修正条件下美式期权价格的分析性质

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英文标题：
《Analytic properties of American option prices under a modified
  Black-Scholes equation with spatial fractional derivatives》
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作者：
Wenting Chen and Kai Du and Xinzi Qiu
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper investigates analytic properties of American option prices under the finite moment log-stable (FMLS) model. Under this model the price of American options is characterised by the free boundary problem of a fractional partial differential equation (FPDE) system. Using the technique of approximation we prove that the American put price under the FMLS model is convex with respect the underlying price, and specify the impact of the tail index on option prices.
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中文摘要：
本文研究了有限矩对数稳定（FMLS）模型下美式期权价格的分析性质。在此模型下，美式期权的价格表现为分数阶偏微分方程（FPDE）系统的自由边界问题。利用近似技术，我们证明了FMLS模型下的美式看跌期权价格相对于标的价格是凸的，并说明了尾部指数对期权价格的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Analytic_properties_of_American_option_prices_under_a_modified_Black-Scholes_equ.pdf (118.38 KB)

2022-5-31 00:03:53 上传

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关键词：美式期权 Quantitative Differential Applications Computation

这种想法允许我们对突发的外部事件或信息导致的巨大价格变化进行建模，并解释了一些与BS模型相关的系统性经验偏差。在所有的L'evy过程模型中，Carr和Wu[2]提出的有限矩对数稳定（FMLS）过程模型不仅能够成功地捕捉到标准普尔500指数数据的高频经验概率分布，而且能够同时捕捉不同到期日的波动性标志。最重要的是，与其他许多L'evy过程模型相比，FMLS模型确保了基础指数水平所有时刻的一致性以及等效鞅测度的存在。这份2017年1月9日提交给爱思唯尔的预印本是在FMLS模型的框架下进行的。将我们的方法和结果推广到其他L'evy过程模型（例如，KoBol和CGMY在[3]中提到）是很有希望的。从数学上讲，分数阶偏微分方程（FPDE）是表征FMLS模型下纯跳跃引起的非局部性的关键工具，它是伪微分方程类的子集。在与FMLS模型相关的新FPDE中，标准BS方程中涉及的二阶空间导数被α-阶空间导数替换为α-阶空间导数∈ （1，2）。与整数阶导数相比，一点上的分数阶导数不仅涉及该点上函数的属性，还涉及整个定义域某个子集中函数的信息。分数阶导数的这种全局依赖性在分析方法或尝试进行数值模拟。在FMLS模型下，开发了许多技术来计算期权价值，如【18】所述。

Cartea和del Castillo Negrete【3】采用有限差分法，纯粹从数值上考虑了FMLS模型下的障碍期权定价。最近，Chen等人[6]在同一模型下推导出了欧洲风格期权的闭式解析解，这是我们方法中的主要工具之一。相比之下，即使在经典的BS模型中，美式期权的定价也更为复杂[13、14、15、20]，挑战主要来自非线性，这源于美式期权可以在其寿命内的任何时间行使的固有特征。这一额外的权利将美式期权定价问题转化为一个自由边界问题，这是一个高度非线性且更难处理的问题。[7，4，5]在FMLS模型下提出了几种美式期权定价的数值方案。本文旨在研究FMLS模型下美式期权的分析性质。这一主题在标准BS模型下的文献中进行了广泛的研究。例如，Ekstr¨om[10]证明了美国看跌期权的价格相对于基础价格是凸的（有关相关结果，另请参见El Karoui等人[11]和Hobson[12]），Ekstr¨om[9]和Chen等人[8]得出了美国看跌期权的最佳行使边界的凸性。这些性质可以帮助我们理解接近到期的最佳运动边界的渐近行为。本文的第一个主要结果（见下面的定理4.3）是上述结果的扩展，表明FMLS模型下的美式看跌期权价格也与基础价格相关。关于FMLS模型和BS模型之间的差异，我们的第二个主要结果（见下面的定理5.2）证明，美式看跌期权的价格相对于FMLS模型中的指数α是单调递减的。

