省一分钱就是赚一分钱：更便宜的零息债券

让我们考虑时间t，i，j=1，…，的欧洲呼叫选项（Si，j（t），Ki，j，τ）。。。，N、 i 6=j，在一般汇率过程中，Si，j带有删除线，j，到期日T=T+τ，面值等于一个外币单位。我们表示viaYi（t）=log（Di（t））GOP第i种货币面额的对数。因此，log exchangerate可以写为xi，j（t）=log（Si，j（t））=Yi（t）- Yj（t）。让我们介绍以下条件期望φi，jt，T（z）=Di（T）EDi（T）eizxi，j（T）英尺= eYi（t）Ehe-Yi（T）+iz（Yi（T）-Yj（T））i的Fti（4.1）=√-1、对于z=u∈ R我们将使用贴现特征函数的术语，而对于z∈ 当期望存在时，函数φi，jt，将被称为广义折扣特征函数。如果我们用ψt，t（z）表示GOP面额向量的联合条件（广义）特征函数Y（t）=（Y（t）。。。，YN（T）），即ψT，T（ζ）：=Eheihζ，Y（T）iFti，ζ∈ CN，（4.2）那么我们有φi，jt，T（z）=Di（T）ψT，T（ζ），（4.3）对于ζ是一个向量，ζi=z+i，ζj=-z和所有其他项均等于零。现在，根据实际世界定价公式（2.9），看涨期权的时间t价格可以写成以下预期值：C（Si，j（t），Ki，j，τ）=Di（t）EDi（T）Si，j（T）-Ki，j+英尺.继Lewis（2001）之后，我们知道期权价格可能被解释为支付函数和（对数）基础概率密度函数的卷积。因此，导数的定价可以在傅立叶空间中通过依赖Plancherel/Parseval恒等式来求解，参见Lewis（2001），其中我们有f，g∈ L（R，C）Z∞-∞f（x）g（x）dx=2πZ∞-∞^f（u）^g（u）du代表u∈ R和^f，^g分别表示f，g的傅立叶变换。在期权定价设置中应用上述推理需要一些额外的注意。

事实上，大多数Payoff函数不允许经典意义上的前向变换。例如，众所周知，对于看涨期权，有Φ（z）=ZReizxex公司- Ki，j+dx=-Ki，jiz+1z（z- i） ，前提是我们让z∈ C，Im（z）>1，意味着Φ（z）是广义意义上Payoff函数的傅里叶变换。此类限制必须与确定原木价格广义特征函数的领域相结合。我们刚才报告的推理是在Lewis（2001）的定理3.2中发展起来的，其中给出了以下一般公式（这里我们写φi，jf表示φi，jt，Tin以简化符号）：C（Si，j（t），Ki，j，τ）=2πZZφi，j(-z） Φ（z）dz，（4.4），z表示复平面中的线，平行于实轴，在那里进行积分。Carr和Madan（1999）的文章采用了不同的程序，引入了阻尼期权价格的概念。然而，正如Lewis（2001）和Lee（2004）所指出的，这种替代方法只是第一种方法的一个特例。Lee（2004）将期权价格的傅立叶表示推广到利率随机的情况。此外，Lewis（2001）首创的等高线移动被用于证明Lee（2004）的定理5.1。这里给出了以下一般期权定价公式：C（Si，j（t），Ki，j，τ）=RSi，j（t），Ki，j，α+πZ∞-iα0-iαRee-izki，jφi，j（z- （一）-z（z- （一）dz。（4.5）这里ki，j=log（ki，j），α表示积分的等高线，应用留数定理得到的项由Si，j（t），Ki，j，α=φi，j(-（一）- Ki，jφi，j（0），如果α<-1φi，j(-（一）-Ki，jφi，j（0），如果α=-1φi，j(-i） 如果- 1<α<0φi，j(-i） 如果α>0，则α=00。（4.6）以下定理提供了广义贴现特征函数的显式计算。定理4.1。

