杠杆要求和甩卖对财务的影响

考虑满足假设2.1的清算函数γ和反向需求函数F。（i） 如果清算函数γ是连续的，则存在清算付款和pricingvector（p*, q*).（ii）如果清算函数γ是非递增的，则存在最大和最小清算支付向量和价格向量，（p+，q+）≥ （p-, q-).证据这与Feinstein（2015）的定理3.6相同。我们现在将给出几个清算功能的示例。示例3.3。在具有单一（代表性）非流动资产的市场中，即m=1，最小清算约束（2）意味着γi（p，q）=q“”pi-xi+nXj=1ajipj+- λ最大值xi+qsi+nXj=1ajipj- “”pi++.这类似于Cifuntes、Shin&Ferrucci（2005）中提出的单一资产模型，但这是一个明显的结果，因为此处给出的杠杆要求不同于Cifuntes、Shin&Ferrucci（2005）中的资本充足率要求。示例3.4。在一个拥有多个非流动资产的市场中，企业可以选择按持股比例出售其资产，即对于某些代理人，i=1，2。。。，n和任何资产k=1，2。。。，mγik（p，q）=sikPml=1silql“”pi-xi+nXj=1ajipj+- λ最大值xi+mXk=1 SIKQK+nXj=1 JIPJ- “”pi++.这是Feinstein（2015）中示例3.3的杠杆扩展。待出售的特定单位数量等于总持有sik的分数（杠杆差额除以按市值计价的资产估值）。示例3.5。为了减少待清算资产的总数，企业可以选择先出售价值最大的资产。值得注意的是，让[k]∈ {1，2，…，m}表示KTH最高价格的指数，即q[1]≥ q【2】≥ ... ≥ q[米]。

公司i清算的资产单位数量【k】由γi【k】（p，q）=q【k】给出“”pi-xi+nXj=1ajipj+- λ最大值xi+mXl=1 SILQL+nXj=1 JIPJ- “”pi+-k-1Xl=1si【l】q【l】+.请注意，如果一家公司能够通过最昂贵的k- 1单独资产，则无资产单位l=k，k+1。。。，m将被出售。然而，我们可能无法保证在这种清算策略下存在解决方案。相反，我们提出了一种近似于上述行为的策略。对于任何>0定义函数h:R+→ [0，1]连续且严格递减。另外定义h，以便LIM→0h（z）=如果z=00，则为1，否则为。如上所述，我们可以通过以下方程系统确定清算策略。γi[k]（p，q）=kX^k=1'h（^k，k）si[k]Pml=^k'h（^k，l）si[l]q[l]g（^k）+（3），其中'h和g定义为'h（k，l）：=h（q[k]- q[升]）1.-k-1Xα=1h（q[α]- q[l]）α-1Yβ=11.- h（q[β]- q[升]）g（k）：=h'pi-xi+Pnj=1ajipji+如果k=0g（0）- λmaxihxi+Pml=1 SILQL+Pnj=1 JIPJ- 如果k=1g（k），则为π+π- （1）-hg（k-1） +Pml=k-1’h（k-1，l）si[l]q[l]∧ 1iPml=k-1’h（k- 1，l）si[l]q[l]if k∈ {2，…，m}。平滑函数h的一个可能选择是由h（z）=exp给出的(-z）。该近似策略执行一系列加权比例清算（例如，参见示例3.4），权重随资产价格增加而增加。示例3.6。与例3.5不同，企业可能希望首先出售其价值最低的资产，以便它们不再出现在资产负债表上。考虑与上述相同的符号，[k]表示KTH最高价格的指数。

