突发和突发间持续时间统计作为

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英文标题：
《Burst and inter-burst duration statistics as empirical test of
  long-range memory in the financial markets》
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作者：
V. Gontis and A. Kononovicius
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We address the problem of long-range memory in the financial markets. There are two conceptually different ways to reproduce power-law decay of auto-correlation function: using fractional Brownian motion as well as non-linear stochastic differential equations. In this contribution we address this problem by analyzing empirical return and trading activity time series from the Forex. From the empirical time series we obtain probability density functions of burst and inter-burst duration. Our analysis reveals that the power-law exponents of the obtained probability density functions are close to $3/2$, which is a characteristic feature of the one-dimensional stochastic processes. This is in a good agreement with earlier proposed model of absolute return based on the non-linear stochastic differential equations derived from the agent-based herding model.
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中文摘要：
我们解决金融市场中的长期记忆问题。有两种在概念上不同的方法来再现自相关函数的幂律衰减：使用分数布朗运动和非线性随机微分方程。在本文中，我们通过分析外汇的经验收益率和交易活动时间序列来解决这个问题。从经验时间序列中，我们得到了突发和突发间持续时间的概率密度函数。我们的分析表明，得到的概率密度函数的幂律指数接近$3/2$，这是一维随机过程的一个特征。这与早期提出的基于基于基于主体的羊群模型导出的非线性随机微分方程的绝对收益模型非常一致。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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PDF下载：
--> Burst_and_inter-burst_duration_statistics_as_empirical_test_of_long-range_memory.pdf (544.51 KB)

2022-5-30 23:50:23 上传

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关键词：持续时间 Differential Quantitative Econophysics Applications

突发和突发间持续时间统计数据作为金融市场长距离记忆的实证检验v。Gontis，A.KononoviciusInstitute of theory Physics and Astronology，Vilnius UniversitySaul˙etekio al.3，10257 Vilnius，Lithuania Abstractwe解决金融市场中的远程存储问题。有两种概念上不同的方法可以再现自相关函数的幂律衰减：使用分数布朗运动和非线性随机微分方程。在本文中，我们通过分析外汇的经验收益率和交易活动时间序列来解决这个问题。从经验时间序列中，我们得到了突发和突发间持续时间的概率密度函数。我们的分析表明，所得到的概率密度函数的幂律指数接近3/2，这是一维随机过程的一个特征。这与早期提出的基于基于基于主体的羊群模型的非线性随机微分方程的绝对收益模型非常一致。1引言金融市场波动性和交易活动的长期记忆仍然是吸引研究人员永久关注的最系统特征之一，因为仍然存在一些模糊性。有许多工作构建了具有嵌入式长程记忆的自回归模型，如FIGARCH、LM-ARCH、FIEGARCH【5-9】。波动率和交易活动的缓慢衰减自相关是经验金融时间序列的一个特征特性【2–4】。

这种经验性质可能源于具有相关增量的真实长程记忆过程，如分馏布朗运动（fBm）[10-12]，或源于具有缓慢衰减自相关的马尔可夫过程，如具有非平稳不相关增量的随机过程[11-14]。关于这种慢化是否对应于长程记忆的争论仍在进行中，计量经济学家倾向于得出结论，一般来说，统计分析不能提供关于资产价格回报中是否存在长程记忆的明确答案【15–17】。最近，我们提出了一种基于主体的模型，其宏观动力学可以简化为托克-普朗克方程或一组随机微分方程（SDE），该模型能够精确再现绝对收益的经验概率密度函数（PDF）和功率谱密度（PSD）[18,19]以及波动收益区间的标度行为[20]。类似的非线性也可以引入GARCH（1,1）过程[21]，以恢复1/f噪声。这就提出了一个问题，即金融市场中呈现的长期记忆是否应该嵌入到模型中，或者经验性观察到的属性仅仅是非线性代理相互作用的结果。从我们的角度来看，从经验上确定哪种可能的替代方法（fBm或非平稳增量随机过程）最适合描述金融市场是一个根本问题。主要思想是利用第一次通过时间PDF对fBm的Hurst参数H的依赖性【22,23】。

这与非线性随机过程中波动率收益区间和首次通过时间的研究密切相关。在第2节中，我们为我们的实证研究提供了简短的理论背景，在第3节中，我们使用外汇的经验数据，在第4节中，我们讨论并总结了结果。2随机过程的Hurst参数和首次通过时间我们将考虑吸收边界在某个阈值水平x=h的随机过程x（t）的首次通过问题。Ding和Yang首先将fBm的问题视为首次返回时间[22]。图1：通用时间序列的示例片段。显示了三个阈值hx、通道事件ti。因此，突发持续时间T可以定义为T=T- tand突发间持续时间θ可定义为θ=t- t、 我们考虑两个不同的阈值通过事件–一个描述从上面返回阈值，另一个描述从下面返回阈值。突发持续时间是阈值以上所花费的时间序列量（从下方通过开始，到上方通过结束；T=T- tin图1）。而突发间持续时间是在阈值以下花费的时间序列量（从上方通过开始，从下方通过结束；θ=t- tin图1）。fBm的突发和内部突发持续时间的PDF一致，可以写成[22，23]p（T）~ TH公司-2.（1）这里H是定义幂律PDF H指数的Hurst参数- 2，仅当H=[31–34]时，才与其他一维马尔可夫过程的相应指数一致。

