Gerber-Shiu函数的相位型近似

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英文标题：
《Phase-type Approximation of the Gerber-Shiu Function》
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作者：
Kazutoshi Yamazaki
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The Gerber-Shiu function provides a way of measuring the risk of an insurance company. It is given by the expected value of a function that depends on the ruin time, the deficit at ruin, and the surplus prior to ruin. Its computation requires the evaluation of the overshoot/undershoot distributions of the surplus process at ruin. In this paper, we use the recent developments of the fluctuation theory and approximate it in a closed form by fitting the underlying process by phase-type Levy processes. A sequence of numerical results are given.
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中文摘要：
Gerber Shiu函数提供了一种衡量保险公司风险的方法。它由一个函数的期望值给出，该函数依赖于破产时间、破产时的赤字和破产前的盈余。其计算要求评估破产时盈余过程的超调/欠调分布。在本文中，我们利用波动理论的最新发展，通过用相位型Levy过程拟合基本过程，以闭合形式对其进行近似。给出了一系列数值结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Phase-type_Approximation_of_the_Gerber-Shiu_Function.pdf (471.83 KB)

2022-5-31 01:03:08 上传

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关键词：Gerber Ber GER Quantitative Applications

Gerber-Shiu函数的阶段类型近似Kazutoshi YamazakiKansai大学（2016年9月9日）摘要Gerber-Shiu函数提供了一种衡量保险公司风险的方法。它由一个函数的期望值给出，该函数取决于破产时间、破产时的损失和破产前的剩余。它的计算需要评估破产时盈余过程的超调/欠调分布。在本文中，我们使用了波动理论的最新发展，并通过阶段类型L'evy过程拟合基础过程，以封闭形式对其进行近似。给出了一系列数值结果。关键词：风险管理，应用概率1。精算破产理论的基本目标是衡量破产的脆弱性。通常，保险公司的盈余由随机过程建模，破产发生在第一次低于某个阈值时。破产概率是一个最经典、最重要的利息量，Gerber-Shiu函数是它的推广；它是作为成本函数的预期贴现值给出的，该成本函数依赖于破产时间、破产时的损失和破产前的盈余。Gerber-Shiu函数的计算涉及第一个向下穿越时间的超调和欠调分布，这些分布不允许显式表达式。因此，它的计算通常是一项具有挑战性的任务。在破产理论中，盈余过程通常由具有向下跳跃的随机过程建模。由于从被保险人处收到的保费，盈余不断增加。另一方面，由于保险金的支付，它经历了突然的下降。经典的Cram'er-Lundberg模型使用具有向下跳跃的复合泊松过程。

它的泛化称为Sparre-Andersen模型，通过允许权利主张的竞争对手遵循一般的续约流程，对其进行了修改。在过去十年中，由于列维过程理论的发展，保险数学和保险理论取得了重大进展[9，19]。特别是，关于Cram'er-Lundberg模型的许多结果已被推广到一般的广义负L'evy过程，或仅具有向下跳跃的L'evy过程；例如，参见[4、6、7、24]。这种泛化使我们能够构建更真实的模型；例如，可以通过包含布朗运动和/或有限活动/变化的微小跳跃引入噪声。使用所谓的标度函数，可以简洁地表示一般谱负L'evy过程的许多感兴趣的量。本文的目的是利用尺度函数理论给出Gerber-Shiu函数的近似。根据L'evy过程的补偿公式，Gerber-Shiu函数允许一个表达式作为关于溶剂测度和L'evy测度的（二重）积分。因为预解式可以用标度函数来编写，所以至少在理论上，Gerber-Shiu函数的计算可以归结为标度函数的计算。然而，在实际应用中仍然存在一个主要障碍，因为尺度函数通常只知道它们的拉普拉斯变换，并且只有少数情况下使用了plicit表达式。计算标度函数最直接的方法是应用数值拉普拉斯反演，如[18，33]所示。然而，这种方法不适用于Gerber-Shiu函数的计算，因为数值近似的尺度函数需要与L'evy测度进一步积分。

特别是，在计算Gerber-Shiu函数时必不可少的下冲密度往往具有非常特殊的形式，可能出现尖峰。因此，该近似要求计算比例函数的精度较高，数值积分的离散化误差最小。在本文中，我们采用了[13]的相位类型拟合，通过对一类光谱负相位类型L'evy过程或具有负相位类型分布跳跃的L'evy过程使用标度函数。考虑一个具有初始分布和状态空间的连续时间马尔可夫链，状态空间由单个吸收状态和有限个瞬态组成。相类型分布是指第一次进入吸收状态的时间。正如【13，18】中所讨论的，这个过程的标度函数变成了sumof（可能是复数）指数；可以对L'evy度量进行积分分析，以获得Gerber-Shiu函数的显式形式。更重要的是，相型分布类在所有正值分布类中都是稠密的。因此，任何给定的光谱负L'evy过程的Gerber-Shiu函数都可以用近似的光谱负相位类型L'evy过程的Gerber-Shiu函数以闭合形式近似。我们的目的是从数值上评估这种方法的实用性。在我们的数值结果中，我们关注的是L'evy测度是有限的且具有完全单调密度的情况。