公司i出售的资产单位数量【k】由γi【k】（p，q）=q【k】给出“”pi-xi+nXj=1ajipj+- λ最大值xi+mXl=1 SILQL+nXj=1 JIPJ- “”pi+-mXl=k+1si[l]q[l]+.如例3.5所示，我们可能无法保证此清算策略下存在解决方案。确定职能净额h：R+→ [0，1]如上所述。我们可以通过下面的方程组确定近似的清偿策略。γi[k]（p，q）=mX^k=k'h（k，k）si[k]p^kl=1'h（k，l）si[l]q[l]g（k）+（4）'h（k，l）：=h（q[l]- q【k】）1.-mXα=k+1h（q[升]- q[α]）mYβ=α+11.- h（q【l】- q[β]）g（k）：=g（k+1）-g（k+1）+Pk+1l=1'h（k+1，l）si[l]q[l]∧ 1.Pk+1l=1’h（k+1，l）si[l]q[l]如果k∈ {1，…，m- 1} g（m+1）- λmaxihxi+Pml=1 SILQL+Pnj=1 JIPJ- 如果k=mh，则为“pii+”pi-xi+Pnj=1ajipj如果k=m+1，则为i+。与例3.5中的近似策略一样，该清算策略考虑了一系列加权比例清算，权重随着资产价格的增加而减少。备注3.7。例3.3和3.4给出了连续和非递增的清算函数；例3.5和3.6给出的清算函数既不是连续的也不是非递增的。方程（3）和（4）提供的清算函数提供了连续近似，当趋于0时，这些近似收敛到特定示例。备注3.8。在定理3.2（ii）的条件下，我们可以利用范斯坦（2015）提出的修正违约算法来计算最大清算付款和价格（p+，q+）。在定理3.2（i）的条件下，我们可以搜索清算付款和价格（p*, q*) 通过从（p，q）=（p，q）开始的定点迭代。然而，定点迭代可能不会收敛，因为这不是收缩映射。

可以使用其他方法来确定连续映射的固定点，例如Scarf算法（参见，例如Scarf（1967）），来代替。4均衡清算策略再次考虑第2节所述的设置。现在，我们希望研究当每个部门的清算策略结束于所有其他公司选择的策略时，清算付款和清算价格的存在。也就是说，我们希望考虑一种博弈论策略。特别是，我们考虑了所有公司都是价值最大化者的情况，即公司i希望最大化其资产si的估值。由于资产价格受所有企业行为的影响，这是一种均衡清算策略。这是一种更现实的情况，因为金融机构确实是价值最大化者，并且不会事先公布其交易策略。请注意，这类似于范斯坦（2015）提出的均衡清算策略。备注4.1。虽然这个问题被写为单个银行实施清算的函数，但解决方案只取决于所有其他银行的总清算。值得注意的是，该解决方案不要求公司知道谁在销售，而只要求公司知道在财务系统中解决的总金额。回想一下，公司i的权益或损失可以用表格XI+mXk=1sikq表示*k+nXj=1ajip*j- ？部分清算付款和价格的PI（p*, q*). 然而，每家公司都有权选择如何对自己的资产进行清算，这可能会影响非流动资产的价格*. 也就是说，每一家∈ {1，2，…，n}可以选择γik的单位数≥ 资产k的0∈ {1，2，…，m}进行清算，以使其自身权益最大化。特别是，公司i的清算策略将取决于清算策略γ*-对于所有其他公司。

总之，我公司将选择清算，以解决最大化问题γi（p，q，γ*-（一）∈ arg maxgi∈Γi（p，q）刚性【si∧ gi]+Xj6=i[sj∧ γ*j]（5） Γi（p，q）=nγi∈ Rm+| qT[si∧ γi]=qTsi公司∧ ∧i（p，q）o∧i（p，q）=“”pi-xi+nXj=1ajipj+- λ最大值xi+mXk=1 SIKQK+nXj=1 JIPJ- “”pi++.方程式（5）提供的公式确定了每个资产公司应清算的单位数量，以最大化其自身的市值计价。假设3.1限制了定价向量q下的允许清算，如各公司i所述。假设所有其他公司遵循策略γ*-i、 那么，如果我采取不同的行动，它将失去潜在的更高估值。在这种情况下，会修改清算机制，以确定清算付款p*∈ [0，\'p]，结算价格q*∈ [0，\'q]和均衡清算策略γ*∈ Rn×m+。修改后的清除机制ψ：[0，\'p]×0，\'q]×Rn×m+→ P（[0，P]×0，q]×Rn×m+（其中P表示功率集）由ψ（P，q，γ）定义：=n，P∧ （x+Sq+ATp）o×（FnXi=1[si∧ γi]！）×nYi=1arg maxgi∈Γi（p，q）刚性【si∧ gi]+Xj6=i[sj∧ γj].（6） 清算机制的固定点（p*, q*, γ*) ∈ ψ（p*, q*, γ*), 是联合清算支付、价格和清算策略。请注意，每家公司都满足假设3.1中所述的最低清算条件，因为q*= F（Pni=1【si∧ γ*i] ）定义。还要注意的是，没有一家公司可以通过与γ相反的方式进行交易来单方面增加其自身的估值*.在定理4.2中，我们给出了在修正清算机制ψ下存在联合清算付款、价格和清算策略的条件。定理4.2。考虑一个具有液体d捐赠x的金融系统（a，’p）∈ 注册资本+和非流动性捐赠∈ Rn×m+。考虑满足假设2.1的反向需求函数，例如F（Pni=1si）∈ Rm++和β7→ 对于所有i=1，2，…，sTiF（β）是准凹的。。。，n