脉冲串和脉冲串间持续时间可以通过初始值xin小于阈值h的首次通过问题来确定【30】。人们普遍认为，赫斯特参数与H=的偏差表明数据中存在长距离记忆，但事实并非如此，因为一类具有非平稳增量的马尔可夫过程可以生成具有H 6=和缓慢衰减自相关的信号[11]。我们早些时候曾提议用非线性SDE对金融市场进行建模，[13、19、20、29、35]，这也属于这一类。许多其他具有非线性相互作用的基于代理的模型可以通过以下或类似形式的非线性SDE进行宏观描述[36,37]dx=η-λx2η-1dt+xηdW，（2）只有两个参数：η为噪声乘法指数，λ为幂律PDF指数。通过各种方法证明，这类SDE生成的时间序列具有平稳PDF和PSD的幂律行为[37]，p（x）~ x个-λ、 S（f）~fβ，β=1+λ- 32η- 2=2H+1。（3） 值得注意的是，这些相互关联的幂律性质是对应于SDE（2）[37]aP（ax0，t | ax，0）=P（x0，a2（η）的两点转移概率P（x0，t | x，t）的标度性质inFokker-Planck方程的直接结果-1） t | x，0）。（4） SDEs（2）类描述了具有非平稳增量的多重分形随机过程[11,12]，尽管其具有幂律自相关，但PSD（3）并不意味着具有fBm的方法等相关信号的动力学。

在这里，我们将寻找机会对经验数据进行检验，以帮助明确区分这两个具有相关和不相关增量的不同模型。这种测试的最初想法来自于第一次返回时间的PDF（1），在OFBM的情况下取决于H，以及非线性SDE的相应PDF（2），其特征是幂律指数为3/2，这对于全维马尔可夫过程来说是常见的【31–34】。在【30】中考虑了非线性SDE（2）的突发持续时间。时间T PDF的渐近行为可以用相当透明的形式p（ν）hx（T）来表示~ T-3/2，对于0<T（η）- 1） h2（η-1） xjν，1，（5）p（ν）hx（T）~特克斯普-（η）- 1） h2（η-1） xjν，1T！，对于T（η）- 1） h2（η-1） xjν，1。（6） 这里，ν=λ-2ν+12（η-1） ，jν，1是第一类贝塞尔函数的第一个零。式（6）中指数为3/2的幂律行为与一维随机过程中第一次通过时间的一般理论一致【32,34】。3爆发和爆发间持续时间的实证研究爆发和爆发间持续时间PDF的实证评估应作为对随机过程性质的测试。在fBm信号的情况下，与指数为3/2的幂律的偏差与真正的长程相关性有关。当然，我们稍后会看到，这种测试并不是那么简单，因为金融市场波动等真实过程可能比一维随机过程更复杂。我们研究了两个财务变量的突发和突发间持续时间：交易活动——选定时间窗口δ期间的市场交易数量和同一时间窗口中定义为过滤对数回报的波动率。

按照早期提出的建模思想，当交易以非线性SDE驱动的准泊松过程进行时【29,35,38】，我们将尝试从外汇高频交易序列中提取驱动随机过程的统计特性。首先，我们研究了从欧元/美元汇率高频经验数据中恢复的交易活动的性质。这些交易系列包含有关交易执行时间的信息。时间序列被合并到2000年1月至2010年10月10年期间记录的连续时间序列中，因此我们能够恢复贸易持续时间τp（i）的准泊松序列。根据模型假设[38]，这些序列由连续随机过程τ（t）驱动，事件间时间τp（i）的条件概率由随机率τp（τp（i）|τ）=τexp定义τp（i）τ. （7） 这里可以将交易活动定义为n（t）=τ（t），表现出长期依赖性，参见[29，35，38]。为了从经验数据中恢复n（t），当信号强度较低且泊松函数较大时，我们使用引入的Anscombe变换来处理图像信息【39】。我们评估了随后60秒n（t）间隔内的交易数量，在第一次Anscombe变换后应用时间窗口为10的移动平均法，然后使用精确无偏反向Anscombe变换进行恢复【39】。所涵盖的随机经验信号n（t）是我们实证研究的对象。很容易证明该信号的PSD Sn（f）具有长程依赖性，β=1.7；β=0.8，见图2（c）。图2:10年期间记录的整个时间序列的欧元/美元过滤交易活动时间序列片段（A）以及统计特性PDF（b）和PSD（c）。

