突发和突发间持续时间统计作为

5（b），当脉冲群间持续时间较大时，3/2的主幂律似乎有效，但不打算接近指数1.8，指数1.8更适合fBm过程。因此，我们也能够在收益序列的宽阈值区域恢复3/2的基本定律。这意味着假设收益序列的长期依赖性可能是由一维马尔可夫过程驱动的，该过程是在异质代理融资模型中推导出来的[19，20]。前两个金融时间序列示例中的信号过滤程序有助于我们减少外源噪声ωt的影响。在回报定义的时间尺度较长的情况下  δ、 何时= ∑rδ，外部噪声集成到r中（t） 。外生噪声如何影响脉冲群和脉冲群间持续时间的PDF是一个悬而未决的问题（t） 使用适用于经验系列r的标准偏差过滤器计算（t） 。我们分析了50年内瑞士法郎/美元、丹麦克朗/美元、日元/美元、挪威克朗/美元、美元/英镑交易所的日收益率序列，并采用时间窗为10个交易日的标准差过滤器。图6显示了挪威克朗/美元dailyreturn系列的主要统计特性。图6:50年期间记录的5种汇率的整个时间序列的挪威克朗/美元过滤日收益时间序列片段（A）以及平均统计特性PDF（b）和PSD（c）。PSD（子图（c））由指数β=0.9的单一幂律近似。日序列的主要特点是PSD只有一个幂律指数β=0.9，见图6（c）。β值低于1是外部和其他频繁波动整合到每日回报中的结果。然而，也可以轻松计算为这些序列定义的脉冲群和脉冲群间持续时间的PDF。我们在图7中展示了计算为T和θ直方图的这些PDF。

虽然数据量有限，直方图是噪声，但PDF符合3/2幂律。图7:5个汇率的过滤日收益时间序列的（a）突发和（b）突发持续时间PDF。不同颜色的符号（在线颜色）表示不同的阈值：（a）h=0.3（蓝色圆圈）、0.4（绿色三角形）、0.67（红色正方形）；（b） h=1.5（蓝色圆圈）、2.5（绿色三角形）、3（红色正方形）。在这两种情况下，黑色直线都是指数为3/2.4的幂律函数讨论和结论已知金融市场中的波动性和交易活动的波动表现为1/f噪声或低衰减自相关[1-4]。很明显，这种统计特性的解释与金融系统的模型假设有关。可以从经验数据中筛选出最常见的外部波动，以揭示预期长期行为的特点[40]。从我们的观点来看，波动性和交易活动的时间序列是异质代理动力学的结果，在宏观层面上可以用福克-普朗克方程或一组SDE来描述[18-20]。由维纳噪声驱动的序数微分方程描述马尔可夫过程，通常不适用于建模长程记忆。由fBm驱动的随机过程可被视为可能的替代方案。因此，在这两种可能性之间进行选择是理解和建模金融市场的根本问题。在这里，我们为这些备选方案提出了一个可能的测试，以研究经验时间序列的突发和突发间持续时间。对于fBm过程，众所周知，第一次通过时间的PDF取决于H，p（T）~ TH公司-2【22,23】。另一方面，对于马尔可夫过程，众所周知，首次通过时间应标度为p（T）~ T-3月2日【34】。

尽管异质主体的动力学可能导致多变量统计，但当我们需要两组以上的不同主体时，有时可能会按时间尺度分离随机过程，因为不同主体组中的波动频率是相当不同的。从我们的观点来看，金融市场的情况就是这样，β值很少的PSD可以用这种假设来建模[19，20]。这里我们不想详细介绍基于代理的建模，而只想确定非线性SDE的宏观建模是否合理。脉冲群和脉冲间持续时间PDF实证研究的主要结果表明，幂律部分与指数3/2一致，这是普通SDE产生的一维随机过程（包括非线性）的特征[34]。1分钟欧元/美元收益和交易活动系列以及瑞士法郎/美元、丹麦克朗/美元、日元/美元、挪威克朗/美元、美元/英镑每日收益系列的结果得到证实。这与之前对波动率回报区间的研究一致[20]。虽然没有独立的基于代理的交易活动模型，但我们的结果证实，此类模型也应与非线性SDE的描述一致。此外，它还证实了脉冲和脉冲间持续时间的PDF符合金融市场建模中假设的交易活动和绝对回报的幂律关系【19,20】。这项实证研究的最普遍结论是，有机会通过普通非线性SDE（方程式（2））解释金融市场中所谓的长程记忆，它代表了具有非平稳增量的多重分形到随机过程。这是建模合并fBm的一个非常现实的替代方案。

对不同市场和资产的突发和突发间持续时间的进一步实证分析应大大加强和扩展这些结论。参考文献[1]R.Engle和A.Patton，“波动率模型有什么好处？”，《定量金融》，第1卷，第2期，第237-2452001页。[2] V.Plerou、P.Gopikrishnan、X.Gabax、L.Amaral和H.Stanley，“价格波动、市场活动和交易量”，《定量金融》，第1卷，第2期，第262-2692001页。[3] X.Gabaix、P.Gopikrishnan、V.Plerou和H.E.Stanley，“金融市场波动中的幂律分布理论”，《自然》，第423卷，第267-270页，2003年。[4] 《长程关联过程：理论与应用》（G.Rangarajan和M.Ding编辑），物理课堂讲稿第621卷，第十八、398页，Springer，2003年。[5] L.Giraitis、R.Leipus和D.Surgailis，“拱门建模的最新进展”，《长记忆非经济学》（G.Teyssiere和A.Kirman，编辑），第3-38页，Springer，2007年。[6] L.Giraitis、R.Leipus和D.Surgailis，“拱门(∞) 《金融时间手册》系列（T.G.Anderson、R.A.Davis、J.Kreis和T.Mikosh编辑），第71-84页，柏林：SpringServerLag，2009年。[7] C.Conrad，“双曲garch模型的非负性条件”，《计量经济学杂志》，第157卷，第441-4572010页。[8] M.E.H.Arouri、S.Hammoudeh、A.Lahiani和D.K.Nguyen，“贵金属回报和波动动力学建模中的长期记忆和结构断裂”，《经济与金融季刊》，第52卷，第207-2182012页。[9] M.Taye fi和T.V.Ramanathan，“FIGARCH和相关时间序列模型概述”，《奥地利统计杂志》，第41卷，第175-196页，2012年。[10] B.Mandelbrot和V.Ness，“分数布朗运动，分数噪声和应用”，SIAMReview，第10:422–4371968页。[11] K.Bassler，G。

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