具有条件风险价值的加速投资组合优化

一旦建立了这一点，f的连续性可能失败的唯一方式就是它在d处跳跃。在第二步中，我们将证明这是不可能的。为了证明凹度，让Rand R∈ D、 现在让x和x∈ X这样的xi∈ u-1.(-∞, R]对于每个i=1，2，f（Ri）=p（xi）（A.3）。现在让t∈ [0，1]。然后u（tx+（1- t） x）≤ tu（x）+（1- t） u（x），因为u是凸的≤ tR+（1- t） R根据（A.3），换句话说STX+（1- t） x个∈ u-1.- ∞, tR+（1- t） R.（A.4）反过来，这意味着tf（R）+（1- t） f（R）=tp（x）+（1- t） p（x）根据（A.3）≤ p（tx+（1- t） x）因为p是凹的≤ maxx公司∈u-1.(-∞,tR+（1-t） R]p（x）由于（A.4）=f（tR+（1- t） R）。这证明了f是凹的。现在让（Ri）是（d）中的序列，∞) 与limi一起→∞Ri=d。我们将提供→∞f（Ri）=f（d）（A.5），以确定f在d处是连续的。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设（Ri）在减少。因为f是一个递增函数，所以序列f（Ri）也在增加。由于它是从下方以min p（X）为界的，所以它是收敛的。在定义f时，有一个xi∈ X使得u（xi）≤ Riand p（xi）=每i的f（Ri）∈ N、 这样我们就得到了一个序列（xi）。因为X是紧的，所以有一个子序列（xij）收敛到X∈ 十、 我们观察到f（d）≤ 林姆杰→∞f（Rij），因为f增加=limj→∞p（xij）=p（x）≤ maxx公司∈十、 u（X）≤dp（x）=f（d）这意味着limj→∞f（Rij）=f（d），因此（A.5）。对于（1.1）中定义的函数urde，该命题可应用于u（x）=ur（Y x）的情况。为此，应注意uris连续，因为它是有限个连续函数中的最大值。附录B.R代码。加载包lpSolve后，下面的代码将在R版本3.0.2中运行。