存在联合清算支付、清算价格和均衡清算策略，即存在（p*, q*, γ*) ∈ ψ（p*, q*, γ*).证据这与Feinstein（2015）的定理4.1相同。从财务上讲，如果反向需求函数是凹函数（结合假设2.1），那么随着更多资产被清算，价格影响的速度会增加。在金融市场中，如果限价指令簿在初始市场价格附近密集，但价格较低时长而浅，则会出现这种情况。也就是说，随着越来越多的资产被解决，导致重大资产价格变动，市场的潜在流动性枯竭。备注4.3。清算清算策略γ*如果所有公司都是价值最大化者，则是财务指标的纳什均衡。也就是说，没有一家公司有动机改变γ的战略*如果它是估价问题的最大化者（考虑到完整的市场策略γ*).备注4.4。在定理4.2和ifβ7的条件下→ sTiF（β）是严格拟凹的，则ψ是单态。因此，如果对ψ的某些定点迭代存在限制，则该限制是一种联合清算支付、价格和清算策略。对于计算，我们将从（p，q，γ）=（\'p，q，0）开始运行执行点迭代。如果由于定点迭代的不收敛而无法找到定点，我们将在已知网络参数的清除解之间进行线性插值；这一影响将在下一节的示例5.3中看到。5数值案例研究在本节中，我们实施拟议的杠杆金融传染模型。基础资产和负债数据是附录a中讨论的美国银行业数据的一个子部分。

有了这些数据，我们可以选择影响风险水平的金融网络结构：o来自其他公司银行间负债的资产价值（\'p·ifor FIRM i）；o非流动资产的数量（m）以及流动资产（XI）和非流动资产（sifor）的初始投资组合的构成非流动资产的清算策略（γifor FIRM i）系统内和系统外的网络结构和负债分配（\'pi·针对公司i）；和o杠杆要求比率。为了构建金融网络，考虑金融企业负债的细分离开金融系统或从金融系统外部进入的情况有时是有益的。为了适应这一点，我们考虑一个具有额外“固定”的扩充系统，由节点0表示。如Feinstein、Rudloff&Weber（2015）所述，在不丧失一般性的情况下，我们假设外部节点0永远不会违约，更具体地说，我们将构建一个节点0对系统其余部分没有义务的系统。如果需要，为了整合节点0不全额支付债务的可能性，我们将在清算机制开始时强调不同公司的资产。为了校准网络，我们首先考虑DirectedLink的一些（可能是随机的）结构。值得注意的是，如果j∈ 一（一）。根据每个企业从收入负债中获得的资产的最大百分比（收入义务的名义规模为Pini），我们运行线性规划（7）来确定网络中每个弧的权重。

