欧洲和美国期权定价的降阶模型

尤其是RutdiageUλ最大值-Cwk+1r，0U=nλXi=1Kimax-Cwk+1ri、 0个, （29）式中Ki=UTdiagheUλi：，iU andheUλi：，i指Uλ的第i列。矩阵Ki可以一次性计算，而最大-Cwk+1ri、 0个从C开始，可以高效地在线计算∈ Rnλ×ndoes不与全阶模型的s iz EO成比例。尽管这种直接的DEIM实现成功地降低了ROM的计算复杂性，但由于DEIM不强制执行非负性，这种方法无法产生准确的价格预测。即使基Uλ先验地构造为非负的，例如使用NNMF，也不能保证非负性，因为Uλ=Uλ（PTUλ）-1不保证为非负。一种可能的补救方法是使用DEIM的非负变化，称为NNDEIM【48】。另一个remedy涉及构造非负基s的一个单贪婪过程[37]。在这项工作中，我们介绍了一种不需要计算拉格朗日乘子的非负基的替代方法。我们提出的方法基于这样一个事实，即精确的冰预测不一定需要拉格朗日乘数的精确近似。特别是，要求Uλhr≈ ma x-Uwk+1r，0可能不必要。这在减少结构接触问题的实践中得到了观察【38】。本文中总结的数值实验表明，使用二元矩阵P作为拉格朗日乘子的基础，对于所有考虑的复制和预测模拟都表现得非常好。通过这种近似，简化了降阶模型。特别是，当Uλ=P，eUλ=P时，因此，乘积utdiag最大值-Uwk+1r，0式（24）中的U由相对简单的乘积CTdiag近似最大值-Cwk+1r，0C

因此，theROM的最终形式如下Ar+εCTdiag最大值-Cwk+1r，0Cwk+1r=rk+1r，（30），其中Ar=UTAU，rr=UTr。方程（30）中的所有组件都与降阶模型的大小成比例。最后，为了构造选择矩阵P，使用了用于选择插值指数的标准DEIM alg算法【31】。然而，在我们的prop-osedapproach中，DEIM算法被应用于m⊙U： ，i，对于i=1，2，n、 其中m∈ {0，1}N×1是一个二进制掩码向量。ma skvector m的非ze ro元素对应于快照中至少发生过一次早期锻炼的元素，即元素j，使得Uj，i≤ 0表示任何i。二进制ma sk向量确保与近似的非线性函数一致，即max-Uwk+1r，0.4、数值实验本文所考虑的所有数值示例均为欧洲看跌期权和美国看跌期权定价，执行价格K=100，到期日T=0.5。只有在货币方面才考虑期权，也就是说，在s=Kis时寻求的u的价值。在随机波动率模型下，u值以瞬时方差v=θ计算。全阶模型采用二次重新定义的空间网格进行离散化，类似于[49]中FDNU方法采用的网格。s网格由si=h定义iαNs- 1.iαNs- 1.+ 1iK，i=0，1，nα=。对于随机波动率模型，方差网格由vj定义=jNv公司vmax，其中vmax=1。统一时间步长由下式给出τ=NτT。在实验中，空间和时间步数被选择为Ns=128、Nv=64和Nτ=32。在这种选择和所采用的参数范围内，绝对离散误差约为10-2或更少。对于美式期权，迭代将惩罚参数ε减少为五个值10-1、10-2、10-3、10-4和10-5.

这是美式选项运行时间更长的主要原因。快照矩阵X由所有向量wk、k=1、2、…、，Nτ，在所有训练跑中。对于这些训练运行，每个模型参数在其极值处以及它们之间的中点处进行采样。因此，对于两个、五个和八个mo de l参数，分别有3=9、3=243和3=6561次训练。在预测ROM模拟中，每个参数都有两个值，即训练中使用的值之间的中点值。因此，对于两个、五个和八个模型参数，分别有2=4、3=32和=256个预测运行。选择n和nλ的两个约化基givenby的大小相同。测量误差是降阶模型和全阶模型给出的价格之间的绝对差异。图1-4所示的所有误差都是为预测模拟计算的。也就是说，对于参数未包含在用于生成ROM的训练模拟中的模拟。4.1。Black–Scholes模型Black–Scholes模型的模型参数在以下范围内变化：（r，σs）∈ [0.0 25，0.035]×[0.35，0.45]。（31）欧洲和美国期权的价格大致在[8.91、11.94]和[9.06、12.04]之间变化。图1显示了这些期权价格的最大和平均误差随着减少的基数n=nλ的增长而减少。4.2。