在这种情况下，跳跃大小分布可以近似为一类特殊的相位型分布，称为超指数分布。虽然通常很难确定一般分布的相位类型分布，但可以很好地确定密度完全单调的分布的超指数分布，例如通过[14]的算法，该算法保证收敛到所需的分布。具有完全单调L'evy密度的L'evy过程的类别包括，例如，复合泊松过程、方差gamma[26，27]、CGMY[10]、广义双曲[12]和正态逆高斯[5]过程的子集。为了评估我们的方法，对于超指数情况，我们获得了第一次下穿时间（折扣）超调/欠调分布的闭合表达式，并将其用于近似Weibull/Pareto跳变过程。然后将所得结果与蒙特卡罗模拟结果进行比较。据我们所知，这是第一篇关于通过相位类型拟合对GerberShiu函数进行数值计算的论文。由于Gerber-Shiu测度对逼近误差非常敏感，因此评估其数值性能非常重要。最近，已经开发了L'evy过程的相关扩展的解决方案，可以合理地推测，这些过程的Gerber-Shiu函数可以以同样的方式精确近似。论文的其余部分组织如下。第2节回顾了谱负的evy过程、Gerber-Shiu函数和尺度函数。第3节总结了[13]中关于光谱负相位型L'evy过程及其标度函数的内容。

第4节计算超指数L'evy过程的Gerber-Shiu测度，作为跳跃大小分布具有完全单调密度的情况下的近似值。我们使用第5节中的数值结果评估性能。第6节总结了光谱负L'evy过程的其他变体的情况。2、谱负L'evy过程的Gerber-Shiu函数(Ohm, F、 P）是一个概率空间，承载一个谱负的L'evy过程X={Xt；t≥ 0}为公司的盈余建模。设px为x=x（以及P）的条件概率≡ P） ，和F：={Ft:t≥ 0}由X生成的过滤。过程X的唯一特征是其Lapla-ce指数ψ（s）：=log EesX= cs+σs+Z(-∞,0）（esz- 1.- sz1{z>-1} ）π（dz），s≥ 0，（2.1），其中σ≥ 0是扩散（布朗运动）系数，∏是有支撑的L'evy度量(-∞, 0）满足可积性条件r(-∞,0）（1∧ |z |）∏（dz）<∞. 当且仅当σ=0和z时，它有边界变化路径(-∞,0）（1∧ |z |）∏（dz）<∞;例如，参见[19]中的引理2.12。在这种情况下，我们可以将拉普拉斯指数（2.1）改写为ψ（s）=us+Z(-∞,0）（esz- 1） π（dz），u：=c-Z(-1,0）z∏（dz）。我们忽略了X是从属项的负值（或减少a.s.）的情况。2.1。Gerber Shiu函数确定盈余首次低于零时的破产时间：τ-:= inf{t≥ 0:Xt<0}。在本文中，我们使用了inf = ∞. 关于事件{τ-< ∞}, 随机变量Xτ-和Xτ--分别建立破产时的赤字和破产前的盈余模型。修复f：(-∞, 0]×[0，∞) → [0，∞) 有界且可测量。

我们定义了Gerber-ShiufunctionGSf（x，q）：=Exhe-qτ-fXτ-, Xτ--; τ-< ∞i、 用Gerbe r-Shiu measureK（q）（x，dy，dz）：=Exhe-qτ-; Xτ-∈ dy，Xτ--∈ dz，τ-< ∞i、 x，z>0，y<0，我们可以写esf（x，q）=z（0，∞)Z(-∞,0）f（y，z）K（q）（x，dy，dz）；见【20】第4页和第5页。使用补偿公式（见[19]的定理4.4），这可以用退出[0]时杀死的X的q预解测度来表示，∞):R（q）（x，dz）：=Z∞e-qtPx{Xt∈ dz，τ-> t} dt，x，z>0，（2.2），已知在光谱负L'evy过程的情况下允许密度r（q），如r（q）（x，dz）=r（q）（x，z）dz，x，z>0；（2.3）r（q）的形式见下文（2.10）。如[2 0]第1.3节所述，我们可以将（q）（x，dy，dz）=∏（dy- z） r（q）（x，z）dz。（2.4）因此，Gerber-Shiu测度的计算归结为resolventmeasure的计算。2.2。尺度函数为了计算预解测度（2.2），我们将引入尺度函数。修复q≥ 0、比例函数W（q）：R→ [0，∞) 是一个函数，其Laplacetransform由z给出∞e-sxW（q）（x）dx=ψ（s）- q、 s>Φ（q）（2.5），其中Φ（q）：=sup{s≥ 0：ψ（s）=q}，q≥ 0。（2.6）在负半直线上，假设W（q）（x）=0。关于标度函数的smoot hness，如果L'evy测度没有无界变量的原子或轴，那么W（q）∈ C（0，∞) ; 如果它有一个高斯分量（σ>0），那么W（q）∈ C（0，∞) . 有关平滑度的其他已知结果，请参见[11]。零附近的行为如下所示。

