比例条件下逐步行使和取消的博弈期权

（5） 差异Xt- YT可被视为卖方在取消期权时支付的违约金。我们将此类期权称为即时行使和取消的游戏（或以色列）期权，以区别于下文所述的渐进行使和取消期权。在目前的工作中，我们允许买方和卖方分别自由行使或根据混合停止时间逐步取消期权。如果买方选择混合停车时间ψ∈ X作为练习时间，卖方选择混合停车时间φ∈ X为取消时间，然后在每个交易日t=0，T买方将首先行使部分ψT/ψ*tof选项中的当前位置，然后卖方将取消分数φt/φ*tof选项中的剩余位置，其中ψ*tandφ*taregiven by（2）。再次强调，锻炼比取消更重要。在这些情况下，从ψ的初始位置开始*φ*= 1选项在0时，我们将通过归纳法证明ψ*tφ*t如果在时间t之前不会执行或取消该选项，则对于每个t=0，T这意味着ψt/ψ*tof当前位置ψ*tφ*t、 即，（ψt/ψ）*t） ψ*tφ*t=ψtφ*如果买方有优先权行使，则期权将在t行使。选项中的剩余位置将为ψ*tφ*t型- ψtφ*t=（ψ*t型- ψt）φ*t=ψ*t+1φ*t、 因此（φt/φ*t） ψ*t+1φ*t=ψ*t+1φtof卖方将在t取消该期权。总共ψtφ*t+ψ*t+1φtof由于练习器取消，期权将在t终止，剩下ψ*tφ*t型- ψtφ*t型- ψ*t+1φt=ψt+ψ*t+1φt+φ*t+1- ψtφt+φ*t+1- ψ*t+1φt=ψ*t+1φ*期权的t+1在t之前或t时既未行使也未取消，将结转至时间t+1。

这就完成了归纳。备注5最小ψ∧ 混合停车次数φψ，φ∈ X可以定义为（ψ∧ φ） t：=ψtφ*t+ψ*t+1φt对于每个t=0，T参见[Kif13b]。上述论点表明，根据混合停止时间ψ，逐步行使和取消的博弈期权将终止∧ φ。在每个交易日t=0，T，自ψTφ*tof行使期权和ψ*t+1φt如果选择权被取消，卖方将向买方交付组合φ，ψt：=ψtφ*tYt+ψ*t+1φtXt，其中Y=（Yt）Tt=0和X=（Xt）Tt=0是表征游戏选项的练习和取消过程，即满足（5）的Rd值适应过程。显然，Gφ，ψ=（Gφ，ψt）Tt=0是一个Rd值适应过程，我们将其称为博弈选项的支付过程。定义6逐步行使和取消的博弈（或以色列）期权（Y、X）是一种衍生证券，可根据混合停止时间ψ行使∈ X由买方选择或根据混合停车时间φ取消∈ X由卖方选择，买方有权接收并责成卖方交付投资组合Gφ，ψt=ψtφ*tYt+ψ*t+1φtxtone每个交易日t=0，T备注7与上述支付过程Gφ，ψt相比，Kifer[Kif13b]指的是随机变量Qφ，ψ：=TXs=0TXt=0φsψtQs，tas是根据混合停止时间φ，ψ进行练习和取消的博弈期权的“支付”∈ X，但不指定此投资组合应易手的时间。然而，此类期权的支付不应是一个单一的随机变量，而应是一个经过调整的过程，表示在每个交易日t=0，T我们观察到Qφ，ψ=TXt=0Gφ，ψt，即Qφ，ψ恰好是t=0。

T在本文中，Qφ，ψ将在不同的角色中被证明是有用的。即确定混合停车时间χt∈ 对于确定的时间t，我们将使用Qφ，χt，对于t=0，T作为逐步行使的美国期权的支付过程，并调用【RouZas14】的结果，以建立逐步行使和取消下博弈期权的卖方价格的概率表示；参见引理15和定理16。同样，在买方的情况下，我们将使用美式期权，逐步行使和支付过程-Qχt，ψ表示t=0，T参见引理24和定理25.4卖方价格和超边际策略逐步行使和取消的博弈期权（Y，X）的卖方需要对冲任何混合停止时间ψ∈ X由买方选择以执行选项。卖方可以通过以下交易策略做到这一点：uψ=（uψt）Tt=0∈ Φ，可能取决于ψ。因为uψt表示一个投资组合在时间步长t上，也就是在时间t之间-1和t，可以得出uψt可能依赖于ψ，ψt-1卖方在时间t时知晓- 1，当创建此投资组合时，但不是在（卖方）未知的值ψt，ψT。这是定义8中非预期条件（7）的原因。除了选择交易策略uψ∈ Φ，卖方可选择固定停车时间φ∈ X取消期权，并且必须能够在每个日期t=0，…，交付投资组合Gφ，ψton，不向战略中注入任何额外财富。这调整了再平衡条件（6）。定义8对于逐步行使和取消的游戏选项（Y，X），卖家的超边缘策略是一对（φ，u），其中φ∈ X和u:X→ Φ，满足再平衡条件ψ∈ 十、t=0，T:uψT- Gφ，ψt- uψt+1∈ Kt（6）与非预期条件ψ、 ψ′∈ 十、t=0。

