Gerber-Shiu函数的相位型近似

另一方面，正如他们也指出的那样，没有任何现有的算法能够保证构造收敛序列，而且拟合相位类型分布会很困难；例如，参见【13】中的均匀分布跳跃大小的匹配情况。另一方面，正如我们接下来要讨论的，它保证在跳跃大小允许完全单调密度的情况下有效。3.4。超指数情况作为IQ中所有根都不同且为实的重要例子，我们考虑了Z具有密度函数f（Z）=mXj=1αjηje的超指数分布的情况-ηjz，z>0，对于某些0<η<···<ηm<∞ 对于1，αj>0≤ j≤ 使α+···+αm=1；这是带有马尔可夫链的相位类型分布，使得m个瞬态状态仅与. 其拉普拉斯表达式（2.1）为ψ（s）=us+σs- λmXj=1αjsηj+s。注意，在这种情况下-η、 ，-η是拉普拉斯指数的极点。此外，IQ中的所有根都是不同的和真实的，并且满足以下每个q>0:1的交错条件。σ>0时，有m+1根-ξ1，q，-ξm+1，qsuch that 0<ξ1，q<η<ξ2，q<···<ηm<ξm+1，q<∞; （3.6）2。σ=0时，有m根-ξ1，q，-ξm，qsuch that 0<ξ1，q<η<ξ2，q<···<ξm，q<ηm<∞. （3.7）由于所有根都是实的和不同的，所以标度函数可以写成（3.5）。回想一下，如果所有的导数都存在，那么一个正值随机变量的密度函数f被称为completelymontone，并且，对于每个n≥ 1、(-1） nf（n）（x）≥ 0，x≥ 0，其中f（n）表示f的n阶导数。Feldmann和Whitt【14】表明，如果密度函数是完全单调的，那么它可以近似为超指数分布。

如[8]所示，每个完全单调密度函数都是指数密度函数的混合物，这意味着，对于任何具有完全单调密度的分布，都存在一系列收敛于它的超指数分布。具有完全单调密度的一类分布包含许多分布，例如（子集）Pareto分布、Weibull分布和gamma分布。Feldmannand Whitt【14】利用这一事实，提出了一种将超指数分布拟合到这些分布的递归算法。我们请读者参考[1，17]了解近似方法。4、Gerber-Shiu函数的计算现在，我们将考虑使用固定标度函数近似Gerber-Shiu函数。这里，我们考虑第3.4节中讨论的超指数情况；在这种情况下，由于标度函数和L'evy测度都是经验一元函数的混合，所以我们得到了闭式表达式。4.1。关于Gerber-Shiu测度的等价性以及L'evy测度和r'esolvent测度的乘积，超调和欠调分布可以从（2.4）中回忆出来。如果我们确定所有∈ B类(-∞, 0）和B∈ B（0，∞) ,hq（x；A，B）：=Exhe-qτ-; Xτ-∈ A、 Xτ--∈ B、 τ-< ∞i=ZA×BK（q）（x，dy，dz）。（4.1）结合（2.4）和（2.10），我们可以写出q（x；A，B）=Z∞W（q）（x）ZB∩（A+u）e-Φ（q）ydy-ZB公司∩（A+u）W（q）（x）- y） dy公司π（du），其中∏是双过程的L'evy度量-十、 当X是相位型L'evy过程时，正如我们在前一节中所研究的，W（q）（X）可以写成（可能是复杂的）指数的和。特别地，如果它是超指数的，我们可以写出∏（du）=λPmj=1αjηje-ηjudu表示所有u∈ （0，∞), 因此可以解析地得到Hqc。这里我们假设X是一个超指数L'evy过程，q>0。

