退休时的最优股票下滑路径

附录J中包含了本研究中提出的优化技术的完整C++实现。有4种方法可以执行优化：（1）使用DP的牛顿方法，（2）使用模拟的牛顿方法，（3）使用DP的梯度上升，（4）使用模拟的梯度上升。参见第二节。I和II。有关这两种优化方法的更多详细信息，请参见第二节。D了解两种估算方法的详细信息。方法（1）通常收敛速度最快，产生最精确的估计，但在沿边界区域操作时定义不明确。它反映了除使用方法（3）的方案8外，本节中介绍的所有方案所使用的方法。附录中提供了其他详细信息。在本节中，我们将分析下表1所述的8种不同场景。表1固定TD下滑道优化场景使用的假设该表定义了本节所述8种场景中每种场景的假设。历史收益来自纽约大学教授Aswath Damodaran的1928-2013年股票（标准普尔500指数）和债券（10年期国债）总收益网站，见Rook（2014）。历史实际回报的参数为：us=0.0825，ub=0.0214，σs=0.0403，σb=0.0070，σ（s，b）=0.0007。通货膨胀调整是使用从联邦储备银行明尼阿波利斯分行网站检索到的CPI-U数据进行的。Evensky假设反映了较低的回报，是从Pfau和Kitches（2014）的情景A中提取的，他们从2013年版的theMoneyGuidePro中检索到了这些假设TM 软件包。（注意：他们假设对数正态回报，我们假设正态回报。）这些实际回报的参数为：us=0.0550，ub=0.0175，σs=0.0428，σb=0.0042，σ（s，b）= 0.0040。

该过程要求用户指定一个起点，每个场景将从以下5个常规滑道开始:（1） 上升，（2）下降，（3）恒定，（4）随机#1，（5）随机#2。然后，每个场景报告程序收敛到的最佳下滑道。不同的解决方案表明存在多个局部最优解。情景#实际回报率折旧长度（TD）提取率（WR=RF（0））费用比率（ER）1历史30年4.0%0.0%2历史30年4.0%1.0%3 Evensky 30年4.0%0.0%4 Evensky 30年4.0%1.0%5历史30年5.0%0.0%6历史30年5.0%1.0%7 Evensky 30年5.0%0.0%8 Evensky 30年5.0%1.0%5开始下滑8个场景中的每个场景使用的路径都没有每个场景的变化如下图5所示。图5所有8种优化场景的起始下滑道该图描述了上面表1中描述的8种场景中的每种场景所使用的起始下滑道。上涨的下滑路径从30.5%的股票开始，每年增长1%。下滑路径从59.5%的股本开始，每年下降1%。恒定下滑道固定在45%的股票上，最后2个起始下滑道是完全随机的，但生成的，因此它们大于两组收益假设的MV（α）。

注意：我们在不同的滑道上开始这个过程，试图找到不同的局部最优值（即结束滑道）。RisingGP0.3050.3150.3250.3350.3450.3550.3650.3750.3850.3950.4050.4150.4250.4350.4450.4650.4750.4850.4950.5050.5150.5250.5350.5450.5550.5650.5750.5850.595,倾斜总成0.5950.5850.5750.5650.5550.5450.5350.5250.5150.5050.4950.4850.4750.4650.4550.4450.4350.4250.4150.4050.3950.3850.3750.3650.3550.3450.3350.3250.3150.305,康斯坦特格普0.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.4500.450,随机的#1GP0.6360.2140.1930.6370.6260.5970.9430.8770.2540.8230.9030.2940.4440.5130.5290.1600.5640.2930.6980.2280.3110.7760.6890.7640.5960.7930.9110.6240.7090.205,随机的#2GP0.8130.8860.2270.6840.3280.3790.4840.1450.7630.2840.6900.4760.8760.6490.1470.6430.5210.6620.1610.8640.8670.3320.2810.2240.4710.7770.9220.8800.2950.860E、 1情景#1：历史实际回报，TD=30年，WR=4%，ER=0.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#1中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，thusconcave。这是这种情况下内点最优的经验证据。

