比例条件下逐步行使和取消的博弈期权

定义第一个za：=0，; 从图3可以清楚地看出，za/∈ Xa，导致φ：=0。选择za：=, -∈ Wathen给了thatza- φX- za=za- za公司∈ Q、 图2显示za∈ Za公司 是的。它还表明，定义φu：=andzau：=, -导线toza=φu（0，6）+（1- φu）zau，带（0，6）∈ Xuand zau∈ Vau=Wau Zauu=Yauu。因此，该策略对应于在节点u的时间1取消选项，并且在时间2保留φuu：=选项。（Y，X）买方的超边缘策略集可通过以下构造19进行计算。在时间t=2时，Zbuu={（x，x）∈ R： 14倍+10倍≥ -9} ，Zbud=Zbdu={（x，x）∈ R： 10倍+10倍≥ -4} ，Zbdd={（x，x）∈ R： 4x+x≥ 0}。-4.-9---xxoZBUBU=Zbuu∩ ZbudZbuuZbud-4.---xxozbu=zbWbuVbu=Wbu+Qu Qu的下边界-4.-6.--xxVbuXbuozbVbu∩ Xbu公司-4.-3.---xxVbu∩ XbuYbuozbZbu=conv{Vbu∩ Xbu、Ybu}图4：Wbu、Vbu、Vbu∩ Xbu，Zbu，zb，zbuThe在时间t=1时在节点u处的构造给定szbu={（x，x）∈ R： 14倍+10倍≥ -6、10倍+x≥ -4} ，如图4所示。节点d处的类似考虑导致zbd={（x，x）∈ R： 6倍+10倍≥ -}.图5展示了t=0时的构造，这导致za={（x，x）∈ R： 10倍+10倍≥ -}.与卖方的情况类似，从初始捐赠开始为买方构建一个超级边缘战略0，-πb（Y，X）包括两个步骤，即组装（ψ，zb）∈ ∧b（Y，X）使用命题22证明中的构造，然后将其转换为超边缘策略（ψ，ub）∈Φb（Y，X）遵循命题23证明中的行。让我们再次考虑场景uu的第一步。定义zb：=0，-; 那么图5显示了ZB∈ Xbbut zb/∈ Yb，导致ψ：=0。

选择zb：=-,∈ WB确保ZB- ψY- zb=zb- zb公司∈ Q-4.---ozbxxWb=Zbu∩ ZbdZbuZbd----xxWbVb=Wb+Qozbozb Q的下边界-5.---xxozbVbXbVb∩ Xb公司--xxVb∩ XbYbozbZb=conv{Vb∩ Xb，Yb}图5：Wb，Vb，Vb∩ Xb，Zb，Zb，Zb图4显示了Zb∈ Xbu；然而，zb/∈ Ybuagain导致选择ψu：=0。此外，zb∈ Wbu，所以选择zbu：=zbgiveszb- ψuYu- zbu=0∈ Qu.最后请注意，zbu∈ Zbuu=Ybuu，这导致ψuu：=1。因此，该策略对应于在节点uu上的时间2执行整个选项。7附录：定理11的证明。根据定义9，πaj（Y，X）=infx个∈ R |（φ，u）∈ Φa（Y，X）：xej=u.因此，根据命题14，πaj（Y，X）=infx个∈ R |（φ，u）∈ ∧a（Y，X）：xej=u根据命题13，πaj（Y，X）=infx个∈ R | xej∈ Za公司.因为Za是一个多面体集，所以它是闭合的。因此x个∈ R | xej∈ Za公司已关闭。它是非空的，下面有界，因为xej∈ Zafor任意x∈ 足够大，xej/∈ Zafor任意x∈ R足够小。因此，在最小值内实际上是最小值。命题13的证明。让a∈ Za。我们构造了一个混合停止时间φ∈ X及相应工艺φ*和战略z∈ ΦBY感应。首先我们把φ*:= 1和z：=a。显然，z∈ φ*Za。现在假设对于某些t=0，T-1我们已经建造了ztandφ*tsuch该zt∈ φ*萨特。