描述不同逃税影响的数学模型

在（7）中，h>1和涉及索引j的项- 1[分别为j+1]仅对j有效- 1.≥ 1[分别为j+1≤ n] 。指数α、β和γ取{1，…，m}中的任意值。备注1强调以下事实可能有帮助：即使方程式（1）描述了个体聚集部分的迁移，事实上概率微观相互作用建模是这些方程式表达的动力学过程的基础。（1）的右侧包含二次[和其他非线性]项，正是因为它们考虑了大量成对的相互作用[以及通过税收和再分配过程，也考虑了涉及更多个人的相互作用]。例如，系数C（j，α）（h，β）的来源；（k，γ）（指直接货币兑换）如下所示。（h，α）-个体和（k，β）-个体与（h，α）-个体支付之间的相互作用产生了某些群体中个体比例的变化（通常为四个）。事实上，（h，α）-个人变得更穷一点，导致部分从第h个收入阶层迁移到（h-1） -th-one和（k，β）-个人）变得更加富有，导致部分从第k个收入阶层迁移到（k+1）-第1个收入阶层。上述四组中的变化通过系数b（h）进行描述-1，α）（h，α）；（k，β）=ph，kS（1- θk，β）rh- 右侧-1，b（h，α）（h，α）；（k，β）=-ph，kS（1- θk，β）rh- 右侧-1，b（k+1，β）（k，β）；（h，α）=ph，kS（1- θk，β）rk+1- rk，b（k，β）（k，β）；（h，α）=-ph，kS（1- θk，β）rk+1- rk。

（8） 公式（4）中的系数- （6） ，也就是方程（1）中出现的那些，指的是（j，α）群，然后从中得到，观察到每个概率C（j，α）（h，β）；（k，γ）可以写成sumC（j，α）（h，β）；（k，γ）=a（j，α）（h，β）；（k，γ）+b（j，α）（h，β）；（k，γ），其中“无变化项”a（j，α）（h，β）；（k，γ）=1，仅当j=h和α=β，独立于（k，γ）和b（j，α）（h，β）；（k，γ）如（8）所示（参见【4】中更简单情况下的类似讨论）。我们还观察到C（j，α）（h，β）的结构；（k，γ）和T（j，α）[（h，β）；（k，γ）]（x）in（4）-（6） （7）由全球机制的保护要求决定。他们所享受的随机性是由于科学家ph值的存在，K可以用一些自由度来定义。鉴于系数ph，K，我们称之为作者列表建模的概率微观交互8简称。我们不知道到底谁将与谁互动：我们只知道在概率水平上，一个群体中的个人与另一个群体中的个人互动的频率。当然，假设第h个收入阶层的每个人都有相同的概率ph，那么在与第k个收入阶层的个人相遇时支付的kof对应于将相同的行为（意图作为态度支付）归因于相同两个特定阶层的所有对个人。这提醒了amean-field方法，参见例如[1,2]。

但是，事实上，刚才描述的基础建模为我们的方法提供了不同的特征。通过适当地调整证据，这些证据与之前的、不太一般的模型版本有关，可以在[4]中找到，我们可以检查以下属性，即个人数量和全球收入的时间守恒，是否成立。任何初始条件x={xαj}j=1，。。。nα=1，。。。m、 其中xαj≥0表示任何j=1。。。，n和α=1。。。，m、 andPnj=1Pmα=1xαj=1，唯一解x（t）={xαj（t）}j=1，。。。nα=1，。。。存在mof（1），这是为所有∈ [0+∞), 满意度x（0）=x和alsoxαj（t）≥ 0表示j=1。。。，n和α=1。。。，对于所有t，mand（9）nXj=1mXα=1xαj（t）=1≥ 0。由于这一性质，T（j，α）[（h，β）；（k，γ）]（x）“sin（7）”的表达式以某种方式简化，系统（1）的右侧变成3次多项式。性质2标量函数u（x）=Pnj=1rjPmα=1xαjremains constantalong系统（1）的每个解。此外，几个数值解的运行提供了以下事实的证据。在统计力学的玻耳兹曼方法中，变量是通过概率分布函数来描述的，这是我们的方法的灵感来源。MaxwellBoltzmann统计给出了相空间给定体积中粒子的预期数量。空间和速度是连续变量。离散化玻耳兹曼方法更易于管理，因为它将具有相同速度的粒子组合在一起，在社会经济版本中，将具有相同收入阶层的个人组合在一起。然后用和代替积分，可根据需要增加容许速度或类的数量，以确保任何特定情况下所需的精度。