Merton模型Merton模型的模型参数在以下范围内变化：（r，σs，u，δ，γ）∈ [0.025，0.035]×[0.35，0.45]×[0.15，0.25]×[0.3，0.5]×[-0.7，-0.3]。（32）2 4 6 8 10 12 16 10-410-310-210-1100101n，nλ价格误差，绝对值（价格ROM- 价格HDM）欧洲最大误差欧洲平均误差美国最大误差美国平均误差图1：在Black-Scholes模型下，关于缩减基数sizen=nλ的误差，欧洲和美国期权的价格大致在[9.50，13.97]和[9.65，14.08]之间变化。图2显示了这些期权价格的最大和平均误差随着减少的基数n=nλ的增长而减少。4.3。Heston模型Heston模型的模型参数在以下范围内变化：（r，κ，θ，σv，ρ）∈ [0.02 5，0.035]×[3，5]×[0.35，0.45]×[0.35，0.45]×[-0.75，-0.25]。（33）欧洲和美国期权的价格大致在[8.72、11.88]和[8.87、11.98]之间变化。图3显示了这些期权价格的最大和平均误差随着减少的基数n=nλ的增长而减少。4.4。贝茨模型贝茨模型的模型参数在以下范围内变化：（r，κ，θ，σv，ρ，u，δ，γ）∈ [0.02 5，0.035]×[3，5]×[0.35，0.45]×[0.35，0.45]×[-0.75，-0.25]×[0.15，0.25]×[0.3，0.5]×[-0.7，-0.3]。（34）欧洲和美国期权的价格大致在[9.38、13.95]和[9.53、14.07]之间变化。

图4显示了2 4 6 8 10 12 14 1610的减少-410-310-210-1100101n，nlambdaPrice错误，abs（价格ROM- priceHDM）欧洲最大误差欧洲平均误差美国最大误差美国平均误差图2：在默顿模型下，与缩小的基准尺寸有关的误差n=nλ表1：用于在线计算的欧洲选项CPU时间（秒）。FOM ROMMODLE unknowns CPU time UNKNOWNENS C PU time speed upBlack–Scholes 127 0.0011 16 0.00064 1.7Merton 127 0.0022 16 0.00084 2.6Heston8255 0.16 40 0.0011 145Bates 8255 0.36 40 0.0015 240最大和平均误差这些期权的价格随缩减基尺寸的增长n=nλ。我们注意到，对于这个模型，基本上相同的误差只能通过对模型参数的极值进行2=256次训练来获得。4.5。计算速度对于所考虑的每个问题，其ROM为在线计算提供的速度因子在表1中针对欧式期权报告，在表2中针对美式期权报告。所有模型均在2.6GHz的aIntel Xeon CPU上在MATLAB中求解，所有CPU时间均通过-singleCompThread start-upoption在单个计算线程上使用tic-toc函数测量。ROM使用相同的方案和时间步长进行时间集成，以解决其相应的FOM；详见第2节。

在线速度提升是通过评估FOM的时间积分与ROM的时间积分之间的比率来计算的。5 10 15 20 25 30 35 4010-410-310-210-1100101n，nλ价格误差，绝对值（价格ROM- priceHDM）欧洲最大误差欧洲平均误差美国最大误差美国平均误差图3：在赫斯顿模型下，关于缩小的基准尺寸n=nλ的误差表2：美国选项在线计算的CPU时间（秒）。FOM ROMModel未知CPU时间未知C PU时间加速缺位–Scholes 127 0.026 16 0.025 1.0 Erton127 0.027 16 0.026 1.0Heston 8255 7.9 40 0.034 232状态8255 8.0 40 0.034 2355。结论在跳跃扩散和随机波动模型下，构建了欧式和美式期权定价的减序模型（ROMs）。对于美国期权，它们基于线性互补问题的惩罚公式。有限差分离散化差分算子是使用适当正交分解得到的基进行预测的。使用离散经验插值方法选择惩罚term的网格点。在数值试验中，在给定范围内，模型参数从2个变化到8个。对于一维Black-Scholes和Mertonmodels ab out 16个ROM基向量足以达到0.1%的精度，以供考虑的美式选项使用。对于欧式选项，约8个基向量达到此精度。对于二维Heston和B ates模型，需要40个基向量才能达到与Americanoption相同的精度。对于Europeanoption，稍微少一些的基向量可以达到相同的精度。

对于这些二维模型，计算速度超过5 10 15 20 25 30 35 40 10-410-310-210-1100101n，nlambdaPrice错误，abs（价格ROM- priceHDM）欧洲最大误差欧洲平均误差美国最大误差美国平均误差图4：在贝茨模型下，当全订单模型（FOM）和ROM具有与美式选项大致相同的0.1%精度水平时，与缩减基础尺寸相关的误差n=nλ200。对于欧洲选项，贝茨模型下的FOM和ROM的解决方案分别需要0.36秒和0.0015秒。对于美式选项，二维模型的FOM和ROM的求解分别需要大约8秒和0.034秒。在一维模型中，速度可以忽略不计。特别是贝茨模式和八个参数变化的结果令人印象深刻。对于一维模型，可能对于大多数应用程序，FOMSA的速度都非常快。对于二维模型，FOM通常在计算上过于庞大，在这种情况下，建议的ROM可以使用这些模型。prop-osed ROM方法的性能与以前基于NNMF的方法非常相似。例如，在使用所提出的方法的赫斯顿模型和之前基于NNMF的方法下，使用40个基向量的最大ROMprice er ror为2.9×10-3和4.2×10-分别为3。而对于Bates-mo-de-l，使用所提出的方法和之前基于NNMF的方法，使用40个基向量的ROM价格误差最大为6.8×10-3和4.0×10-分别为3。这些ROM的一个潜在应用是根据市场数据校准模型参数。使用最小s平方校准公式，EmployingROM可以快速准确地计算不同参数s的期权价格及其灵敏度。参考文献【1】F.Black，M。

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