（参见下图6.1。）最佳下滑道正在上升，似乎略微凸出，但几乎呈线性。t=1时的第一个股权比率约为36.85%，t=30时的最后一个股权比率约为77.66%。使用该滑道的成功率约为91.97%。E、 2情景#2：历史实际回报，TD=30年，WR=4%，ER=1.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#2避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，thusconcave。这是这种情况下内点最优的经验证据。（参见下图6.2。）最优滑道是上升的，开始呈线性，然后变为凹形。时间（年）t=1时的第一个股权比率约为48.16%，时间（年）t=30时的最后一个股权比率为79.03%。使用该滑道的成功率约为83.82%。E、 3情景#3：Evensky实际回报率，TD=30年，WR=4%，ER=0.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#3中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（见图6.3。）最优滑道是上升的，开始呈线性，然后变为凹形。时间（年）t=1时的第一个股权比率约为28.12%，时间（年）t=30时的最后一个股权比率为48.10%。

使用该滑道的成功率约为74.80%。E、 4情景#4：Evensky实际回报率，TD=30年，WR=4%，ER=1.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#4中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，thusconcave。这是这种情况下最佳内点的经验证据。（参见下图6.4。）最佳滑道在前9年左右上升，然后下降。时间（年）t=1时的第一个权益比率约为57.06%，时间（年）t=30时的最后一个权益比率约为49.15%。使用此滑道的成功率约为59.99%。E、 5情景#5：历史实际回报，TD=30年，WR=5%，ER=0.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#5中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，thusconcave。这是这种情况下内点最优的经验证据。（参见下图6.5。）最佳下滑路径迅速上升，然后在退休中途开始缓慢下降。时间（年）t=1时的第一个股本比率约为56.55%，时间（年）t=30时的最后一个股本比率约为79.7%。

成功率约为77.52%。E、 6情景#6：历史实际回报，TD=30年，WR=5%，ER=1.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#6中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，thusconcave。这是这种情况下内点最优的经验证据。（参见下图6.6。）最佳滑道在11年前迅速上升，然后下降。在时间（年）t=1时，第一次股权比率约为78.14%，在时间（年）t=30时，最后一次股权比率约为80.35%。成功率约为67.93%。E、 7情景#7：Evensky实际回报率，TD=30年，WR=5%，ER=0.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#7中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，thusconcave。这是这种情况下内点最优的经验证据。（参见下图6.7。）最佳下滑路径在前4年迅速上升，然后在退休后下降。t=1时的第一个股本比率约为82.35%，t=30时的最后一个股本比率约为49.23%。成功率约为52.80%。E、 8情景#8：Evensky实际回报率，TD=30年，WR=5%，ER=1.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#8中避免财务破产的相应概率。

我们使用DP来估计概率和梯度来执行优化。图5中的所有起始滑道在ε=（0.13）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，因此是凹的。这种情况下的最佳情况存在于函数的凹边界区域。（参见下图6.8。）最佳下滑路径最初为100%股票不变，然后在退休后的剩余时间下降。t=1时的第一次股权比率为100%，t=30时的最后一次股权比率约为49.61%。成功率约为43.23%。五、 最终提款的随机时间通常，最后一次提款发生在时间t=TD，在上述示例中，TD=30（年）。第一股权比率，α, 在时间t=0和相应的第一次返回时设置，,, isobserved在时间t=1。当TD=30时，最后的权益比率，α, 在时间t=29和相应的最后一次返回时应用，,, 在时间t=30时观察到。当TDis随机时，最后一次退出是基于寿命，并且TD=0，1，2，…，SMax，其中SMaxis是基于退休人员当前年龄的最大可能TDE值。设P（TD=t）=pt，对于t=0，1，2，…，SMax。这里是滑道包含SMaxequity比率，每个可能的时间点t>0一个。Nowithdrawal是在时间t=0时尝试的，TD=0表示死亡发生在第一次退出尝试之前。让P表示TDI为随机时避免退休破产的概率，并让PNR,T如（3.1）所定义。