因此，zt∈ φ*tYat，hencezt- φ*tYt公司∈ Qt。也就是说zt∈ φ*tconv{Vat，Xat}，因此存在λt∈ [0，1]，vt∈ Vatand xt公司∈ xat使zt=φ*t（（1- λt）vt+λtxt）。我们把φt：=φ*tλt和φ*t+1：=φ*t型- φt=φ*t（1- λt），so zt=φ*t+1vt+φtxt。自xt起∈ XA和VT∈ 增值税，紧随其后的是xt- Xt公司∈ QT，有zt+1∈ φ*t+1wat，使φ*t+1vt- zt+1∈ Qt。因此，zt- φtXt- zt+1=φ*t+1vt+φtxt- φtXt- zt+1=φ*t+1vt- zt+1+φt（xt- Xt）∈ Qt。自Wat起 Zat+1，也就是zt+1∈ φ*t+1Zat+1。

最后，考虑到ZT∈ φ*TZaT，我们得到zT∈ φ*TYaT，so zT- φ*TYT公司∈ QT，我们把φT：=φ*T、 φ*T+1：=0和zT+1：=0。我们构造了（φ，z）∈ ∧a（Y，X）使得a=z。相反，我们取任何（φ，z）∈ ∧a（Y，X），并表示z∈ Za。更一般地，我们将通过反向归纳法表明，对于每个t=0，坦桑尼亚先令∈φ*tZaton{φ*t> 0}Qton{φ*t=0}。（10） 自zT起- φ*TYT=zT- φTYT∈ QT之后是zt∈ φ*TYT+QT=φ*泰顿{φ*T> 0}QTon{φ*T=0}=φ*TZaTon{φ*T> 0}QTon{φ*T=0}。接下来，假设（10）对于一些t=1，…，成立，T由于z是可预测的，因此zt∈ Lt公司-1，sozt∈φ*t（Zat∩ Lt公司-1） 关于{φ*t> 0}Qt∩ Lt公司-1on{φ*t=0}φ*tWat公司-1on{φ*t> 0}Qt-1on{φ*t=0}。因此，使用ZT-1.- φt-1Xt-1.- zt公司∈ Qt-1、我们获得ZT-1.- φt-1Xt-1.∈ zt+Qt-1.φ*tWat公司-1+夸脱-1on{φ*t> 0}Qt-1+夸脱-1on{φ*t=0}=φ*tVat公司-1on{φ*t> 0}Qt-1on{φ*t=0}。接下来是ZT-1.∈φt-1Xt-1+φ*tVat公司-1on{φ*t> 0}φt-1Xt-1+夸脱-1on{φ*t=0}=φ*tVat公司-1+φt-1Xat-1on{φ*t> 0}φt-1Xat-1on{φ*t=0，φt-1> 0}Qt-1on{φ*t=0，φt-1=0}=φ*tVat公司-1+φt-1Xat-1on{φ*t型-1> 0}Qt-1on{φ*t型-1=0}φ*tconv公司大桶-1，Xat-1.关于{φ*t型-1> 0}Qt-1on{φ*t型-1=0}。此外，sice zt-1.- φ*t型-1年期-1.∈ Qt-1，下面是ZT-1.∈ φ*t型-1年期-1+夸脱-1个=φ*泰特-1on{φ*t型-1> 0}Qt-1on{φ*t型-1=0}。因此，zt-1.∈φ*tconv公司大桶-1，Xat-1.∩ φ*泰特-1on{φ*t型-1> 0}Qt-1on{φ*t型-1=0}=φ*tZat公司-1on{φ*t型-1> 0}Qt-1on{φ*t型-1=0}，这就完成了证明。命题14的证明。假设（φ，z）∈ ∧a（Y，X）。然后，对于每一个=0，T- 1zt- φtXt- zt+1∈ Qt，因此有一个清算策略ytt+1，ytT+1从zt开始- φtYt- 时间t时zt+1。为了便于记法，我们还将yTT+1：=0。此外，zt- φ*tYt公司∈ QT对于每个t=0，T、 所以有一个清算策略xtt+1，xtT+1从zt开始-φ*每个ψ的时间t∈ X我们计算uψ：=z，uψt：=ψ*tzt+t-1Xs=0ψ*s+1系统+t-1Xs=0ψsxst对于t=1。

