基于惩罚分位数回归的资产配置策略

（2012）表明，将额外资产纳入投资组合涉及相关利益，但仅限于一定数量的资产。另一方面，要估计的参数数量随着投资组合维度的增加而增加。因此，估计误差的累积成为一个必须认真解决的问题。例如，Kourtis等人（2012年）将估计误差定义为支付多元化的价格。此外，如第2.1节所示，当通过回归模型构建大型投资组合时，资产回报通常高度相关；然后，估计的投资组合权重确定不当，方差较大。我们在这里提出了对Bassett等人（2004）方法的进一步扩展，以处理以大截面维度为特征的金融投资组合，即大量资产。我们的解决方案建立在惩罚技术的基础上，如黑斯蒂等人（2009），在最近的金融文献中广泛应用，如德米格尔等人（2009），范等人（2012），法斯特里希等人（2014），颜和颜（2014），安藤和白（2014）。在所有可能的方法中，我们使用l范数惩罚，在变量选择的背景下很有用，通过范数惩罚，我们可以惩罚回归系数的绝对大小。在过去十年中，它不仅在线性回归中，而且在分位数回归模型中都成为了一种广泛使用的工具，参见，例如Koenker（2005）、Belloni和Chernozhukov（2011）、Li和Zhu（2008）。H"ardle等人（2014年）使用l-分位数回归模型中的标准惩罚，其中责任变量是核心资产，由标准普尔500指数表示，而协变量是对冲卫星，即一组对冲基金。

根据精确模式设定分位数水平后，目标是购买根据惩罚分位数回归模型估计的系数不同于零的对冲基金。因此，在H"ardle et al.（2014）的工作中，惩罚分位数回归被用作指数跟踪框架中的安全选择工具。在第二步中，H"ardle et al.（2014）将重点放在下行风险上，通过优化Cornish Fisher值atRisk（CF VaR）给出的目标函数，确定先前选择的基金的最佳权重。不同的是，我们使用一个惩罚分位数回归模型，该模型只需一步即可解决证券选择和资产配置问题。响应和协变量是根据投资组合中包含的资产确定的，不考虑外部变量（如市场指数），目的是根据不同的水平优化不同的绩效衡量。特别是，给定1≤ k≤ n、 我们提出了基于以下模型的资产配置策略：arg-min（w-k（θ），ξ（θ））∈RnTXt=1ρθrk，t-Xj6=kwj（θ）r*j、 t型- ξ（θ）+ λXj6=k | wj（θ）|，（18），其中参数（ξ（θ），w-k（θ））取决于概率水平θ，w-k（θ）是权重向量，不包括wk，即在（18）中选择的第k个资产的权重作为数字，而λ是惩罚参数；λ越大，投资组合稀疏性越大。因此，通过惩罚绝对系数值的总和，即。l-正常情况下，一些权重可能会收敛到零。此外，从财务角度来看，这会导致选择活跃头寸较少的投资组合，并对营业额和交易成本产生相关影响。与模型（8）不同，（18）的解取决于数值Rk的选择。

事实上，如果体重等于wk（θ）=1，那么体重不会受到处罚-Pj6=kwj（θ），以满足预算约束。因此，我们需要确定一个标准，在所有可用证券中选择计价资产。我们提出了一个简单但直观的解决方案：我们建议选择样本ψ（Rp，ψ）值最低的资产作为数字。这种选择是因为数字相对于其他选定资产起着重要作用，因此它必须记录特定指标方面的最佳预期绩效。另一个重要问题是选择最佳λ值；我们提醒大家，λ越高，投资组合越稀疏。为此，我们遵循贝洛尼和切尔诺朱科夫（2011）提出的方法。他们考虑了处理大量解释变量的问题，关于样本量T，其中最多只有s≤ n回归器对响应变量的每个条件分位数都有非零影响。在这种情况下，当普通分位数回归估计值不一致时，他们表明，通过惩罚l-回归系数的范数，估计在紧集U上一致一致 （0，1）。为了确定最佳λ值，他们提出了一种具有最佳渐近性质的数据驱动方法。该方法考虑了模型中涉及的变量之间的相关性，并根据θ水平得出不同的最佳λ值。惩罚参数由随机变量∧=T supθ构建∈Umaxj6=kTTXt=1“r*j、 t（θ- 1{et≤θ}）^σjpθ（1- θ）#, （19） 其中e。。。，eTare i.i.d.独立于协变量分布的均匀（0，1）随机变量，r*, 和^σj=T-1PTt=1（r*j、 t）。正如Belloni和Chernozhukov（2011）所建议的那样，我们通过运行100000次迭代来模拟∧值。