（4.2）中的联合条件广义特征函数ψt，t（·）由ψt，t（ζ）=exp（NXi=1iζi）给出Yi（t）+hi（t- t）)×dYk=1expNXi=1”（T- t） 1个- ρkNXj=1iζiiζj（aikbjk+ajkbik）+iζiaikbik+iζiκkρkσk自行车- θkaik!- Vk（t）iζiρkaikσk- iζiρkbikσklog（Vk（t））#）×βk（t，Vk）mk+1Vk（t）-κkθkσk（λk+Kk（t））-+mk公司-αk+κkθkσk×eσkκkθk（T-t）-√AkVk（t）科思√Ak（T-t）+κkVk（t）Γ+mk公司- αk+κkθkσkΓ（mk+1）×F+mk公司- αk+κkθkσk，mk+1，βk（t，Vk）4（λk+Kk（t））,（4.7）其中mk=σksκkθk-σk+ 2σkνk，Ak=κk+2ukσk，βk（t，x）=√Akxσksinh√Ak（T-t）,Kk（t）=σk帕克科特√Ak（T- t）+ κk,和αk=-ρkσkNXi=1iζibik（4.8）λk=-ρkσkNXi=1iζiaik（4.9）uk=-NXi=1iζiHik+iζi（aik）+1- ρkNXj=1iζiiζjaikajk+iζiρkaikκkσk（4.10）νk=-NXi=1iζiGik+iζi（bik）+1- ρkNXj=1iζiiζjbikbjk-iζiρkbikσkκkθk-σk.（4.11）赋予函数Fk(-Im（ζ））：=κk+2σk-NXi=1-Im（ζi）Hik-Im（ζi）（aik）+1- ρkNXj=1Im（ζi）Im（ζj）aikajk- Im（ζi）ρkaikκkσk!fk公司(-Im（ζ））：=κkθk-σk+ 2σk-NXi=1-Im（ζi）Gik-Im（ζi）（bik）+1- ρkNXj=1Im（ζi）Im（ζj）bikbjk+Im（ζi）ρkbikσkκkθk-σk!fk公司(-Im（ζ））：=κkθk+σk+pfk(-Im（ζ））σkfk(-Im（ζ））：=ρkσkNXi=1Im（ζi）aik+pfk(-Im（ζ））+κkσk，结合以下条件（i）fk(-Im（ζ））>0，k=1，d（二）fk(-Im（ζ））≥ 0，k=1，d（三）fk(-Im（ζ））>0，k=1，d（四）fk(-Im（ζ））≥ 0，k=1，d、 转换公式（4.7）适用于所有t∈ [0，T]当复向量iζ属于strip Dt时+∞= 在+∞×iRN CN，其中收敛设置为+∞ RNis由AT提供+∞:=-Im（ζ）∈ 注册护士flk公司(-Im（ζ）），l=1，4满足（i）-（iv）此外，对于iζ∈ Dt，t？=At，t？×iRNwithAt，t？：=-Im（ζ）∈ 注册护士flk公司(-Im（ζ）），l=1，3满足（i）-（iii）和fk(-对于某些k，Im（ζ））<0 在+∞在最大时间t？之前，变换是明确的？给定byt？=水貂s.t.fk(-Im（ζ））<0√Aklog1-√Akκk+σkρkPNi=1Im（ζi）aik+√Ak！。（4.12）证明。

参见附录B。上述通用转换公式是一个强大的工具，但是，检查（4.7）的有效性在校准设置中可能不太实用。因此，我们提供了一个简单但方便的标准。回想一下，我们在（2.11）中引入了时间t的价格Pi（t，t）∈ [0，T]，0≤ T≤第i个货币单位的零息票债券的T，以T，i=1，N、 通过以下条件期望pi（t，t）：=Di（t）EDi（T）英尺= φi，jt，T（0）。（4.13）标准由下一个引理提供。引理4.1。允许-1<α<0和z∈ C，z=u+iα。假设PI（t，t）∨ Pj（t，t）<∞,thenDi（t）EDi（T）Si，j（T）-α英尺< ∞,此外，贴现特征函数φi，j（z）允许对条带z={z进行解析扩展∈ C | z=u+iα，α∈ (-1，0）}。证据见附录C。鉴于引理4.1中的结果，我们将通过使用Lee的广义Carr-Madan公式，即（4.5），通过设置Si，j（t），Ki，j，α= φi，j(-i） 。5外汇三角形的模型校准根据De Col et al.（2013）、Gnoatto and Grasselli（2014）和Baldeaux et al.（2015b），我们对外汇隐含波动率曲面的三角形进行了联合校准。更具体地说，我们考虑了Gnoatto和Grasselli（2014）中使用的数据集，其中包括截至2010年7月22日欧元兑美元、美元兑日元和欧元兑日元的隐含波动率曲面。我们选择这样一个日期，以便根据2010年7月23日的数据，获得与De Col et al.（2013）的校准结果进行近似比较的校准结果。我们对到期日从1个月到18个月不等的期权进行了校准，资金从15 delta-put到15 delta-call不等，我们总共考虑了126份合同。我们考虑的校准模型是完整的4/2随机波动率模型，即同时考虑赫斯顿效应和3/2效应。