，T+1。这定义了u:X→ Φ，满足非预期条件（7）。此外，对于每个ψ∈ X，对于每个t=0，T，uψT- Gφ，ψt- uψt+1=ψ*tzt+t-1Xs=0ψ*s+1系统+t-1Xs=0ψsxst- ψtφ*tYt公司- ψ*t+1φtXt- ψ*t+1zt+1-tXs=0ψ*s+1yst+1-tXs=0ψsxst+1=ψ*t+1zt公司- φtXt- zt+1- 年初至今+1+ ψtzt公司- φ*tYt公司- xtt+1+t型-1Xs=0ψ*s+1yst公司- yst+1+t型-1Xs=0ψsxst公司- xst+1∈ ψ*t+1Kt+ψtKt+t-1Xs=0ψ*s+1Kt+t-1Xs=0ψsKt 千吨级。这意味着（φ，u）∈ Φa（Y，X），z=u。相反，假设（φ，u）∈ Φa（Y，X）。然后我们计算z：=uχT。因此，对于每个T=0，T- 1zt- φtXt- zt+1=uχTt+Gφ，χTt- uχTt+1∈ 千吨级 QtsinceGφ，χTt=χTtφ*tYt+χT*t+1φtXt=φtXt。接下来，取任意t=0，T然后，对于每个s=0，…，χTs=χTs=0，t型- 1，因为u满足非预期条件（7），所以我们有zt=uχTt=uχTt。因为χtt=1，所以χt*t+1=0和gφ，χtt=χttφ*tYt+χt*t+1φtXt=φ*tYt，意思是ZT- φ*tYt公司- uχtt+1=uχtt+Gφ，χtt- uχtt+1∈ 千吨级 Qt。（11） 此外，对于每个s=t+1，我们有χts=χT*s+1=0和Gφ，χts=χtsφ*系统+χt*s+1φtXt=0，henceuχts- uχts+1=uχts+Gφ，χts- uχts+1∈ 堪萨斯州 Qs。我们可以通过反向归纳法验证uχts+1∈ qs对于每个s=t，T很明显，uχtT+1=0∈ QT。现在假设uχts+1∈ qs对于某些s=t+1，T因此，uχts=（uχts- uχts+1）+uχts+1∈ Qs+Qs=Qs。根据可预测性，uχts∈ Ls公司-1，所以我们可以得出uχts∈ Qs公司∩ Ls公司-1. Qs公司-1完成了反向归纳论证。特别是，我们已经证明uχtt+1∈ Qt。与（11）一起，这表明ZT- φ*tYt公司∈ QT对于每个t=0，T因此，（φ，z）∈ ∧a（Y，X），z=u，完成证明。引理15的证明。取任意u∈ Φ使得（φ，u）∈ Φa（Y，X）。ObservethatQφ，t=Qφ，χt=TXs=0TXu=0φsχtuQs，u=TXs=0φs{s≥t} Yt+TXs=0φs{s<t}Xs=φ*tYt+t-1Xs=0φsx，定义z:X→ Φ使得zψt：=uψt+ψ*tt-对于任何ψ，1Xs=0φsXs（12）∈ X和任何t=0，T+1。

然后，z满足非预期条件（4），z=u，并且它也满足了支付过程为Qφ的美式期权的再平衡条件（3），因为对于任何ψ∈ X和anyt=0，Tzψt- ψtQφ，t- zψt+1=uψt+ψ*tt-1Xs=0φsXs！- ψtφ*tYt+t-1Xs=0φsXs！-uψt+1+ψ*t+1tXs=0φsXs！=uψt- ψtφ*tYt公司- ψ*t+1φtXt- uψt+1=uψt- Gφ，ψt- uψt+1∈ 千吨级。相反，取任意z∈ ψa（Qφ，·）和定义u:X→ Φ使得uψt：=zψt- ψ*tt-对于任何ψ，1Xs=0φsxsf∈ X和任何t=0，T+1。