修正条件下美式期权价格的分析性质

由于（12）非常复杂，我们需要分别计算α的每个函数的导数。采用[6]中的符号，ν=-σαsecαπ是凸度调整。通过区分，να=-秒απσαα-σα 秒απα、 以及σαα=eαlnσα=σαlnσ+ασσα.从挥发率的归一化到σBS=0.25，可以看出σ/α→ 0和lnσ~ -1.38，如α→ 因此σα/α<0，进一步为α→ 2，秒απ→ -1.να<-πσαsinαπcosαπ< 0。（13）相对利率γ和反向时间τ由γ定义=-2rσαsec（απ/2）=rν，τ=-σα（secαπ）（T- t） =ν（t- t） ，其中r是无风险利息。很容易看出γτ=r（T- t） 与α无关。L'evy密度在较大的基础值下渐近满足逆幂律，因此对于足够大的x，fα，0（x）~|x | 1+α，和fα，0α<0。（14） 接下来我们计算dinα的偏导数。注意，γτ与α无关，我们有dα=（x- ln K- （1）- γ） τ）“τα-τα+τ-αα#=：（x- ln K- （1）- γ） τ）（I+I），其中系数（x- ln K- （1）- γ） 当x足够大时，τ）>0。根据（13），I=τα-τα= τ-α（T- t）-να> 0；并注意到作为τ→ 0，τlnτ→ 0，这意味着τ到单位的速度比| lnτ|，thusI的速度快得多=τ-αα=τ-αlnτα+ατ(-τα）> 因此，我们获得dα> 0。（15） 现在我们可以计算（12）中积分的偏导数。VE公司α=Ke-γτZ∞dfα，0αdm- fα，0（d）dα+ ex公司-τ-ταdfα，0（d）dα- ex“Z∞de公司-τ-ταmfα，0α+fα，0(-τα-τααm）！dm公司#=Ke公司-γτZ∞dfα，0αdm- exZ公司∞de公司-τ-ταmfα，0αdm+fα，0（d）dαex公司-τ-ταd- Ke公司-γτ- exZ公司∞dfα，0e-τ-ταm-τα-τααm！dm=：Q+Q+Q。观察K≥ ex，γτ=r（T- t）→ 0作为t→ T因此，从（13）–（15），我们得到Q<0和Q<0。上次，自τα<0和ταα<0，很明显q也<0。

最后，我们证明VE公司α<0，即α→ 2，Vedecreasinglyapproach到标准Black-Scholes模型下的欧洲看跌期权价格，从而验证了[6]中数字样本中观察到的单调性。借助上述结果和百慕大期权，我们可以证明本文的第二个主要定理如下。定理5.2。对于足够大的潜在美国看跌期权价格，根据FMLS模型确定的看跌期权价格逐渐收敛到其Black-Scholes价格α↑ 2.证明。证明是通过百慕大期权价格序列（8）近似于美式期权价格。根据百慕大期权的归纳定义，价格BN（S，tm-1.α） 是g（S）的最大值，g（S）是指到期时间为tm且合同函数为BN（S，tm；α）的欧式期权VE（S，t；α）的价格。通过引理3.1的证明，BN（S，0；α）→ V（S，0；α）为N→ ∞.自VE（S，t；α）→ VBS（S，t）递减为α→ 2对于大S，BN（S，t；α）→对于大S，BN（S，t；2）递减，其中BN（S，t；2）是与标准BS模型相对应的百慕大选项。然后我们取N→ ∞ 使百慕大湿地更加密集→ T获得V（S，0；α）→ V（S，0；2）递减为α→ 2，对于大型S。请注意，V（S，t；2）=V（S，t）是标准BS模型下的美式看跌期权价格。因此，证明了该定理。结论本文研究了FMLS模型下美式看跌期权的分析性质。与经典的Black-Scholes模型相比，FMLS模型的一个主要优势在于它捕捉到了现实世界市场中常见的厚尾特征（瘦肉症）。

利用[6]中获得的欧式期权的闭合形式解析解，并用一系列百慕大期权近似美式期权，我们证明了FMLS模型下的美式看跌期权价格相对于基础价格是凸的，并且随着尾部指数α趋于2，逐渐收敛到其Black-Scholes价格。第一个结果与BSframework下的相应属性一致，而第二个结果表明，BS模型倾向于低估认沽期权的价格，并且随着收益分布尾部变得更大，定价偏差变得更大。参考文献【1】Black，F.，Scholes，M.，1973年。期权和公司负债的定价。《政治经济学杂志》，637-654。[2] Carr，P.，Wu，L.，2003年。有限时刻对数稳定过程和期权定价。《金融杂志》58（2），753–778。[3] Cartea，A.，del Castillo Negrete，D.，2007年。跳跃市场中期权价格的分数扩散模型。物理学A：统计力学及其应用374（2），749–763。[4] Chen，W.，Wang，S.，2014年。一个分数阶抛物型变分不等式的惩罚方法控制美式看跌期权的估值。计算机与数学及其应用67（1），77–90。[5] Chen，W.，Wang，S.，2015年。几何征税过程下欧洲和美国期权定价的有限差分法。J、 工业管理。Optim 11241–264。[6] Chen，W-T.，Xu，X.，Zhu，S-P.，2014年。基于修正的Black-Scholes方程和空间分数阶导数对欧式期权进行分析定价。应用数学季刊72（3），597–611。[7] Chen，W-T.，Xu，X.，Zhu，S-P.，2015年。有限矩对数稳定模型下pricingAmerican期权的预测-校正方法。应用数值数学97，15–29。[8] Chen，X.，Chadam，J.，Jiang，L.，Zheng，W.，2008年。

零股息资产上美式看跌期权行使边界的凸性。数学金融18（1），185–197。[9] Ekstrom，E.，2004年。Americanput期权最优停止边界的凸性。数学分析与应用杂志299（1），147–156。[10] Ekstrom，E.，2004年。美式期权价格的性质。随机过程及其应用114（2），265–278。[11] El Karoui，N.，Jeanblanc Picqu\'e，M.，Shreve，S.，1998年。Blackand Scholes公式的稳健性。数学金融8（2），93–126。[12] Hobson，D.，1998年。波动率误认、期权定价和通过耦合的超级复制。应用概率年鉴，193–205。[13] Huang，J.，Subrahmanyam，M.，Yu，G.，1996年。美式期权定价与套期保值：递归积分法。财务研究回顾9（1），277–300。[14] Ju，N.，1998年。通过将美式期权的早期行使边界近似为多段指数函数进行定价。财务研究回顾11（3），627–646。[15] Longstaff，F.，Schwartz，E.，2001年。通过模拟评估美式期权：一种简单的最小二乘法。财务研究回顾14（1），113–147。[16] 默顿，R.，1992年。连续时间财务。波士顿布莱克威尔。[17] 出版社，S.J.，1967年。证券价格的复合事件模型。《商业杂志》，317–335。[18] Schmelzle，M.，2010年。傅里叶变换期权定价公式：理论与应用。预印本，http://pfadintegral.com。[19] Schreve，S.，2004年。金融随机微积分2。斯普林格。[20] 朱世平，2006年。美式看跌期权估值的精确和明确的解决方案。定量金融6（3），229–242。