由于利率风险有限，我们在校准到期时间最长为18个月的期权时，不考虑随机利率，见Gnoatto和Grasselli（2014）。根据上述参考，我们选择以下惩罚函数xiσimpi，市场- σimpi，型号,其中σimpi，mkt是第i个观察到的市场波动率，σimpi，model是第i个模型衍生的隐含波动率。对于每个期权合同，σimpi，模型按照以下步骤构建：首先，给定一组模型参数，（4.5），用于-采用1<α<0来获得相应的模型衍生价格，然后，通过标准隐含波动率解算器将获得的价格转换为σimpi，模型。就（4.5）的实现而言，我们通过4096点FFT例程近似积分，网格间距等于0.1，因此不适当的积分在点e处截断。相应的走向范围如下所示：e-31.4159，e31.4159为了提高准确性，引入了辛普森规则权重，参见Carr和Madan（1999）。FFT然后返回固定罢工网格的期权价格向量。利息行使的期权价格通过线性插值获得。我们假设该模型由两个平方根因子驱动。我们需要校准的参数由每个平方根过程动力学中出现的参数给出，即κk、θk、σk、Vk（0）、k=1、2，再加上每个货币区的二维相关向量和六个二维预测向量，即ai、bi、i=1、2、3，这意味着我们继续估计总共22个参数。显然，为了防止不稳定性和过度参数化问题，可以考虑简化模型版本。2010年7月22日的校准结果如图2a所示，相应参数如表1所示。

根据De Col et al.（2013），我们在我们考虑的所有三个表面上都获得了良好的拟合。这表明可以对模型进行令人满意的校准。它允许我们进行以下分析，这是本文有趣的实证结果。考虑到我们从校准中获得的一组参数，我们可以尝试分析市场数据ofFX期权是否支持经典风险中性定价的普遍使用。我们的方法非常灵活，在单一模型的设置中，我们可以跨越风险中性估值和实际衡量下的定价。表2总结了这种分析。我们考虑了不同的定价指标：现实世界的概率指标P和假定的风险中性指标Qusd、QeurandQjpy。对于每个度量，我们计算每个平方根过程的相应Feller条件。在真实世界概率测度P下，我们观察到Feller条件2κkθk≥ Vand V均满足σkis。接下来，我们将分别在两种假定的风险中性度量Qusda和Qjpy下进行相同的分析。我们观察到，对于第一个组件，我们仍然发现两个过程都不会达到零，而对于QJPY，我们发现第二个组件不满足伐木条件。如第3.3节所述，如果在假定的风险中性度量下，至少有一个平方根过程具有不同的行为，那么我们就知道经典的风险中性定价是没有充分根据的。总之，我们的情况是，市场数据表明，对于美元币种，风险中性定价可能适用，而对于日元币种，这在理论上是没有根据的。我们还进行了第二次校准实验。

数据集样本的结构与前一案例中的相同，并提供了截至2015年2月23日、3月23日、4月22日、5月和6月22日的市场数据。从本质上讲，我们是从衍生品交易台的角度出发，遵循市场惯例，包括在不同交易日期定期重新校准模型。这种分析使我们能够提供一些关于我们获得的参数估计稳定性的初步证据。通过查阅表5，我们观察到校准参数的稳定性令人满意。只有在2月和3月校准期间，才能观察到估计值的相关变化。其质量与我们在第一次校准以及Baldeaux等人（2015b）和De Col等人（2013）的上述论文中获得的质量相当。表5列出了校准参数值，而表6列出了所有测量条件下的伐木条件。在这种情况下，我们观察到在QUS假定的风险中性度量下，第二个因素违反了Feller条件，而对于QJPY度量，该条件是通过的。相反，对于Qeur，我们观察到该条件最初是通过的，然后从4月22日开始，我们多次违反。我们分析的总体结果表明，市场受制于我们可以称之为经典风险中性定价方法和更普遍的现实世界定价方法之间的定价机制转换。这一特点显然将为引入能够适应两种估值框架的模型提供强大的动力，如我们提出的四分之二类型规范。6长期零息票债券的定价和对冲在上一节中，我们获得了一个典型的市场数据校准，该校准显示了在风险中性和更一般的基准方法下定价的共存性。