PSD（c）由两个幂律近似：一个是指数β=1.7，另一个是β=0.8。当β>1和β<1时，对该结果的解释并不简单。恢复的信号同时表现为FBM和分数阶高斯噪声。信号的任何其他统计特性都可能为这个问题提供一些线索。根据公式（1），纯fBm过程应产生T和θ的PDF。赫斯特参数H的值=（β- 1） /2=0.35和突发和突发间持续时间分布的指数2- 如果将fBm假设为长程依赖模型，则应预计H=1.65。在图3中，我们展示了经验欧元/美元汇率交易活动n（T）的T和θPDF的数值结果。图3：欧元/美元过滤交易活动时间序列的（a）突发和（b）突发持续时间PDF。不同颜色的符号（在线颜色）表示不同的阈值：（a）h=0.3（蓝色圆圈）、0.4（绿色三角形）、0.67（红色正方形）；（b） h=1（蓝色圆圈）、1.5（绿色三角形）、2.5（红色正方形）。在这两种情况下，黑色直线都是指数为3/2的幂律函数。对这一结果的全面解释是一个挑战，因为经验信号非常复杂。即使我们已经成功地克服了外部噪声、泊松函数的问题，信号可能至少包含了两个随机动力学因子和日内季节性，参见【19，20】。然而，从我们的角度来看，金融市场的主要长期依赖性，即最低频率的PSD部分，必须从其他更频繁的波动中恢复。实际上，图3（a）中脉冲持续时间p（T）的PDF在指数为3/2的600s÷660000s的两阶区域内表现出幂律行为。

这仅在阈值h=0.3、0.4、0.67的较低值时才明显，其中爆发较宽，其他噪声的贡献较小。对于更高的阈值h=1、1.5、2.5，其中脉冲串间持续时间更大，3/2的主幂律对p（θ）有效，最大θ值为三个数量级，见图3（b）。因此，我们能够在从0.3到2.5的宽阈值范围内恢复3/2的基本定律。该定律是一维马尔可夫过程的一个特征，观察到的结果可能表明该过程位于贸易持续时间方程（7），[38]的准泊松函数背景下。请注意，这种长期动态可能与绝对收益动态具有相同的根，有关更多详细信息，请参见[19]。关于波动率定义为过滤收益率，我们从收益率rδ（t）时间序列的非常一般的建模开始，通过rδ（t）=lnS（t+δ）S（t）=σtωt，（8）其中S是资产价格，ω是具有零均值和单位方差的高斯噪声，如在收益序列的ARCHMODEL家族中。在基于代理的建模中【19,20】式（8）假设外部噪声ωtwi与内生波动率σtin的相互作用为一分钟量级的极短时间间隔δ。当我们对更长的时间尺度感兴趣时 >> δ、 r（t） =σrδ（t）。该模型中的波动率σ是绝对内生对数价格| p（t）|的线性函数，该绝对内生对数价格p（t）|作为双随机马尔可夫过程从异质主体的种群动力学主方程中推导而来[19]σt=b（1+a | p（t）|）。（9） 这里b将rδ（t）时间序列的标准差归一化为单位；ais是一个经验参数，用于衡量内生动力学对观测时间序列的影响。模型由等式定义。（8） 和（9），包括σ描述的基于agent的动态部分和ωt描述的外部噪声部分。

我们将尝试从外汇回报时间序列中提取内生动力学σt的统计特性。现在让我们考虑一下δ=60秒的欧元/美元收益率rδ（t）的经验时间序列。考虑到关于外部噪声ω公式（8）的一般假设，我们使用时间窗为10分钟的标准偏差过滤器对其进行过滤。图4给出了这些时间序列的统计特性。图4：欧元/美元过滤后的1分钟返回时间序列片段（A）以及10年期间记录的整个时间序列的统计特性PDF（b）和PSD（c）。PSD（c）由两个幂律近似：一个是指数β=1.4，另一个是β=0.5。收益率序列的主要统计特性与交易活动略有不同，例如，PSD的指数值为β=1.4和β=0.5。赫斯特参数H的值=（β- 1） /2=对应突发和突发间持续时间分布2的指数的0.2ths- 预计H=1.8。这意味着偏离了3/2定律，这必须在突发间隔持续时间的PDF中观察到。图5：欧元/美元过滤1分钟返回时间序列的（a）突发和（b）突发持续时间PDF。不同颜色的符号（在线颜色）表示不同的阈值：（a）h=0.3（蓝色圆圈）、0.4（绿色三角形）、0.67（红色正方形）；（b） h=1（蓝色圆圈）、1.5（绿色三角形）、2（红色正方形）。在这两种情况下，黑色直线都是指数为3/2的幂律函数。在图5（a）中，突发持续时间p（T）的PDF在阈值h=0.3、0.4、0.67的低值时，在两个阶的区域内表现出幂律3/2行为。阈值越高，幂律的切割越早开始。对于更高的阈值h=1、1.5、2，请参见图。