然后u满足非预期条件（7），u=z，uψt- Gφ，ψt- uψt+1=zψt- ψ*tt-1Xs=0φsXs！-ψtφ*tYt+ψ*t+1φtXt-zψt+1- ψ*t+1tXs=0φsXs！=zψt- ψtφ*tYt+t-1Xs=0φsXs！- zψt+1=zψt- ψtQφ，t- zψt+1∈ KT表示任意ψ∈ X和任何t=0，所以再平衡条件（6）成立。引理如下，因为（12）定义了战略之间的一对一映射∈ ψa（Qφ，·）和策略u，使得（φ，u）∈ Φa（Y，X），u=z。定理16的证明。根据定义9，πaj（Y，X）=infx个∈ R |（φ，u）∈ Φa（Y，X）：xej=u. （13） 根据定理11，πaj（Y，X）ej∈ Za。因此，根据命题13，存在a（φ，z）∈∧a（Y，X），使得πaj（Y，X）ej=z。根据命题14，有isa（φ，u）∈ Φa（Y，X）使得πaj（Y，X）ej=u，因此（13）中的最大值实际上是最小值，πaj（Y，X）=minx个∈ R |（φ，u）∈ Φa（Y，X）：xej=u.因此，根据引理15和定义3，πaj（Y，X）=minx个∈ R |φ∈ χz∈ ψa（Qφ，·）：xej=z= 最小φ∈χinfx个∈ R|z∈ ψa（Qφ，·）：xej=z= 最小φ∈χpaj（Qφ，·），其中paj（Qφ，·）是美式期权的卖方价格，具有逐步行使和支付过程Qφ，·，可表示为aPaj（Qφ，·）=maxψ∈Xmax（Q，S）∈根据定理4得出的Pdj（ψ）EQ（（Qφ，·S）ψ）。因此πaj（Y，X）=minφ∈Xmaxψ∈Xmax（Q，S）∈(R)Pdj（ψ）EQ（（Qφ，·S）ψ），完成证明。定理20的证明。

使用定义18和命题22和23，我们得到πbj（Y，X）=sup-x个∈ R |（ψ，u）∈ Φb（Y，X）：xej=u= sup公司-x个∈ R |（ψ，u）∈ ∧b（Y，X）：xej=u= sup公司-x个∈ R | xej∈ Zb公司.作为多面体集，Zbis是闭合的，因此-x个∈ R | xej∈ Zb公司已关闭。此外-x个∈ R | xej∈ Zb公司是非空的，并且上面有界，因为xej∈ ZB用于任意x∈ R足够大且xej/∈ ZB用于任意x∈ R足够小，所以supremum实际上是一个最大值。命题22的证明。让a∈ Zb。我们构造了一个混合停止时间ψ∈ X和a策略z∈ Φ通过感应。首先我们把ψ*:= 1和z：=a。显然，z∈ ψ*Zb。接下来，假设zt∈ ψ*tzbt对于某些t=0，T- 1、然后zt∈ ψ*tconv{Vbt∩ Xbt，Ybt}，所以存在λt∈ [0，1]，vt∈ Vbt公司∩ Xbtandyt公司∈ Ybtsuch，zt=ψ*t（（1- λt）vt+λtyt）。我们把ψt：=ψ*tλt，然后ψ*t+1：=ψ*t型- ψt=ψ*t（1- λt），so zt=ψ*t+1vt+ψtyt。因为vt∈ Xbtandyt公司∈ Ybt，我们有vt+Xt∈ QT和yt+yt∈ Qt。因此zt+ψtYt+ψ*t+1Xt=ψ*t+1vt+ψtyt+ψtyt+ψ*t+1Xt=ψ*t+1（vt+Xt）+ψt（yt+yt）∈ ψ*t+1Qt+ψtQt Qt。自vt以来∈ Vbt，有一个zt+1∈ ψ*t+1Wbtsuch thatψ*t+1vt-zt+1∈ Qt。下面是zt+ψtYt- zt+1=ψ*t+1vt+ψtyt+ψtyt- zt+1=（ψ*t+1vt- zt+1）+ψt（yt+yt）∈ Qt。自Wbt以来 zt+1，也就是zt+1∈ ψ*t+1 zbt+1。