通过直接集成，可以立即获得以下结果。提案4.1。1、假设B=（B，B）和A=(-一-a） 对于so me 0≤ 一≤ a an d0≤ b≤ b、 Thenhq（x；A，b）=λmXj=1αj（e-ηja- e-ηja）κj，q（x；B），其中，对于每个1≤ j≤ m、 κj，q（x；B）：=eΦ（q）xψ′（Φ（q））（ηj+Φ（q））e-（ηj+Φ（q））（b∨x）- e-（ηj+Φ（q））（b∨x）+xi∈IqCi、qe-ξi，qxηj- ξi，qe-（ηj-ξi，q）（b∧x）- e-（ηj-ξi，q）（b∧x）-ηj+Φ（q）e-（ηj+Φ（q））b- e-（ηj+Φ（q））b.2、我们有-qτ-; -Xτ-∈ da，Xτ--∈ B、 τ-< ∞i=λmXj=1αjηje-ηjaκj，q（x；B）Exhe-qτ-; Xτ-∈ A、 Xτ--∈ db，τ-< ∞i=λmXj=1αj（e-ηja- e-ηja）×（Pi∈IqCi、qe-ξi，qxe-（ηj-ξi，q）b- e-（ηj+Φ（q））b, b<xψ′（Φ（q））eΦ（q）x-（ηj+Φ（q））b-Pi∈IqCi、qe-（ξi，qx+（ηj+Φ（q））b），b≥ x） 。特别是，通过设置B=（0，∞) （A=(-∞, 0）），Exhe-qτ-; -Xτ-∈ da，τ-< ∞i=λmXj=1αjηje-ηjaκj，q（x；（0，∞)),告密-qτ-; Xτ--∈ db，τ-< ∞i=（λPmj=1αjPi∈IqCi、qe-ξi，qxe-（ηj-ξi，q）b- e-（ηj+Φ（q））b, b<x，λPmj=1αjhψ′（Φ（q））eΦ（q）x-（ηj+Φ（q））b-Pi∈IqCi、qe-（ξi，qx+（ηj+Φ（q））b）i，b≥ x、 （4.2）式中，κj，q（x）（0，∞)) =ψ′（Φ（q））（ηj+Φ（q））e-ηjx+Xi∈IqCi，qηj- ξi，qe-ξi，qx- e-ηjx- e-ξi，qxηj+Φ（q）.数值结果利用命题4.1中获得的恒等式，我们将评估Gerber-Shiu函数相位类型拟合方法的效率。这里，我们考虑形式（3.1）中的谱负L'evy过程X（weibull）和X（pareto），其中Z分别是（i）weibull（0.6，0.665）和（ii）pareto（1.2，5）。回想一下，参数为c和a的威布尔分布（表示为威布尔（c，a））由F（t）=1给出- e-（t/a）c，t≥ 0，且具有正参数a和b（表示为Pareto（a，b））的Pareto分布由F（t）=1给出- （1+bt）-a、 t型≥ 有关这些分布的更多详细信息，请参见[16]。

通过选择我们的参数，相应的l'evy密度因此是完全单调的。如第3.4节所述，任何具有完全单酮L'evy密度的光谱负L'evy过程都可以通过拟合超指数分布任意近似。在这里，我们使用【14】计算的拟合数据来近似X（weibull）和X（pareto）（有无布朗运动分量）的标度函数。【14】的表3和表9分别显示了通过【14】拟合到（i）m=6和（ii）m=14得到的超指数分布参数。我们使用这些参数构造超指数L'evy过程X（weibull）和X（pareto）（见第3.4节），分别用于近似X（weibull）和X（pareto）。为了评估与Gerber-Shiuffunction相位类型设置相关的误差，我们应考虑近似过冲/欠冲密度exhe-qτ-; -Xτ-∈ da，τ-< ∞土地和Exhe-qτ-; Xτ--∈ db，τ-< ∞i、 表1：符合Weibull（0.6,0.665）和Pareto（1.2,5）的超指数分布参数（取自[14]的表3]）。iαiηi1 0.029931 676.1782 0.093283 38.70903 0.332195 4.274004 0.476233 0.761005 0.068340 0.248006 0.000018 0.09700––iαiηiiαiηi1 8.37E-1 8.3E-09 8 0.000147 0。00202 7.18E-1 0 6.8E-08 9 0.001122 0。01003 5.56E-0 9 3.9E-07 10 0。008462 0.05704 4.27E-0 8 2.2E-0611 0.059768 0.30605 3.27E-0 7 1.2E-05 12 0。307218 1.54606 2.50E-0 6 6.5E-05 13 0。533823 6.51607 1.92E-0 5 3.5E-0414 0.089437 23.304（i）Weibull（0.6，0.665）（ii）Pareto（1.2，5）表示X（Weibull）和X（Pareto）。相位类型拟合方法通过计算近似的超指数L'evy过程X（weibull）和X（pareto）来近似它们。这些可以通过等式（4.2）进行分析。我们通过与模拟结果的比较来评估这些结果。

对于X（weibull）和X（pareto），我们模拟了xhe-qτ-; -Xτ-∈ （a）- a/2，a+a/2），τ-< ∞我/a、 安迪斯-qτ-; Xτ--∈ （b）- b/2，b+b/2），τ-< ∞我/bwith公司a=b=0.1，通过Mont e Carlo模拟，有50万个样本。为了证实模拟结果的准确性，我们还计算了这两种方法对X（exp）的结果，X（exp）对应于跳跃大小与参数1为1的过程；这是相位型（和超指数）L'evy过程的特例，因此得到的结果是精确的。图2和图3显示了σ=1和σ=0的情况下的结果，其中公共参数x=5、u=1、λ=10和q=0.05。从指数情况下的结果来看，我们可以证实蒙特卡罗模拟结果是准确的。在图3中，对于σ=0的情况，密度在初始位置x=5处有一个跳跃（而对于σ=1的情况，密度是连续的），因为x=5对于(-∞, 5） （见[1 9]第6.4条定义）。从这些图可以看出，近似值准确地捕获了X（威布尔）和X（帕累托）的超调/欠调密度。由于闭合式表达式（4.2），图3中初始位置处的尖峰得以精确恢复；如果通过数值拉普拉斯反演来近似标度函数，这将很难实现。6、结论性意见在本文中，我们研究并评估了相位类型拟合方法（受[13]的启发）的性能，该方法用于计算光谱负evy过程的G erber-Shiu函数。

