→ 0.3。关于偶（LΦ，Lψ）的对偶表示这一节是本文的主要部分，在这里我们证明了等价性(*) 在引言中，当且仅当Φ或ψ满足-条件对于LΦ的子集C，将其在LΦ中的顺序闭包定义为setCo：=十、∈ LΦ：Xno-→ C中某些序列（Xn）的X.如果C=Co，我们说C是LΦ中的订单关闭。尽管有术语，但COI不一定是订单关闭的。

由支配收敛定理，Xno-→ X英寸LΦ==> E【XnY】→ E[XY]，对于任何Y∈ Lψ。图斯科 Cσs（LΦ，Lψ） Cσ（LΦ，Lψ）对于任何集合C LΦ，其中Cσs（LΦ，Lψ）表示C的σ（LΦ，Lψ）-顺序闭包。特别是，每个σ（LΦ，Lψ）-闭包集都是或序闭包。我们首先检查(*) 以及LΦ中凸集的序闭性与σ（LΦ，Lψ）-闭性的等价性。接下来的两个命题基本上是已知的。为了完整起见，我们加入了证明。提案3.1。Letρ：LΦ→ (-∞, ∞] 则ρ具有Fatou性质当且仅当集Cλ={X∈ LΦ：ρ（X）≤ λ} 任意λ的i s orderclosed∈ R、 在定义订单闭包时，我们可以等效地使用网络而不是序列。实际上，由于LΦ具有可数s up性质，如果Xαo-→ X在LΦ中，则存在可数个（αn），使得Xαno-→ X英寸LΦ。双重代表7证明。如果ρ满足Fatou性质，则Cλ是顺序闭合的，这一事实直接来自定义。相反，假设Cλ对于任何λ都是阶闭的∈ R、 设（Xn）是LΦ中的一个序列，或der收敛到X∈ LΦ。如果lim infnρ（Xn）=∞,然后ρ（X）≤ lim infnρ（Xn）微不足道。否则，设λ∈ R应为λ>lim infnρ（Xn）。选择一个子序列（Xnk），使ρ（Xnk）<λ表示所有k。然后选择Xnk∈ 所有k和Xnko的Cλ→ 十、 因此X∈ Cλ和ρ（X）≤ λ。因为这适用于任何λ>lim infnρ（Xn），ρ（X）≤ lim infnρ（Xn）。因此，ρ具有fat偶性。A函数ρ：LΦ→ (-∞, ∞] 称为σ（LΦ，Lψ）-下半连续，如果集合{X∈ LΦ：ρ（X）≤ λ} σ（LΦ，Lψ）-闭合f或所有λ∈ R、 提案3.2。对于一个适当的凸泛函ρ，以下是等价的：LΦ→ (-∞, ∞] .（1） ρ是低σ（LΦ，Lψ）-半连续。（2） 定义ρ*（Y）=supX∈LΦ（E[XY]- ρ（X））对于任何Y∈ Lψ。