最后，考虑到ZT∈ ψ*TZbT=ψ*我们得到zT+ψTYT=zT+ψ*TYT公司∈ QT。Puting和ψT：=ψ*T、 ψ*T+1：=0和zT+1：=0，我们得到zT+ψTYT+ψ*T+1XT∈ QT。我们构造了（ψ，z）∈ ∧b（Y，X）使得a=z。相反，我们取任何（ψ，z）∈ ∧b（Y，X），并且要显示z∈ Zb。这是以下事实的结果，这将由后向诱导证明：对于每个t=0，坦桑尼亚先令∈ψ*tZbton{ψ*t> 0}Qton{ψ*t=0}。（14） 我们从t=t开始证明。自zT+ψ*TYT=zT+ψTYT+ψ*T+1XT∈ QT，它遵循indeedzT∈ -ψ*TYT+QT=ψ*TYbTon{ψ*T> 0}QTon{ψ*T=0}=ψ*TZbTon{ψ*T> 0}QTon{ψ*T=0}。接下来，假设（14）对于一些t=1，…，成立，T

由于z是可预测的，因此zt∈ Lt公司-1，sozt∈ψ*t（Zbt∩ Lt公司-1） 关于{ψ*t> 0}Qt∩ Lt公司-1on{ψ*t=0}ψ*tWbt公司-1on{ψ*t> 0}Qt-1on{ψ*t=0}。因此，使用ZT-1+ψt-1年期-1.- zt公司∈ Qt-1、我们获得ZT-1+ψt-1年期-1.∈ zt+Qt-1.ψ*tWbt公司-1+夸脱-1on{ψ*t> 0}Qt-1+夸脱-1on{ψ*t=0}=ψ*tVbt-1on{ψ*t> 0}Qt-1on{ψ*t=0}。此外，自-1+ψt-1年期-1+ψ*tXt文件-1.∈ Qt-1、我们获得ZT-1+ψt-1年期-1.∈ Qt-1.- ψ*tXt文件-1个=ψ*tXbt-1on{ψ*t> 0}Qt-1on{ψ*t=0}。接下来是ZT-1+ψt-1年期-1.∈ψ*t（Vbt-1.∩ Xbt公司-1） 关于{ψ*t> 0}Qt-1on{ψ*t=0}，和sozt-1.∈ψ*t（Vbt-1.∩ Xbt公司-1） +ψt-1年期-1on{ψ*t> 0}Qt-1+ψt-1年期-1on{ψ*t=0}ψ*t（Vbt-1.∩ Xbt公司-1） +ψt-1Ybt-1on{ψ*t> 0}Qt-1+ψt-1Ybt-1on{ψ*t=0}=ψ*t（Vbt-1.∩ Xbt公司-1） +ψt-1Ybt-1on{ψ*t> 0}ψt-1Ybt-1on{ψ*t=0，ψ*t型-1> 0}Qt-1on{ψ*t型-1=0}=ψ*t（Vbt-1.∩ Xbt公司-1） +ψt-1Ybt-1on{ψ*t型-1> 0}Qt-1on{ψ*t型-1=0}ψ*t型-1 CONV公司Vbt公司-1.∩ Xbt公司-1、Ybt-1.关于{ψ*t型-1> 0}Qt-1on{ψ*t型-1=0}=ψ*t型-1Zbt-1on{ψ*t型-1> 0}Qt-1on{ψ*t型-1=0}，这就完成了证明。命题23的证明。假设（ψ，z）∈ ∧b（Y，X）。然后，对于每一个=0，T- 1，zt+ψtYt- zt+1∈ Qt，因此有一个清算策略ytt+1，ytT+1从zt+ψtYt开始- 时间t时zt+1。为了便于记法，我们还将yTT+1：=0。此外，zt+ψtYt+ψ*t+1Xt∈ QT对于每个t=0，T、 所以有一个清算策略xtt+1，xtT+1从zt+ψtYt+ψ开始*每个φ的t+1xt时间t∈ X we putuφ：=z，uφt：=φ*tzt+t-1Xs=0φ*s+1系统+t-1Xs=0φsxst，对于t=1，T+1。这定义了u:X→ Φ，满足非预期条件（9）。此外，对于每个ψ∈ X，对于每个t=0。