然后：PPT0∩破坏0∪T1.∩破坏1.∪…∪TS∩破坏S由于这些事件是互斥的，因此可以添加它们的概率：→PPTt型∩破坏t型PTt型*P破坏t型|Tt型p*PNR公司,t型pp*PNR公司,t型.要针对滑道优化此功能，, 使用此处提出的技术需要SMax元素梯度向量，,  和（SMax）x（SMax）Hessian矩阵，, 对于（5.1）（5.2）（5.5）（5.3）（5.4）功能P.  由于和的导数等于导数的和，因此TTHGradienteElement，g, 属于= g级,g级,…,g级由：g给出αPp*αPNR公司,kp*g级|Tk,其中g|Tk如（3.4）中对t的定义≤ k、 0，这里是O.W.，g定义为t=1，2，…，SMax。非对角线元素，H,, 对应的Hessian矩阵，, 由：H给出,ααPp*ααPNR公司,kp*H,|Tk,其中H,|Tk如（3.5）中对i的定义 j∈ {1，2，…，k}，这里是0，O.W，H,i的定义j=1，2，…，SMax。对角线元素，H,, Hessian矩阵的，, 是：H,αPp*αPNR公司,kp*H,|Tk,其中H,|Tk如（3.6）中对t的定义≤ k、 t=1，2，…，SMax。因此，对于最终退出随机时间（TD）的退出，寻找最优静态下滑道的问题是可以解决的。本节给出的结果可能适用于个人或群体的死亡率。表2用于随机TD滑翔道优化场景的假设该表定义了本节中所述两种随机TD场景的假设。

结果适用于年龄为65岁的男性/女性夫妇，反映时间t=0。相应的概率是使用SSA中的寿命表得出的。gov和最大男性/女性年龄分别为111岁和113岁。因此，该下滑道需要48个股本比率，每个可能的时间点一个，图5中用于场景1-8的初始下滑道不适用。历史和Evensky回报与表1中所述完全相同。每个场景将从不同形状的不同滑道开始，以确定是否存在局部最优。这两种情景可以直接与第四节E中的情景1和情景4进行比较，这两种情景是固定的TD=30年对应情景。情景#（比较与）实际回报假设疲劳长度（SMax）提取率（WR=RF（0））支出比率（ER）9（与1）历史48年4.0%0.0%10（与4）Evensky 48年4.0%1.0%（5.6）（5.7）（5.8）A.1情景#9：历史实际回报，SMax=48年，WR=4%，ER=0.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是情景#9中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。所有测试的起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负定的，因此是凹的。这是这种情况下内点最优的经验证据。（见图7.1。）最佳下滑道上升，然后在大约（年）时间t=30时趋于平稳。在时间（年）t=1时，第一次股权比率约为34.19%，在时间（年）t=48时，最后一次股权比率约为79.77%。

使用该滑道的成功率约为96.06%。A、 2情景#10：Evensky实际回报，SMax=48年，WR=4%，ER=1.0%Let是最佳静态滑道，PNR 是场景#10中避免财务破产的相应概率。我们使用DP来估计概率，并使用牛顿法进行优化。所有测试的起始滑道在ε=（0.1）处收敛到相同的解，该解位于PNR区域其中Hessian是负有限的，因此是凹的。这是这种情况下内点最优的经验证据。（参见下图7.2。）最佳滑道上升，然后开始以较慢的速度下降，大约在退休前的一半。t=1时的第一次股权比率约为31.37%，t=48时的最后一次股权比率约为49.72%。成功率约77.87%。六、 总结/结论和未来研究随着市场收益的消耗，动态下滑道会随着时间而变化，而静态下滑道则是在某个起点上预先确定的。一般来说，静态滑道是次优策略，因为它们对退休人员施加了人为约束（Rook（2014））。然而，它们更容易实现和理解。静态下滑路径也是大多数T-D基金的基础，因此从业人员和退休研究人员都感兴趣。我们引入了一种技术来推导退役时的最佳静态滑翔道。由于投资组合的成功概率并非总是作为权益比率的函数呈准凹，因此该程序可能会找到局部最优值。在实践中，我们没有遇到典型退休期限和初始提款率的局部最优值。