因此，最佳惩罚参数计算为λ*=τpθ（1- θ）T，（20），其中τ=2bQ0.9（λ| r*) andbQ0.9（λ| r*) 是以解释变量值为条件的∧的第90百分位。在第4节讨论的实证分析中，使用方程式（20）给出的方法，以确定惩罚参数λ的最佳值。3经验设置3.1数据描述虽然Bassett et al.（2004）在其工作中仅使用模拟数据，但我们更进一步，在考虑到两个不同数据集的情况下，基于真实数据进行了实证评估。它们包括从2004年11月4日至2014年11月21日，分别纳入标准普尔100指数和标准普尔500指数篮子中的公司的每日收益。在第一个数据集中（标准普尔100），我们处理94项资产，而在第二个数据集中（标准普尔500），我们处理452项资产。图3分析了标准普尔500指数最大数据集的主要描述性统计数据。图3：根据标准普尔500指数成分股产生的各项资产收益计算得出的统计数据。从左至右，方框图指：（a）平均回报，（b）资产回报的标准差，（c）峰度指数，（d）偏度指数，（e）回报的第10个百分位，（f）初始财富等于100美元时，每家公司在分析结束时产生的最终财富。从图3（a）中，我们可以看到，平均回报率接近于零，并且趋向于正，在中值0.055%左右对称分布；其最大值和最小值等于0.242%，且-分别为0.044%。标准偏差的分布以2.137%的中值输入，范围从1.013%到5.329%（图3（b）），少数波动性特别大的公司与极端右尾值相关。

峰度指数分布是右偏的，右尾的值非常大（图3（c））：中位数等于12.379，而最小值和最大值分别等于5.948和72.867，这表明收益分布受到重尾的影响，正如预期的那样（见Cont（2001）f或金融收益的程式化事实）。图3（d）显示，偏度指数在中值0.209左右对称分布。其范围为-3.088至2.640，数据来自汤森路透数据流。两个尾部都存在一些极值；因此，收益具有轻量级和不对称分布。如第3.3节所述，图3（e）显示了收益率序列的第10个百分位数，这是一种极端风险的度量，我们将其用作风险价值的估计值。从图3（e）中，我们可以看到，第10百分位的分布受到轻微的负不对称的影响，以-2.044%，最小值和最大值等于-3.703%和-分别为1.004%。图3（f）所示的最后一项指标显示了我们在2014年11月21日从单一资产中获得的财富分布，在2004年11月4日对每项资产投资100美元后。右偏的最终财富分布受其右尾相关极值的影响。其范围为2.423至7757.073，中值为221.650美元；因此，我们平均记录库存值的增加。3.2样本内和样本外评估滚动分析我们使用第2节中介绍的最小二乘法和分位数回归模型估计投资组合权重。在建立投资组合的那一刻，只可能预测他们未来的表现，而实际结果无法保证，只能事后评估。

假设我们表现得像一个投资者，我们进一步扩展了Bassett et al.（2004）的工作，实现了rollingwindow过程，该过程允许分析样本外的性能。此外，我们可以评估估计值随时间的稳定性。滚动窗口程序描述如下。迭代地，原始资产返回维度为T×n的时间序列，并将其划分为窗口大小为ws的子样本。第一个子样本包括从第一天到第五天的每日收益。第二个子样本是通过删除最古老的观测值，包括第（ws+1）天的观测值来获得的。该程序继续（T- 1） -到达第天。在实证分析中，我们使用两个不同的窗口，即ws={500，1000}，来检查投资组合绩效如何依赖于投资组合维度和样本量。对于每个窗口，我们估计投资组合权重，用BWT表示，t=ws。。。，T- 1、通过给定的资产配置策略。让rt-ws+1，tbe ws×n矩阵，其行为资产返回t之间期间记录的向量- 然后，在样本内和样本外计算投资组合回报。在第一种情况下，对于每个滚动子样本，我们将每一行的Rt相乘-ws+1，tbybwt，获得样本投资组合回报中的ws，从中我们可以计算第3.3节中描述的绩效指标。

总体而言，从所有T-ws子矩阵rt-ws+1，t，我们得到t-第4节分析了每个绩效指标的分布情况。和样本内分析不同，我们评估估计的绩效指标，样本内分析的目的是检查预期是否与实际结果相符。因此，样本外绩效起着至关重要的作用，因为它对应于每天修改其投资组合的投资者所获得财富的实际影响。特别是，fort=ws。。。，T- 1，bwtis乘以rt+1，即在t+1观察到的资产回报向量，以获得样本外投资组合回报。这样，对于每个资产配置策略，我们从样本投资组合收益中获得一个经验，即长度为T的向量- ws，我们从中计算第3.3.3.3节绩效指标中所述的绩效指标。在实证分析中，我们比较了几种资产配置策略，这些策略是由有序最小二乘回归模型和分位数回归模型构建的。我们使用多个指标评估和比较他们的表现，以提供关于投资组合交易费用的可行性、风险和影响的信息。每个指标都是从样本内和样本外返回计算得出的。第2.1节描述了一些性能指标，即α-风险、MAD、ψ（Rp，ψ）和ψ（Rp，ψ）。此外，我们还考虑了财务研究中通常使用的其他指标。第一个是夏普比率，这是一种风险调整后的回报指标，定义为rp^σp，（21），其中rp和σpdenote分别是投资组合回报的样本平均值和标准偏差。如第3.2节所述，在样本情况下，计算每个轧制子样本的“rpand^σpare”-ws+1，t，对于t=ws。。。，T- 1、因此，我们得到T- ws夏普比率。