，T:Tt-1s=0{ψs=ψ′s} {uψt=uψ′t}。（7） 这类策略的族将用Φa（Y，X）表示。最便宜的（以特定货币j表示）卖方的超边际策略会产生卖方的期权价格。定义9：卖方（或卖方）的货币价格j=1，逐步行使和取消的游戏选项（Y，X）的d定义为πaj（Y，X）：=infx个∈ R |（φ，u）∈ Φa（Y，X）：xej=u.4.1卖方定价算法以下是一组初始禀赋的迭代构造，允许卖方在博弈期权中通过逐步行使和取消来提高其地位。构造10构造适应序列Yat、Xat、Vat、Wat、Zatfor t=0，T如下所示。首先，对于所有t=0，…，putYat：=Yt+Qt，Xat：=Xt+Qt，T和wat：=增值税：=长期，ZaT：=一日。那么，对于t=t- 1.0反向感应定义WAT：=Zat+1∩ Lt，Vat：=Wat+Qt，Zat：=转换{Vat，Xat}∩ Yat，其中conv{Vat，Xat}是Vat和Xat的凸包。通过与[RouZas14]中命题5.1的证明类似的论证，可以得出所有t的Zatare多面体凸集。我们将看到，Zatare是初始禀赋的集合，允许卖方通过逐步行使和取消来超越其在博弈选项（Y，X）中的位置。一旦ZA建成，以下结果可用于获得卖方的期权价格。定理11卖方的货币价格j=1，逐步行使和取消的博弈选项（Y，X）的d可以表示为πaj（Y，X）=minx个∈ R | xej∈ Za公司.为了证明这个定理，我们引入了一个辅助族∧a（Y，X），其中的元素可以被认为是在逐步取消、即时（而非渐进）行使和延迟（而非即时）偿付能力的博弈期权中，使卖方的地位更为突出的策略。

附录第7节证明了定理和下列命题。定义1 2我们将∧a（Y，X）定义为由所有对（φ，z）组成的族，其中φ∈ X和z∈ Φ，满足条件zt- φtXt- zt+1∈ QT对于所有t=0，T- 1，zt- φ*tYt公司∈ QT对于所有t=0，T、 根据下一个命题，Za与∧a（Y，X）中策略的初始禀赋集一致。提案13Za=z∈ Rd |（φ，z）∈ ∧a（Y，X）.我们还声称∧a（Y，X）中策略的初始禀赋集与Φa（Y，X）中策略的初始禀赋集一致。提案14z∈ Rd |（φ，z）∈ ∧a（Y，X）=u∈ Rd |（φ，u）∈ Φa（Y，X）.从命题13和命题14可以看出，ZA是所有策略的初始禀赋家族，通过逐步行使和取消，使卖方在博弈期权中的地位得到了提升。这就是需要证明定理11的地方，它将卖方的价格πaj（Y，X）与Za联系起来。详细信息请参见附录第7.4.2节“卖方价格表示”在本节中，我们获得了游戏选项的卖方价格的双重表示，包括逐步行使和取消。这依赖于【RouZas14】中给出的美国期权逐步行使的类似结果；见定理4。观察，通过定义9，πaj（Y，X）=infx个∈ R |（φ，u）∈ Φa（Y，X）：xej=u= infφ∈χinfx个∈ R |u：（φ，u）∈ Φa（Y，X），xej=u.因此，根据下面的引理15和定义3，我们得到πaj（Y，X）=infφ∈χinfx个∈ R |z∈ ψa（Qφ，·）：xej=z= infφ∈χpaj（Qφ，·），其中Qφ，·=（Qφ，t）Tt=0，Qφ，t：=Qφ，χt对于t=0。