这一现象在[6，7]中首次从他们的数字样本中观察到，本文对此提供了严格的分析证明。由于指数α衡量收益分布尾部的肥满度，当α↑ 2，我们的第二个结果实际上揭示了BS模型倾向于低估看跌期权的价格，并且随着尾部变得更胖，定价偏差变得更大，这对应于更小的α值。本文的组织结构如下。在第二节中，我们介绍了FMLS模型，并给出了该模型下美式期权定价的数学公式。在第3节中，我们用一系列百慕大期权近似一个美式看跌期权。ABermudan期权是一种美式期权，具有一组有限的可能行使日期，是美式和欧式期权的组合。近似结果为我们提供了另一个主要工具来证明接下来两节中的主要定理。在第4节中，我们获得了在FMLS模型下美式期权的凸性结果，在第5节中，我们讨论了尾部指数对期权价格的影响。最后一节给出了结束语。2、FMLS模式下的美式期权。美式期权是一种工具，赋予所有者在某个预定的扩张时间T之前的任何时间以固定价格购买/出售某一股票的一项资产的权利。在本文中，我们考虑一个由无风险资产组成的市场，其收益率为常数r≥ 0，以及具有风险中性价格过程（St）t的风险资产≥在风险中性度量Q下，美式期权的价格是当前时间t的函数≤ T和当前基础价格St=S>0 byV（S，T）=supγ∈[t，t]等式e-r（γ-t） g（Sγ）, （1） 其中g（·）是放线函数，γ是给定过滤的停止时间。

由于无股息资产的美式看涨期权通常与相应的欧式看涨期权具有相同的价值【19】，因此，在本文中，我们将重点讨论支付函数的形式为g（S）=（K）的美式看涨期权- S） +=最大{K- S、 0}（2），给定的执行价格K>0。FMLS模型假设，在风险中性度量Q下，基础的对数值，即xt=ln St，遵循最大偏态LS过程的随机微分方程：dxt=（r- ν） dt+σdLα，-1t，（3）其中，ν=σαsecαπ是一个凸性平差[7]。换言之，FMLS模型采用L'evy过程Lα，-1t而不是标准BS模型中的布朗运动。通常，Lα，βt用α表示L'evy稳定（LS）过程∈ （0，2）是描述偏离布朗运动和β的尾部指数∈ [-1，1]为斜参数。尾部指数α通常被限制在（1，2），这样，underlyingreturn在整个实线上都有支持[2]。在最大偏斜LS过程中，即β=-1，随机变量XT最大程度地向左倾斜，这意味着分布的右尾正在快速衰减，因此存在指数矩。当α=2时，FMLS模型变为BS模型，而当α<2时，由于涉及分数阶偏微分方程（FPDE）和非局部算子，情况更加复杂。

市场观察表明，α通常在1.4左右[2]。随着变量x=ln S的变化，美式看跌期权价格V作为x和t的函数（如果没有混淆，我们将写出V=V（x，t；α））满足自由边界问题五、t+（r+ν）五、x个-νDαxV- rV=0，如果x>x（t；α），（4），其中{x=x（t；α）}是最佳运动边界的对数，Dαxis是α阶分数微分算子，在Caputo意义下解释，即对于aCfunction f，Dαxf（x）：=Γ（2- α） Zx公司-∞f′（y）（x）- y） α-1dy，1<α<2。从上述定义可以看出，分数微分是非局部的，它涉及行使区域的期权价格(-∞, x（t）]。除了（4），我们还有美国putprice的远场边界条件和终端条件：limx→∞V（x，t；α）=0，V（x，t；α）=（K- ex）+，（5）为了正确关闭FPDE系统，我们施加以下两个移动边界条件：V（x，t；α）=K- exif x=x（t，α）五、x（x，t；α）=-exif x=x（t，α）。（6） 上述系统（4）–（6）是由FMLS模型下的美国认沽价格V（t，x；α）和最优行使边界x（t，α）满足的自由边界问题。可以看出，当α→ 2接近经典的BS方程。3、百慕大期权近似美式期权百慕大期权是指买方有权以一定次数（总是离散间隔）行使的期权，该次数介于欧式期权和美式期权之间。设g=g（·）为一个放线函数（稍后，g（S）被选为（K- S） +在我们的案例中，价格为K）。预定时间0=t<t<···<tM=t百慕大期权的价格为b（S，0）：=supγ∈{t，t，···，tM}等式[e-rγg（Sγ）]，（7），其中γ是停止时间。