，Tuφt+Gφ，ψt- uφt+1=φ*tzt+t-1Xs=0φ*s+1系统+t-1Xs=0φsxst+ψtφ*tYt+ψ*t+1φtXt- φ*t+1zt+1-tXs=0φ*s+1yst+1-tXs=0φsxst+1=φ*t+1zt+ψtYt- zt+1- 年初至今+1+ φtzt+ψtYt+ψ*t+1Xt- xtt+1+t型-1Xs=0φ*s+1yst公司- yst+1+t型-1Xs=0φsxst公司- xst+1∈ φ*t+1Kt+φtKt+t-1Xs=0φ*s+1Kt+t-1Xs=0φsKt 千吨级。这意味着（ψ，u）∈ Φb（Y，X），z=u。相反，假设（ψ，u）∈ Φb（Y，X）。然后我们计算z：=uχT。因此，对于每个T=0，T- 1zt+ψtYt- zt+1=uχTt- GχT，ψT- uχTt+1∈ 千吨级 QtsinceGχT，ψT=ψTχT*tYt+ψ*t+1χTtXt=ψtYt。接下来，取任意t=0，T然后，对于每个s=0，…，χTs=χTs=0，t型- 1，因为u满足非预期条件（9），所以我们有zt=uχTt=uχTt。因为χtt=χt*t=1和gχt，ψt=ψtχt*tYt+ψ*t+1χttXt=ψtYt+ψ*t+1Xt，表示zt+ψtYt+ψ*t+1Xt- uχtt+1=uχtt+Gχt，ψt- uχtt+1∈ 千吨级 Qt。（15） 此外，对于每个s=t+1，我们有χts=χT*s=0和Gχt，ss=ψsχt*sYs+ψ*s+1χtsXs=0，henceuχts- uχts+1=uχts+Gχt，ψs- uχts+1∈ 堪萨斯州 Qs。我们可以通过反向归纳法验证uχts+1∈ qs对于每个s=t，T很明显，uχtT+1=0∈ QT。现在假设uχts+1∈ qs对于某些s=t+1，T因此，uχts=（uχts- uχts+1）+uχts+1∈ Qs+Qs=Qs。根据可预测性，uχts∈ Ls公司-1，所以我们可以得出uχts∈ Qs公司∩ Ls公司-1. Qs公司-1完成了反向归纳论证。特别是，我们已经证明uχtt+1∈ Qt。与（15）一起，这表明zt+ψtYt+ψ*t+1Xt∈ QT对于每个t=0，T因此，（ψ，z）∈ ∧b（Y，X），z=u，完成证明。引理24的证明。观察任何ψ∈ XQt，ψ=Qχt，ψ=TXu=0TXs=0χtuψsQu，s=TXs=0ψs{t≥s} Ys+1{t<s}Xt=tXs=0ψsYs+ψ*t+1Xt。现在接受任何u∈ Φ使得（ψ，u）∈ Φb（Y，X）和定义z:X→ Φsuchthatzφt：=uφt- φ*tt-对于任何φ，1Xs=0ψsYs（16）∈ X和任何t=0，T+1。

然后，z满足非预期条件（4），z=u，并且它还满足支付过程为z=Q·，ψ的美国期权的再平衡条件（3），因为对于任何t=0，Tzφt+φtQt，ψ- zφt+1=uφt- φ*tt-1Xs=0ψsYs！+φttXs=0ψsYs+ψ*t+1Xt！-uφt+1- φ*t+1tXs=0ψsYs！=uφt+ψtφ*tYt+ψ*t+1φtXt- uφt+1=uφt+Gφ，ψt- uφt+1∈ 千吨级。相反，取任意z∈ ψa(-Q·，ψ）和定义u:X→ Φ使得uφt：=zφt+φ*tt-对于任何φ，1Xs=0ψsys∈ X和任何t=0，T+1。然后u满足非预期条件（9），u=z，uφt+Gφ，ψt- uφt+1=zφt+φ*tt-1Xs=0ψsYs+ψtφ*tYt+ψ*t+1φtXt-zφt+1+φ*t+1tXs=0ψsYs！=zφt+φttXs=0ψsYs+ψ*t+1Xt！- zφt+1=zφt+φtQt，ψ- zφt+1∈ KT适用于任意φ∈ X和任何t=0，T，即再平衡条件（8）成立。