与离散化Boltzmann方法相比，平均场方法会导致信息损失，因为每个个体的演化方程意味着它与所有其他个体的平均值相互作用，整个演化过程是自洽的。在离散化Boltzmann方法和inour模型中，相互作用是微观的，发生在所有个体之间。最后，如果将Boltzmann方法与基于代理的模拟进行比较，可以公平地说，Boltzmann代理具有确定性粒子的典型特性，而模拟代理的行为可以更加灵活。然而，Boltzmann方法具有封闭数学公式的优点，独立于软件。描述不同逃税行为影响的数学模型9属性3，如果模型参数（r、…、rn、S、τk、θev（α））以及具有不同行为的个人比例（如果u∈[r，rn]是固定的，那么解x（t）={xαj（t）}j=1，。。。nα=1，。。。从初始条件x={xαj}j=1，。。。nα=1，。。。m、 其中xαj≥ 0表示任何j=1。。。，n和α=1。。。，m、 而满足ynxj=1mXα=1xαj=1和nxj=1rjmXα=1xαj=u的，则趋向于与t相同的平稳分布→ +∞.3数值解的证据我们在这里的特殊兴趣是分析以不同行为为特征的群体在长期内的收入演变。换言之，虽然我们之前在[7,8]中的调查是专门针对（不同类型的）逃税对整个人口的影响进行的，但这里我们也将重点放在对不同提及群体的逃税影响上。寻找非线性微分方程（1）的解析解当然是毫无希望的。

然而，数值解提供了充分的信息。为了获得这些参数，必须首先确定几个参数。这里取n=9，m=3，S=1，rj=10，j=1。。。，n并假设根据累进税制，税率从最小值τmin增加到最大值τmax，如τj=τmin+j所示- 1n- 1（τmax- τmin），对于j=1。。。，n（10） 对于α=1，…，τmin，τmax和θev（α）的值。。。，m有待选择。每次我们探索人口渐近平稳收入分配的总体效应，并比较税收合规和逃税情况时，我们发现逃税导致最贫穷和最富有阶层的个人数量增加，而对中等阶层不利。图1示出了典型情况。在[7,8]中，我们已经表明，逃税通常会加剧经济不平等，例如通过基尼指数来衡量。我们还研究了逃税率随着税率增加而增加的情况，发现了以最小不平等为特征的非最佳“妥协”。这些结果是在逃逸率均匀的条件下得到的。现在，为了确定想法，假设规避行为如示例1中的（3）所示，并且每种行为都存在于三分之一的人群中。这里假设每个收入阶层中有特定逃避行为的个人比例相同。选择这一细分是出于对不同群体的进化进行平衡比较的愿望。10作者列表的缩写形式Fig。1逃税的集体影响。

左侧的渐近收入分布指的是逃税案例，中间的一个指的是初始条件相同的纳税合规案例，右侧的面板显示了第一种和第二种情况下不同类别的个人比例的差异。请注意，这些图的比例有所不同。图2在两行中，绘制了两个不同初始数据的渐近收入分布。左侧的两个面板显示了按收入类别划分的分配情况。中央面板中的直方图表示三个规避行为部门的每个收入类别的顺序，θev（1）=1、1/2、1/4。右侧的面板提供了一种可选的二维表示，其中也可以区分扇区。因此，在每个收入阶层中，三分之一的个人缴纳所有应缴税款，三分之一缴纳其中的一半，三分之一缴纳其中的四分之一。我们不仅可以获得关于渐近收入分布的总体形状的信息。我们还更详细地了解了不同行为部门逃税的影响。具体而言，结果表明，在低收入阶层，“诚实的个人”、“一半逃避者”和“四分之三逃避者”的数量，按此顺序计算，正从最大值减少到最小值，而在高收入阶层，情况正好相反。图2提供了这方面的失写图示。为了了解模型参数的哪些变化最能代表一些真实情况，以及我们可以预期的结果，我们可以将逃避行为普遍存在的情况与逃避行为仅限于部分人群的情况进行比较，总逃避水平是相同的。根据总逃税水平，我们表示逃税的总比例，即人口所有部门的总和。