ρ（X）=supY时∈Lψ（E[XY]- ρ*（Y））对于任何X∈ LΦ。如果ρ是一致风险度量，则上述条件也等价于（3）Lψ中有一组n个负相关随机变量，每个变量都有期望1，因此ρ（X）=supY∈量化宽松[-XY]对于任何X∈ LΦ。证据（1）<==> （2） 是Fenchel-Moreau对偶定理（[7，定理1.11]）的结果。对于其余的证明，假设ρ是LΦ上的一致风险度量。启示（3）==> （1） 是私人的。（2）==> （3） 。假设（2）成立。选择Z∈ LΦ使ρ（Z）<∞ . 从ρ的正同质性可以很容易地推断出ρ*（λW）=λρ*（W）对于anyW∈ Lψ和任何0<λ∈ R、 因此ρ*（W）=0或∞ 对于任何W∈ Lψ。假设W∈ Lψ和ρ*（W）=0。设A={ω：W（ω）>0}，设X=1A。然后0≤ 十、∈ LΦ和E【XW】≥ 对于任何λ>0，通过ρ的单调性，λE[XW]+E[ZW]=E[（λX+Z）W]≤ ρ（λX+Z）+ρ*（W）≤ ρ（Z）+ρ*（W）<∞.由于λ是任意的，因此E[W 1{W>0}]=E[XW]=0，因此W≤ 0 a.s.定义：={Y∈ Lψ：ρ*(-Y）=0}。根据前面的参数，Y≥ 任何Y均为0 a.s∈ Q、 同样，通过（3）和ρ*(-W）=∞ 对于所有W∈ Lψ，我们看到ρ（X）=supY∈量化宽松[-XY]8 N.GAO、D.LEUNG和F.XANTHOSany X∈ LΦ。最后，对于纽约m∈ R、 ρ（Z）- m=ρ（Z+m1）=supY∈Q(-E[ZY]- mE[Y]）。从那里，对于任何Y∈ Q和任意m∈ R、 ρ（Z）≥ -E[ZY]+m（1- E【Y】）。因此，对于任何Y，E[Y]=1∈ Q、 这就完成了（2）的证明==> （3） 。设ρ是LΦ上的一致风险测度。等效性(*) 声称，当且仅当LΦ上的任何一致风险度量满足命题3.2的条件（3）时，才具有Fatou性质。因为集合C={X∈ LΦ：ρ（X）≤ 根据前面的命题，0}是凸的，等价(*) 对于LΦ，如果对于LΦ中的任何凸集，阶闭度和σ（LΦ，Lψ）-闭度是等价的。考虑到这一点，在[5]中引入了以下属性。

如果给定LΦ中的任何网络（Xα），拓扑σ（LΦ，Lψ）收敛于toX，则称拓扑σ（LΦ，Lψ）具有C-性质∈ LΦ，存在（Xα）的凸组合序列（Zn），因此Zno→ 十、 显然，如果σ（LΦ，Lψ）具有C-性质，那么Cσ（LΦ，Lψ） 对于LΦ中的任意凸集C。由于反向包含总是成立的，因此它遵循的顺序是闭合的，对于LΦ中的任何凸集，σ（LΦ，Lψ）-闭合性都是一致的。因此，等效性(*) 将保持f或LΦ。不幸的是，下一个命题表明C属性的出现相当稀少。提案3.3。Co=LΦ中每个凸集C的Cσ（LΦ，Lψ），当且仅当Φ满足-条件证据如果Φ满足-条件，则LΦ=HΦ，因此σ（LΦ，Lψ）是LΦ上的弱拓扑。根据Mazur定理，Cσ（LΦ，Lψ）=Ck·k。由于每个标准收敛序列都允许一个子序列的阶收敛到相同的极限（参见，例如，[20，引理3.11]），Cσ（LΦ，Lψ） 因此，Co=Cσ（LΦ，Lψ）。相反，假设Φ使-条件根据【27，pp.1 39，定理5】（或【1，定理4.51】），LΦ中存在一个成对不相交的随机变量序列（Xn）和LΦ的一个闭合子格X，使得映射T：l∞→ Xde由T定义（an）n=PnanXn（pointwise sum）是一个Banach格同构。用e表示相同的1序列l∞. 如果Y∈ Lψ，thenXnE【XnY】≤XnE[Xn | Y |]=ET e | Y|< ∞.对偶表示9因此（E[XnY]）∈ l. 因此，如果w=（an）∈ l∞, 然后（1）E[（T w）Y]=EhXanXn公司Yi=氧烷[XnY]=（E【XnY】），w.根据Ostrovskii定理（参见[22，定理2.34]），存在l∞和w∈Wσ(l∞,l)使得w不是σ(l∞, l)-W中任意序列的极限。设C=T（W）。显然，C是LΦ中的凸集。取一个网（wα） W该σ(l∞, l)-收敛到w∈ l∞. 让Y∈ Lψ。By（1），E[（T wα）Y]=h（E[XnY]），wαi→ h（E[XnY]），wi=E[（T w）Y]。因此，（T wα）σ（LΦ，Lψ）-收敛于T w和T w∈Cσ（LΦ，Lψ）。