该方法整体准确，功能强大，可以以封闭形式获得近似值。0 2 4 6 8 1000.20.40.60.81通过模拟通过标度函数的超调密度0 2 4 6 8 1000.20.40.60.81通过模拟通过标度函数的超调密度σ=1 Exp（1）σ=0 2 4 6 8 1000.20.60.81通过模拟通过标度函数的超调密度0 2 4 6 8 1000.20.40.60.81通过模拟Weibull（0.6，0.66 5）σ=1 Weibull（0.6，0.66 5）的超调密度σ=00 2 4 6 8 1000.20.40.60.81通过尺度函数的超调密度通过模拟0 2 4 6 8 1000.20.40.60.81通过尺度函数的超调密度通过模拟Pareto（1.2,5），σ=1 Pareto（1.2,5），σ=0图2：超调密度Ex的计算-qτ-; -Xτ-∈ da，τ-< ∞]. 实线表示拟合的密度函数，红色标记表示从模拟中获得的值。0 2 4 6 8 1000.10.20.30.40.50.60.70.8通过模拟的比例函数的下冲密度0 2 4 6 8 1000.10.20.30.40.50.60.70.8通过模拟的比例函数的下冲密度0 2 4 6 60.70.8通过模拟的比例函数的下冲密度0 2 4 6 1000.10.30.40.50.70.8通过模拟的比例函数的下冲密度（0.6，0.66 5），σ=1威布尔（0.6，0.66 5），σ=00 2 4 6 8 1000.10.20.30.40.50.60.70.8通过尺度函数的下冲密度通过模拟0 2 4 6 8 1000.10.20.30.40.50.60.70.8通过尺度函数的下冲密度通过模拟帕累托（1.2,5），σ=1帕累托（1.2,5），σ=0图3：计算下冲密度-qτ-; Xτ--∈ db，τ-< ∞]. 实线表示拟合的密度函数，红色标记表示从模拟中获得的值。虽然本文关注的是谱负L'evy过程的情况，但所提出的方法很容易推广。

根据补偿公式，分解（2.4）适用于一类更一般的随机过程。因此，通过简单地替换溶剂度量r（q），可以以相同的方式计算Gerber-Shiu函数。多亏了波动理论的最新发展，光谱负L'evy过程的各种扩展的解现在可以用标度函数来表示。这里，我们列出了几个已知的预解式示例。反射光谱负L'evy过程的反射理论已经很成熟。在最优股息问题中，人们希望在破产前最大化股息的预期净现值，在许多情况下，在适当的边界处反映盈余过程是最优的。因此，有必要调查反映流程的Gerber Shiu功能，以评估分割支付公司的风险。如【31】所示，预解式需要标度函数的导数或积分，这取决于反射条rier是上还是下。对于具有上下屏障的双反射情况，请参见【30】。2、作为反射过程的一个变量，[21]的折射光谱负L'evy过程在阈值b以上时，其漂移δ>0–这是随机微分方程dXt=dXt的唯一强解U- δ1{Ut>b}dt，t≥ 0、在保险业中，当股息率必须以δ为界时，这可以用来模拟股息支付公司的盈余（见[22]）。【21】中给出了解决方案。[28，29]最近获得了具有额外经典反射的情况的解决方案。给定两个级别s和s，经典的（s，s）-策略通过在进程超过或低于s时立即将进程推到s来控制进程。

在适当的条件下，它是存在固定成本的最优股息问题中的最优策略（见[7，25]）。预解式在[35]中获得。关于其具有四参数（d、d、U、U）策略的双边情况，请参见[34]。在这些例子中，预解式r（q）用标度函数表示，而henceas在本文所考虑的情况下，相位型情况下的预解式r（q）可以表示为指数形式的（线性组合）。因此，可以用同样的方法解析计算G erber-Shiu函数。鉴于本文所获得的结果，相位类型误差最小，并且期望相同的程序能够给出Gerber-Shiu函数的准确近似值。参考文献[1]H.Albrecher、F.Avram和D.Kor tschak：关于完全单调索赔分布破产概率的有效评估。《计算与应用数学杂志》，233-10（2010），2724-2736。[2] S.Asmussen：《通过EM算法拟合相位类型分布》，hm.Scandinav i anJournal of Statistics，23（1996），419-441。[3] S.Asmussen、F.Avram和M.R.Pistorius：实验阶段类型L’evy模型下的俄罗斯和美国看跌期权。随机过程及其应用，1091（2004），79–111。[4] F.Avram，Z。Palmowski和M.R.Pistorius：关于谱负L'evy过程的最优红利问题。《应用概率年鉴》，17-1（2007），156–180。[5] O.E.Ba r ndo r fff-Nielsen：正态逆高斯型过程。《金融与随机》，2-1（1998），41-68。[6] E.Bayraktar、A.E.Kyprianou和K.Yamazaki：关于双重模型中的最优股息。Astin公告，43-3（2013），359–372。[7] E.Bayraktar、A.E.Kyprianou和K.Yamazaki：交易成本下对偶模型中的最优股息。保险：数学经济学，54（2014），133–143。[8] S。

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