不同的是，在样本外的情况下，我们对每个窗口都有一个投资组合回报，获得总的单一投资组合回报向量，长度等于T- ws，我们从中计算夏普比率。除了α-风险外，我们还考虑了风险价值，定义为阈值，以便在给定时间范围内投资组合损失超过该值的概率等于α。风险价值的重要性不仅在于金融机构广泛使用风险价值来分配其资本，而且金融机构也使用风险价值来确定其监管活动中的资本要求。在目前的工作中，风险价值被估计为样本内和样本外投资组合回报的α-分位数，α=0.1。最后，我们通过周转率评估交易费用对投资组合再平衡活动的影响，计算asT urn=T- wsTXt=ws+1nXj=1 | bwj，t- bwj，t-1 |，（22）其中，bwj是第t天资产配置策略确定的第j项资产的权重。营业额越高，再平衡活动产生的成本影响越大。准确地说，（21）的分子应该等于无风险超额收益。为简单起见，我们假设无风险回报率等于零。参见巴塞尔银行监管委员会（Basel Committee on BankingSupervision）的《资本计量和资本标准的国际趋同》（International convergence of capital measurement and capital standards），网址：http://www.bis.org/publ/bcbs118.pdf.4实证结果我们分析的第一个方面是指l-投资组合权重的标准惩罚。对于分位数回归模型，我们根据Belloni和Chernozhukov（2011）提出的方法估计最佳收缩参数λ。对于每个分位数水平，我们使用标准普尔100和标准普尔500的全样本数据计算（20）。

因此，在实现滚动窗口过程后，我们计算每个滚动样本的活动和空头头寸数量，其平均值分别用“Na”和“ns”表示。根据模型（18）构建的资产配置策略被命名为P QR（θ），用于∈ （0，1）。我们还应用l-模型（1）上的范数以及由此产生的资产定位策略表示为套索。对于套索，λ*校准，以获得与分位数回归模型在θ=0.5时生成的结果相比较的结果（以“na”为单位）。为了简单起见，我们在表1中显示了λ*仅针对P QR（0.1）、P QR（0.5）、P QR（0.9）和LASSO，滚动窗口上的活跃和空头头寸的值和平均数量。表1:l-活跃和空头头寸的标准惩罚。策略λ*（标准普尔100）λ*（标准普尔500指数）(R)na（标准普尔100指数）(R)na（标准普尔500指数）(R)ns（标准普尔100指数）(R)ns（标准普尔500指数）ws=500 ws=1000 ws=500 ws=1000 ws=500 ws=1000 ws=1000 ws=1000 ws=1000 P QR（0.1）0.3644 0.6964 24 43 32 74 6 19 8 26 P QR（0.5）0.6073 0.1608 29 44 42 77 8 17 10 28 P QR（0.9）0.3644 0.6964 27 36 71 7 15 7 237 0.0004 0.0004 28 45 77拉索9 20 12 32该表报告了最佳收缩参数（λ*), 对于普通最小二乘法（LASSO）和分位数回归（P QR（θ））模型，通过l-标准惩罚，通过使用不同的数据集和窗口大小。我们注意到λ*根据θ级别变化，在θ域中心达到相对较高的值。这导致分位数回归法的衰减，即中位数周围活跃状态增加的趋势，见表1。此外，我们还分析了普通最小二乘法和分位数回归法估计的投资组合权重的演化时间。

我们检查重量是否随着l-标准惩罚，当ws=1000时，这种影响更为明显。这一结果是由于l-范数惩罚将高度相关资产的权重缩小为零，窗口大小越大，估计误差的影响就越小。现在，我们分析和比较了各种分配策略的样本内性能。根据第3.2节所述计算的样本投资组合回报，我们获得以下绩效指标：平均值、标准差、夏普比率、α=0.1时的风险值（见第3.3节）、α=0.1时的α-风险、ψ（Rp，0.9）、ψ（Rp，0.9）和MAD，分别由（5）、（10a）、（11）和（16）定义。如第3.2节所述，总体而言- 由滚动过程产生的ws子样本，我们得到T- 每个绩效指标的ws值。我们使用箱线图来查看样本内统计数据在滚动子样本上的分布情况。我们在图4-5中显示了当前工作的输出，如果某个股票的重量绝对值大于0.0005，则认为该股票的仓位较长。同样，如果重量小于-0.0005，则认为位置较短。值介于-0.0005和0.0005之间的权重设置为零。从普通最小二乘法和分位数回归（应用于θ={0.1，0.5，0.9}）模型中获得，无论是否施加l-标准惩罚，使用标准普尔500指数（S&P500）作为数据集，并应用窗口大小为500个观测值的滚动技术。图4:DexComponents中的St Standard&Poor\'s 500指数收益率序列的样本结果，无需处罚。窗口大小为500个观测值的滚动分析。