这是美式期权逐步行使的支付过程，其中paj（Qφ，·）是此类美式期权的卖方价格。任意φ引理15∈ X{u |（φ，u）∈ Φa（Y，X）}={z | z∈ ψa（Qφ，·）}，其中Qφ，·=（Qφ，t）Tt=0是美式期权的支付过程。引理在附录第7节中得到了证明。结果表明，在φ的上限内∈ χinπaj（Y，X）=infφ∈实际上，χpaj（Qφ，·）是最小值。此外，paj（Qφ，·）可以表示为定理4。这将导致以下表示。定理16卖方的货币价格j=1，逐步行使和取消的博弈选项（Y，X）的d可以表示为πaj（Y，X）=minφ∈Xmaxψ∈Xmax（Q，S）∈(R)Pdj（ψ）EQ（（Qφ，·S）ψ）。证明的详细信息可再次在附录第7.5节买方价格和超边缘策略中找到。博弈选项（Y，X）的买方将能够选择混合停止时间ψ∈ X行使期权，并可遵循交易策略uφ=（uφt）Tt=0∈ Φ，可能取决于取消时间φ∈ X由卖方选择。在每个日期t=0，T买方将接收投资组合Gφ、ψ，并可以以自我融资的方式，即在不注入任何额外财富的情况下，将战略中的当前头寸uφ重新平衡为uφT+1。买方在时间t创建的投资组合uφt- 1可能取决于卖方的扫描策略φ，φt-1超过并包括时间t- 1，但不在φt，φT，因为买方在时间T还不知道- 1、这些考虑因素导致以下定义。定义1 7对于逐步行使和取消的博弈期权（Y，X），买方的超边缘策略是一对（ψ，u），其中ψ∈ X和u:X→ Φ，满足再平衡条件φ∈ 十、t=0，T:uφT+Gφ，ψT- uφt+1∈ Kt（8）与非预期条件φ、 φ′∈ 十、t=0。

，T:Tt-1s=0{φs=φ′s} {uφt=uφ′t}。（9） 这类策略的族将用Φb（Y，X）表示。以货币j表示的博弈期权的买方价格可以理解为以该货币表示的最大金额，该金额可以针对用作担保的期权中的多头头寸筹集。具体定义如下。定义1 8买方（或投标）价格，货币j=1，逐步行使和取消的游戏选项（Y，X）的d定义为πbj（Y，X）：=sup-x个∈ R |（ψ，u）∈ Φb（Y，X）：xej=u.5.1买方定价算法众所周知，对于欧式期权，买方和卖方的超边缘和定价问题是对称的。从本质上讲，对称性包括颠倒支付符号，同时也颠倒买方和卖方的角色。因此，解决卖方的问题也可以解决买方的问题，反之亦然。然而，对于美式期权来说，这种对称性被打破了，需要分别解决买方和卖方的问题；例如，参见【RouZas14】或【RouZas16】。乍一看，在博弈期权的情况下，似乎可以恢复买卖双方之间的对称性。然而，事实上，当买方在卖方取消期权之前有优先权行使期权时，情况并非如此。改变角色将优先考虑卖方。结合条件（5），这打破了对称性，因此需要针对买方问题的特定解决方案。以下构造有助于实现这一点。构造19构造适应序列Ybt、Xbt、Vbt、Wbt、Zbtf或t=0，T如下所示。首先，putYbt：=-Yt+Qt，Xbt：=-Xt+QT对于所有t=0，T和WBT：=VbT：=LT，ZbT：=YbT。那么，对于t=t- 1.

，0反向感应定义wbt：=Zbt+1∩ Lt，Vbt：=Wbt+Qt，Zbt：=conv{Vbt∩ Xbt，Ybt}。与卖方的结构10相比，除了将支付流程Y、X替换为-十、-Y，如果买方和卖方之间存在简单的对称性就足够了，在该构造的最后一行中，相交和凸包的操作按相反的顺序进行。以下关于买方案例的结果证明与卖方的结果类似，但某些细节遵循不同的模式，以解释卖方和买方定价结构之间的差异。正如卖方的情况一样，与[RouZas14]中命题5.1的证明相同的论点表明，Zbtare多面体凸集。此外，我们将看到，ZB对买方的作用与Zado对卖方的作用类似，即它是所有初始捐赠的集合，允许期权买方超越其地位。这将导致以下结果。定理20货币j=1的买方价格，逐步行使和取消的博弈期权（Y，X）的d可以表示为πbj（Y，X）=max-x个∈ R | xej∈ Zb公司.为了证明这个定理，我们需要以下族∧b（Y，X），其中的元素可以被视为策略，通过即时（而非逐渐）取消、逐步行使和延迟（而非立即）偿付能力，在博弈期权中超越买方的地位。定义2 1我们将∧b（Y，X）定义为由所有对（ψ，z）组成的族，其中ψ∈ X和z∈ Φ，满足条件szt+ψtYt- zt+1∈ QT对于所有t=0，T- 1，zt+ψtY+ψ*t+1Xt∈ QT对于所有t=0，T、 接下来的两个结果与命题13和14相似。