该优化问题的解决方案是债务矩阵（包括外部节点0），以便将最低金额的负债从初始金融系统中转移出去，并保留网络结构。minL公司∈R（n+1）×（n+1）+nXj=1Lj0s。t、 nXj=1Lji≤ Pini，nXj=1Lij=(R)pi，Lii，L0i，Liji=0我，冀∈ I（I）c（7）虽然我们只介绍了这种校准机制，但本文给出的定性结果似乎普遍适用。也就是说，结果对网络拓扑具有鲁棒性；这与Glasserman&Young（2015）的研究结果一致。在整个示例中，我们将在适当的情况下考虑系统性风险的三个指标：o拖欠部分债务的总公司比例。之前，Lehar（2005）和Zhou（2010）对此进行了研究违反最大杠杆率要求的总公司比例。这可以由正在清算其所有资产的公司等效地给出（Lesbegue测度0的空间除外）。请注意，从理论上讲，该值可以独立于违约责任向金融网络以外的经济体支付的款项占总金额的比例。从数学上讲，这可以通过公式PNJ=1aj0pjPnj=1aj0'pj得出。这之前在范斯坦、鲁道夫和韦伯（2015）中进行了研究，以作为系统风险度量中金融网络健康状况的集合。在构建投资组合持有量时，我们考虑了两种不同的衡量标准。首先是流动资产中初始投资组合持有量的百分比（而不是更普遍地投资于非流动资产）。其次是每个非流动资产的投资价值。

考虑到公司i在其投资组合中拥有初始资本Ci的情况，inves tsα∈ [0，1]流动资产中的分数，并假设非流动资产投资的随机分布由一些标准偏差σ定义≥ σ的值为差异提供了一个参数。根据该方案，FIRMI将持有流动资产中的xi=αCi。要构建非流动资产，Letchi~ N（1，σ）+(k=1，2。。。，m） 式中，N+表示正态分布的最大值，0表示SIK=（1）- α） ckiPml=1？qlcliCiifPml=1cli>01-αPml=1？qlCielse。假设F（0）=q∈ Rm++。请注意，当σ=0时，这对应于各公司将其初始非流动资产平均分配给资产，即完美的多元化。随着σ的增加，资产之间的差异增加，并且（可能）每个公司都会增加其未投资的资产数量。进一步注意，如果α=1，该方案将简化为Eisenberg&Noe（2001）提出的联系模型，因为没有内部控制来降低企业杠杆率。我们将以美国银行业数据为例。首先，在示例5.1中，我们研究了只有一个具有代表性的单一非流动资产的情况，并改变了流动资产和非流动资产之间的投资组合构成。在例5.2中，我们继续研究单一非流动资产的情况，但现在改变了网络的组成——改变了形成连接的可能性，改变了银行间负债的资产价值。

在例5.3中，我们研究了2007-2008-2009-2011-2012-2013-2014年杠杆率14.6325 19.8325 14.2700 12.9125 12.0375 11.8250 12.6700 13.0850表5.1：例5.1：2007-2014年最低可接受杠杆率要求。不同的多元化（由参数σ定义）和清算策略通过合并多个非流动资产对系统风险的影响。最后，在示例5.4中，我们考虑了一种反事实的情况，即在允许企业取消某些资产和负债以满足杠杆要求后，但在考虑清算机制之前，我们冲击了流动和非流动持有价值。示例5.1。考虑一个拥有单一（代表性）非流动资产和流动资产的市场。使用随机连接的网络；从节点i到j（对于i 6=j）的链路的概率为25%，并对每个潜在链路进行独立采样。此外，任何公司的资产最多有10%来自其他公司的传入负债。由于只有一项资产，例3.3中对流动策略进行了唯一定义。设反向需求函数为nbyf（z）=1.-2z3×10if z≤ 5×10√√zif z公司≥ 5×10。当整个投资组合处于流动资产（α=1）中时，那么在这种设置下，网络总是稳定的——没有违约，没有杠杆短缺，所有付款都按照Glasserman&Young（2015）的结果预期全额支付。然而，如果整个投资组合处于非流动资产（α=0）中，则存在最低杠杆要求，任何较低的最大杠杆都会导致所有公司违约，不符合杠杆要求，任何较高的最大杠杆都不会导致任何公司违约。如图5.1所示；请注意，公司违约的比例与违反杠杆要求的比例完全一致。