利用动态规划原理，价格族可以计算如下：（1）在tM=T时的价格B（S，tM）是g（S）；（2） 给定价格B（·，ti），1≤ 我≤ M、 ti的价格-1isB（S、ti）-1） =最大值等式，ti-1[e-r（ti-ti公司-1） B（Sti，ti）]，g（S）.从以上归纳可以看出，百慕大期权是一种从欧式期权到美式期权的联系。事实上，价格B（S，tm-1） t=tm时的百慕大期权-1可归纳计算为g（S）和具有到期t和合同函数B（S，tm）的欧式期权价格的最大值。另一方面，我们可以在下一个引理中证明，美式期权的价格可以近似于一系列百慕大期权。为此，我们可以：={0，T 2-N、 2T 2-N、 3T 2-N、 ···，T}，and bn（S，0）=supγ∈ANEQ[e-rγg（Sγ）]。（8） 引理3.1。假设g是一个非负函数。由于百慕大期权的可能行权时间越来越密集，百慕大期权价格收敛到FMLS模型下相应的美式期权价格，即十亿（S，0）→ V（S，0），作为N→ ∞, 其中V（S，0）=sup0≤γ≤TE[e-rγg（Sγ）]是美式期权价格。证据在标准Black-Scholes模型下，这种收敛性在[10]中得到了证明。在这里，我们使用支配收敛定理证明了这一点。Givena停止时间γ∈ [0，T]，设γN：=inf{τ≥ γ：τ∈ AN}。可以看到γN∈ 任意N，γN→ γ几乎肯定为N→ ∞. 根据支配收敛定理，| EQ[e-rγg（Sγ）]- 等式[e-rγNg（SγN）]|≤ 等式| e-rγg（Sγ）- e-rγNg（SγN）|→ 0，作为N→ ∞. 自g起≥ 0，上述不等式意味着LIM infN→∞BN（S，0）≥ V（S，0）。另一方面，根据百慕大期权价格的定义（7），亿（S，0）≤ V（S，0）表示所有N。因此，证明了引理。4.

期权价格的凸性在本节中，我们旨在证明在FMLS模型下，美式看跌价格V（S，t）相对于当前标的S是凸的。我们的出发点是最近的工作获得的FMLS模型下欧式期权的显式闭式解析解[6]。利用支付函数g（·），欧式期权的价格由ve（S，t）=等式e给出-r（T-t） g（ST）]。定义τ=ν（T- t） ，其中，为了简化计算，我们指定ν=-σαsecαπ与（3）中的凸性调整具有负号。这种转变将后向问题转变为前向问题。还将γ=r/ν定义为分数阶α波动率与无风险利率r的相对利率。其中一个具有明确的分析表达式ve（x，τ；α）=Z∞-∞e-γτ∏（x- （1）- γ） τ- ταm）fα，0（| m |）dm，（9），其中x=ln S和∏（x）=（K- ex）+（10）是对应于（2）的放线函数，fα，0是fα，0给出的L'evy稳定密度|z |τ1/α=αH1,12,2|z |τ1/α（1）-α、 α）（，）（0，1）（，）,其中H（x）是Fox函数[6]，其一般形式由HM、np、q定义z（a，a）（a，a）···（ap，ap）（b，b）（b，b）··（bq，bq）=2πiZL∏mj=1Γ（bj+Bjs）∏nj=1Γ（1- aj公司- Ajs）∏qj=m+1Γ（1- 北京- Bjs）∏pj=n+1Γ（aj+Ajs）z-sds（11），其中L是分隔分子中两个因子极点的特定轮廓。有关通过傅里叶变换进行的详细计算和技术问题，请参阅读者参考文献[6]。但我们想指出的是，x在（9）的被积函数中的依赖性仅与支付函数∏有关。一旦有了上述欧式期权的闭式解析解，我们就可以导出它们关于各种参数的凸性。然后通过百慕大期权，凸性可以相应地传递给美式期权。引理4.1。