首先，Zbis等于∧b（Y，X）中策略的初始禀赋集。提议22Zb=z∈ Rd |（ψ，z）∈ ∧b（Y，X）.然后显示∧b（Y，X）中策略的初始赋能集与Φb（Y，X）中策略的初始赋能集一致。提案23z∈ Rd |（ψ，z）∈ ∧b（Y，X）=u∈ Rd |（ψ，u）∈ Φb（Y，X）.这两个命题的证明见附录第7节。一旦这些结果成立，证明Zbis是Φb（Y，X）中策略的初始禀赋集，定理20如下；有关详细信息，请参见附录第7.5.2节买方价格代表。在本节中，我们通过利用与美国期权价格的链接，逐步行使和支付过程，获得了逐步行使游戏期权的买方价格代表-Q·，ψ=(-Qt，ψ）Tt=0为任何ψ定义∈ χ、 式中，qt，ψ：=Qχt，ψ表示t=0，T、 这种联系由下一个引理提供。任意ψ的引理24∈ 十、u |（ψ，u）∈ Φb（Y，X）= {z | z∈ ψa(-Q·，ψ）}，其中-Q·，ψ=(-Qt，ψ）Tt=0是美式期权的支付过程。π=π=10Y=（0，0）X=（0，5）π=π=16Y=（0，3）X=（0，6）uπ=π=14Y=X=（0，9）uuπ=π=6Y=（0，0）X=（0，3）dπ=π=4Y=X=（0，0）ddπ=π=10Y=X=（0，4）ud，du图1：借助此引理的二元两步两货币模型中的游戏选项，方式与第4.我们可以确定买方价格的以下表述。定理25货币j=1的买方价格，逐步行使和取消的博弈期权（Y，X）的d可以表示为πbj（Y，X）=maxψ∈Xminφ∈Xmin（Q，S）∈(R)Pdj（φ）EQ（（Q·，ψ·S）φ）。引理24和定理25的证明见附录第7.6节示例二元两步两货币模型中的博弈选项（Y，X）如图1所示。模型为重组模型；期权支付与路径无关，在时间2没有取消罚款。

该模型在时间1时只有节点u的交易成本。【Rou16】的第3.1条和第3.4条给出了gameoption（Y，X）的买卖价差，并以货币2 tobe【3.2，5】即时行使和取消。我们将在下文中显示（Y，X）的买卖价差（带渐变色和取消）为[πb（Y，X），πa（Y，X）]=[，]≈ [3.6667，4.6667] [3.2，5]。（实际上，（Y，X）的买卖价格可以从下面的图3和图5中的纵轴上读取。）因此，在本例中，逐步执行和取消会导致较小的买卖价差。让我们使用构造10来确定初始捐赠的集合，该集合允许卖方通过逐步行使和取消来超越（Y，X）。在-xxWau=Zauu∩ 扎乌德o扎乌祖德-WauVau=Wau+Qu Quozauxx的下边界--xxozaozauVauXauconv{Vau，Xau}--ozaxxconv{Vau，Xau}YauZau=conv{Vau，Xau∩ 图2:Wau，Vau，conv{Vau，Xau}，Zau，zautime t=2我们有ZAUU={（x，x）∈ R： 14倍+10倍≥ 9} ，Zaud=Zadu={（x，x）∈ R： 10倍+10倍≥ 4} ，Zadd={（x，x）∈ R： 4x+x≥ 0}。图2展示了节点u在时间t=1时的构造，其结果是zau={（x，x）∈ R： 14倍+10倍≥ 6，x+x≥ 6、10倍+x≥ 4} 。节点d处的类似注意事项给定d={（x，x）∈ R： 6倍+10倍≥}.t=0时的构造给出了sza={（x，x）∈ R： 10倍+10倍≥},如图3所示。卖方从初始禀赋（0，πA（Y，X））开始的超边缘策略可以通过以下类似的证明来构建：--xxozaWa=Zau∩ 扎扎乌扎德-xxozaozaWaVaVa=Wa+QxxozaVaXaconv{Va，Xa}的Qa下边界-xxozaconv{Va，Xa}YaZa=conv{Va，Xa}∩ 图3:Wa，Va，conv{Va，Xa}，Za，Za，Za组装命题13（φ，Za）∈ ∧a（Y，X），然后将其转换为a超套期保值策略（φ，ua）∈ Φa（Y，X）使用命题证明中的参数14。我们在此为场景uu说明了流程的第一部分。