在本节中，我们采用给定的校准值，并考虑在4/2模型下对冲未定权益的问题。我们从第6.1小节开始，提供二次套期保值的必要背景，尤其是基准风险最小化。我们将注意力限制在一个非常简单的应急目标上，即零息票债券，它是年金和许多其他保险产品的核心组成部分。这样一个实验很简单，但在显示基准方法如何允许以较低的成本对冲或有债权方面非常强大。hedgingscheme的构造需要对所考虑的索赔进行鞅表示，其中初始价格表示策略价值的起点。在第6.2小节中，我们分析了零息票债券的估值公式，并从分析角度明确强调了鞅性质失效的后果。最后，在第6.3小节中，我们明确计算了DynamicEdging方案。6.1基准风险最小化4/2模型是一种随机波动率模型。因此，由于瞬时波动性不确定性的存在，我们有一个不完全市场的例子。在不完全市场环境中对冲索赔是一项非常重要的任务，可以通过不同的可能标准来执行。不完全性意味着，一般来说，不可能构建一种在到期时几乎可以肯定提供最终回报的自我融资交易策略。根据Schweizer（2001）的调查报告，在不完全的市场环境中，可以从两个方向放松对可能交易策略家族的要求：1。

第一种可能性是放宽策略终值过程达到最终支付（T）A.s.的要求，因此，在一套合适的自融资交易策略上，可以将到期时的预期二次hedging误差降至最低。第一种方法被称为平均方差套期保值，在Bouleau和Lamberton（1989）、Du ffe和Richardson（1991）和Schweizer（1994）中有介绍。2.或者，你可以放松自我融资要求，坚持在T.T.时达到H（T）a.s。在第二种情况下，我们会将（非自我融资）交易策略的成本过程的二次函数最小化。第二种方法，称为局部风险最小化，在F¨ollmer和Sondermann（1986）中引入，然后在Schweizer（1991）中在一般半鞅设置中推广，假设存在最小等价鞅测度；另见Moller（2001年）。本文采用某种局部风险最小化方法。必须强调的是，我们需要在基准方法的背景下考虑局部风险最小化的广义概念。Biagini等人（2014年）首次对此进行了概括。在本论文中，我们采用了Du和Platen（2016）的更一般的方法，即所谓的基准风险最小化，它不需要二阶矩条件。在第2节中，我们介绍了自我融资交易策略的概念。我们需要概括我们的符号，因为我们一般也会考虑非自我融资的交易策略。为此，根据Du和Platen（2016）的定义2.1，我们将动态交易策略称为att=0，形式为v=nv（t）的RN+1值过程=η（t），θ（t），θN（t）>, 0≤ t型≤ T≤“Tofora可预测BB可积过程”=θ（t）=（θ（t）。

，θN（t）），0≤ t型≤ T≤\'\'T, 它描述了投资于基准主要证券账户SBB的单位，并构成关联投资组合的自我融资部分。相应的基准值过程为BVV=θ（t）>bB（t）+η（t），其中η=η（t），0≤ t型≤ T≤\'\'Tη（0）=0监控非自融资部分，因此我们可以编写EBVv（t）=bVv（0）+Ztθ（s）>dbB（s）+η（t）。过程η监控额外资本的流入/流出，从而衡量战略成本，参见Du和Platen（2016）中的推论4.2。当监控过程是局部鞅时，我们说策略v是平均自我融资，参见Du和Platen（2016）中的定义4.4。此外，当监控部分η与主要证券账户正交时，在η（t）bB（t）形成向量局部鞅的意义上，我们说交易策略v具有正交基准盈亏，参见Du和Platen（2016）中的定义5.1。考虑到VbH（T），所有平均自我融资交易策略的集合，这些策略提供了最终基准回报bH（T）P-a.s.，具有正交基准收益和损失，请参见Du和Platen（2016）中的定义5.2，我们认为∈ VbH（T）是风险最小化的基准，如果对于所有策略v∈ VbH（T），我们有thatbVev（T）≤bVv（t）P-a.s.每0≤ t型≤ T≤参见Du和Platen（2016）中的定义5.3。基准风险最小化概念的实际应用需要对基准未定权益提供可分割表示，这将在真实世界概率测度P下给出。