引理如下，因为（16）定义了战略之间的一对一映射∈ ψa(-Q·，ψ）和策略u使得（ψ，u）∈ Φb（Y，X），u=z。定理25的证明。根据定义18，πbj（Y，X）=sup-x个∈ R |（ψ，u）∈ Φb（Y，X）：xej=u. （17） 根据定理20，-πbj（Y，X）ej∈ Zb。因此，根据命题22，存在a（ψ，z）∈ ∧b（Y，X），使得-πbj（Y，X）ej=z，因此，根据命题23，有一个（ψ，u）∈ Φb（Y，X）使得-πbj（Y，X）ej=u。因此，得到（17）中的supremum，πbj（Y，X）=max-x个∈ R |（ψ，u）∈ Φb（Y，X）：xej=u= - 最小值x个∈ R |（ψ，u）∈ Φb（Y，X）：xej=u.因此，根据Lemma24和定义3，πbj（Y，X）=- 最小值x个∈ R |ψ∈ 十、z∈ ψa(-Q·，ψ）：xej=z= - 最小ψ∈Xinf公司x个∈ R |z∈ ψa(-Q·，ψ）：xej=z= - 最小ψ∈Xpaj公司(-Q·，ψ），其中paj(-Q·，ψ）=infx个∈ R |z∈ ψa(-Q·，ψ）：xej=z美式期权的卖方价格是否处于逐步行使和支付过程中-Q·，ψ。

根据理论4，paj(-Q·，ψ）=最大φ∈Xmax（Q，S）∈(R)Pdj（φ）等式((-Q·，ψ·S）φ），soπbj（Y，X）=- 最小ψ∈Xpaj公司(-Q·，ψ）=- 最小ψ∈Xmaxφ∈Xmax（Q，S）∈(R)Pdj（φ）等式((-Q·，ψ·S）φ）=最大ψ∈Xminφ∈Xmin（Q，S）∈(R)Pdj（φ）EQ（（Q·，ψ·S）φ）。理论25已被证明。参考文献[BaxCha77]Baxter，S.和Chacon，R.，《停车时间的紧凑性》，Zeitschrift f¨ur Wahrscheinlichkeittheorie und verwandte Gebiete40（1977）169–181。【Ben92】Bensaid，B.、Lesne，J.、Pag\'es，H.和Scheinkman，J.，《带交易成本的衍生资产定价》，数学金融2（1992）63–86。【Bie08】Bielecki，T.R.、Cr'epey，S.、Jeanblanc，M.和Rutkowski，M.，《可转换债券违约博弈期权套利定价》，量化金融8（8）（2008）795–810。【BouTem05】Bouchard，B.和Temam，E.《离散时间市场中具有比例交易成本的美式期权套期》，概率电子期刊10（2005）746–760。【BoyVor92】Boyle，P.和Vorst，T.，《离散时间内具有交易成本的期权复制》，J.Finance 47（1992）271–293。【ChaJha01】Chalasani，P.和Jha，S.，《随机停止时间和带交易成本的美式期权定价》，数学金融11（1）（2001）33–77。【ChPaSh08】Chen，G.-Y.，Palmer，K.和Sheu，Y.-C.，具有交易成本的Boyle-Vorst模型中成本最低的超级复制投资组合，实习生。J、 理论。应用程序。《金融》11（2008）55–85。【DerRoc91】Dermody，J.C.和Rockafellar，R.T.，《面对交易成本和税收的现金流估值》，数学金融1（1991）31–54。【Dol13】Dolinsky，Y.，《存在交易成本的博弈期权对冲》，《应用概率年鉴》23（6）（2013）2212–2237。【EdNaUp93】Edrisinghe，C.、Naik，V.和Uppal，R.，《具有交易成本和交易限制的期权的最佳复制》，J.Fin。数量。肛门。