例如，对于三个扇区，我们可以考虑以下两种情况，这两种情况的总规避水平均为1/6，但分别表现出广泛和集中的逃税行为：描述不同逃税行为影响的数学模型11表1最严重逃税者的平均收入与诚实纳税人的平均收入之间的百分比差距d取决于总逃税水平η。假设入侵在三个行为部门逐渐扩散。例如，当总逃税水平为10%（第一部门支付100%的到期税款，第二部门支付90%，第三部门支付80%）时，第三部门的平均收入比第一部门的收入高6.8%。适用税率随收入在τmin=10%和τmax=45%之间线性增长。偏差d（η）可近似为d（η）\'0.42η+0.62η。总计%逃税水平η三个部门应缴纳税款的百分比%收入差距d5 100、95、90 3.510 100、90、80 6.815 100、85、70 10.820 100、80、60 14.625 100、75、50 18.130 100、70、40 21.540 100、60、20 31.850 100、50、0 41.81。一个部门诚实，θ=θev=1，即100%缴纳税款，而另两个部门稍不诚实，θ=0.75，即75%缴纳税款；2、两个部门诚实，第三个部门相当不诚实，θ=0.5。我们想知道基尼指数在这两种情况下是否存在显著差异，或者换言之，当逃避现象普遍存在或局限于一部分人口时，是否会对不平等产生不同的影响。此外，我们可能想知道，行为部门的部分基尼指数是否与总人口的基尼指数有实质性差异，例如，在逃税者之间的不平等程度高于诚实纳税人之间的不平等程度。

然而，数值解表明，在所有这些情况下，基尼指数没有表现出任何显著变化，仅取决于总规避水平。将行为部门引入模型可以观察到其他重要影响，即诚实纳税人和逃税者的平均收入之间出现明显差异。从图2中的收入柱状图中可以明显看出，正如预期的那样，逃税者往往比诚实的纳税人更富有：代表最低收入阶层的条形图清楚地显示出诚实的人所占的比例更大，而相反的情况发生在收入最高的阶层，那里有更多的逃税者。对这种差异进行定量估计并研究其对回避水平的依赖性是很有趣的。为此，让我们考虑最恶劣逃税者的平均收入与诚实纳税人的平均收入之间的相对差异：d=（um- u）/u。这种相对差异相当大，在图1、2的直方图中通常为10%至20%。为了评估其对规避水平的依赖性，我们需要选择固定且合理的“规避扩散”模式。我们可以如下进行：假设第一个扇区总是诚实的（θ=1），第二个扇区的θ=1- η（回避级别η），第三节作者列表的缩写形式为θ=1- 2η（规避等级2η）。总规避水平为3η/3=η。让我们逐渐增加η，从0增加到0.5，然后计算d（η）。结果显示在表格中。这种依赖性明显是非线性的，这表明现象是复杂的，解释也不简单。

事实上，逃税水平的提高至少在两个方面影响收入分配：（a）通过直接互动，因为逃税者从任何互动中获得更多系统性收益；（b） 通过间接互动（税收再分配），因为当避税者的人数往往超过高收入阶层中诚实的纳税人，而高收入阶层应该支付更高的税率时，税收总额就会减少。然而，不明显的是，这种缩小会进一步增加上述差异d（η），因为在当前版本的模型中，再分配是统一的。在异质再分配的版本中，我们可以考虑到更微妙的实际影响：例如，假设福利规定是经过经济状况调查的，我们可以根据支付的税款而不是实际收入来分配。众所周知，这会给逃税者带来更多不公正和可憎的好处。我们计划在今后的工作中解决这些问题。4结语和进一步展望本文讨论了一个描述封闭社会中经济互动、税收和再分配的动力学模型。重点关注的是个人漏税所产生的影响，这些个人在不同的衡量标准下申报了自己的收入。该模型提出了以下考虑因素。从关心社会的个人的角度来看，税收合规在克服经济不平等方面发挥着重要作用。从鱼类个体的角度来看，当逃避时，改善自身经济状况的可能性更高。结果不足为奇。

当然，必须注意的是，这里没有考虑任何审计行动或处罚。将它们纳入模型并调查可能的影响将是未来工作中需要探索的有趣点。另一个值得进一步研究的相关问题是，有必要将纳税人行为态度的可能变化纳入模型。当然，在现实生活中，个人遵守或不遵守的倾向在时间上并不总是恒定不变的：尤其是，它可能会受到其他人的行为和与规模机构的特定经验（如公司）的影响。将货币分配方面的处理与行为和心理因素结合到模型中，仍然是未来面临的重大挑战。此外，在提高现实性的同时，应考虑破产和生产的可能性。在这方面，最后，我们要强调，我们在这里的目标主要是方法论目标。我们认为，该模型的兴趣（可能进一步增强）在于其可能的探索性用途：与不同的可想象参数相对应的模拟允许建立描述不同逃税行为影响的数学模型13了解和预测不同情景的出现，并可能提出有利于所需的政策建议趋势或防止不受欢迎的趋势。致谢我们感谢裁判的仔细审查和几条建设性建议。参考文献1。青木M.，《经济学中的聚合行为和波动建模：相互作用主体的随机视图》，剑桥大学出版社，剑桥（2002）2。青木M.，吉川H.，重建宏观经济学。《统计物理与组合随机过程的观点》，剑桥大学出版社，剑桥（2007）3。