利用（2）中给出的支付函数g，欧式期权价格VEisconvex在当前的基础S.Proof中。回顾S=ex，函数∏（x）=g（S）=（K- S） +相对于S是凸的，其中g（·）在（2）中定义。在FMLS模型下，上述VEAnalyticalExpression（9）的被积函数中，唯一涉及基础Sis∏（x）的部分- （1）- β） τ- ταm）=（K- C（m）S）+，其中C（m）=e-（1）-β） τ-ταmis是所有m的正因子∈ R、 因此，通过S中的积分VEis凸面。接下来，让我们将上述凸面传递给（7）中定义的百慕大期权价格B（S，t）。由于百慕大期权价格是由欧式期权价格的最大值归纳构建的，因此下面的引理是直接的。引理4.2。根据（2）中给出的支付函数，百慕大期权价格B（S，t）在任何固定t证明的基础S中是凸的。在凸分析中，凸函数族的上确界仍然是凸的。在FMLS模型下，（7）中的百慕大期权价格B（S，t）由欧式期权价格VE的最大值归纳构建。从引理4.1中，我们知道VEI在S中是凸的。因此，对于任何取上数的固定t，很容易看到B（S，t）相对于S是凸的，这是从VE继承来的。我们现在能够证明本文的第一个主要结果。定理4.3。由（1）给出的美式期权价格V（S，t），其支付函数g（S）=（K- S） +在每个t证明的基础S中是凸的。为了证明V=V（S，t）相对于S的凸性，可以用t来定义时间t≤ T在不丧失一般性的情况下，我们可以认为t=0，否则进行更改τ→τ- t、 从引理3.1我们知道近似序列{BN（S，0）}收敛到V（S，0）为N→ ∞. 根据引理4.2，对于每个N，百慕大期权价格bn（S，0）在S中是凸的。

由于收敛的凸函数序列的逐点极限再次是凸的，我们得到了极限V（S，0）在S中是凸的。因此，证明了该定理。5、厚尾对期权价格的影响FMLS模型相对于标准BS模型的一个主要优势是，它捕捉到了现实世界市场中观察到的厚尾特征（瘦尾病）[2]。事实上，与BS模型下基础价格的高斯密度相比，L'evydensity增加了股票价格出现大力矩或跳跃小时间步的概率，并且在两端都比BS模型的对数正态分布有更厚的尾部。[6]中通过数值实验说明了在FMLS模型下厚尾对欧式期权价格的影响，但没有严格的证明。他们观察到，一旦尾部指数α增加到2，期权价格就会逐渐降低到BS价格。换言之，BS公式倾向于低估欧式看跌期权的价格，其基础是利维过程。此外，随着α变小，BSformula的定价偏差变大。他们还从财务角度对此现象给出了合理的解释。在下文中，我们对上述欧洲选项和美国选项的观察结果给出了严格的分析证明。提案5.1。当α接近2时，在（9）中计算的欧洲看跌期权的价格逐渐收敛于在很大的基础区域x中根据标准BS模型确定的价格≥ x、 证明。回想一下（9）中欧式看跌期权价格的解析表达式，或等效于yve（x，τ；α）=Ke-γτZ∞dfα，0（| m |）dm- exZ公司∞de公司-τ-ταmfα，0（| m |）dm，（12），其中d=x-ln K-（1）-γ） ττα。这足以证明VE公司α<0，如α→ 2和x≥ xsuf非常大。