如[23]中的引理4.3和4.4，对于每个q≥ 0，W（q）（0）=0，如果X为无界变量u，如果X为有界变量u,W（q）′（0+）=σ、 如果σ>0∞, 如果σ=0且∏(-∞, 0）=∞q+π(-∞,0）u，如果X是复合泊松.（2.7）我们在图1中绘制了σ=0的有界变量情况和σ>0.0的无界变量情况下的标度函数及其导数的样本图5 10 15 2000.511.522.533.5x标度函数σ=0σ=10 5 10 15 2000.511.52x导数σ=0σ=1图1：标度函数及其导数的样本图（左）。红色（或蓝色）表示的是有界（或无界）变化的情况。如（2.7）所示，当且仅当其具有无界变化时，证明其在零处消失。比例函数最著名的应用可以在双侧ExitId实体中找到。让我们用τ分别定义X的第一个向下和向上交叉时间-b： =inf{t>0:Xt<b}和τ+b：=inf{t>0:Xt>b}，b∈ R、 （2.8）然后，对于任何b>0和x≤ b、 Exhe公司-qτ+b{τ+b<τ-}i=W（q）（x）W（q）（b），Exhe-qτ-{τ+b>τ-}i=Z（q）（x）- Z（q）（b）W（q）（x）W（q）（b），Exhe-qτ-i=Z（q）（x）-qΦ（q）W（q）（x），（2.9），其中z（q）（x）：=1+qZxW（q）（y）dy，x∈ R、 有关标度函数的综合说明，请参见[18，19]。2.3。正如我们在第2.1节中所讨论的那样，通过标度函数调用的预解式可以将Gerber-Shiu函数写入预解式测度中。这可以用尺度函数简洁地表示如下：根据[19]的推论8.8，预解密度（2.3）可以写成r（q）（x，z）=e-Φ（q）zW（q）（z）- W（q）（x）- z） ，x，z>0。（2.10）现在考虑到恒等式（2.4），Gerber-Shiu测度的计算归结为尺度函数的计算。3.

谱负相位型L'evy过程的标度函数如前一节所述，标度函数由其拉普拉斯t变换定义，为了计算，拉普拉斯变换（2.5）必须倒置。在这里，我们回顾了[13]中关于一类特殊的L'evy过程的结果，在这里它可以被解析地反转。3.1。连续时间马尔可夫链下的相位类型分布{Yt；t≥ 0}具有有限状态空间{1，…，m}∪ {} 其中1，m是瞬态的，并且 正在吸收。其初始分布由单纯形α=[α，…，αm]给出，使得αi=P{Y=i}对于每个i=1，m、 将强度矩阵Q划分为m个瞬态和吸收态, byQ给出：=T t0 0.这里T是称为相位型发生器的m×m矩阵，T=-T 1，其中1=[1，…，1]\'。如果吸收时间的分布是 在上述马尔可夫链中。我们知道T是非单数的，因此是可逆的；见【2】。分别给出了其分布函数和密度函数，byF（z；α，T）=1- αeT z1和f（z；α，T）=αeT zt，z>0.3.2。相位类型L'evy PROCESSLET X={Xt；t≥ 0}是formXt的谱负L'evy过程- X=ut+σBt-NtXn=1Zn，0≤ t<∞, （3.1）对于某些u∈ R和σ≥ 0（σ=0时，u>0，因此它不是asubordinator的负o）。这里B={Bt；t≥ 0}是标准布朗运动，N={Nt；t≥ 0}是一个到达率为λ的泊松过程，Z={Zn；n=1，2，…}是一个相位型分布随机变量的i.i.d.序列，表示为（m，α，T）。这些过程相互独立。

其拉普拉斯指数为ψ（s）=us+σs+λα（sI- T）-1吨- 1., （3.2）对于每个∈ C，T的特征值除外。设Iq为（符号变化的）负根的集合：Iq：={i：ψ(-ξi，q）=q和R（ξi，q）>0}，（3.3），其中R（z）是z的实部∈ C、 设n表示iqandmit中不同根的数目根ξi的多重性，qfori=1，n、 由于拉普拉斯指数（3.2）具有有理形式，因此可以通过部分分式分解进行分析反转。因此，根据（2.5），可以得到比例函数。提案3.1（第[18]条第5.4款和第[13]条第2.1款）。假设q≥ 如果q=0，则dψ′（0+）小于0。然后将标度函数写为w（q）（x）=eΦ（q）xψ′（Φ（q））-nXi=1miXk=1C（k）i，qxk-1（k- 1） 哦！e-ξi，qx，x≥ 0，（3.4），其中c（k）i，q：=（mi- k） 哦！密歇根州-ksmi公司-k（s+ξi，q）miq- ψ（s）s=-ξi，q，1≤ k≤ 主1≤ 我≤ n、 特别是，如果IQ中的所有根都是不同的，那么w（q）（x）=eΦ（q）xψ′（Φ（q））-nXi=1Ci，qe-ξi，qx，x≥ 0，（3.5）式中ci，q：=s+ξi，qq- ψ（s）s=-ξi，q=-ψ′(-ξi，q）。3.3。近似结果已知，在所有正值分布类中，相型分布类是稠密的。利用这一点，[3]的命题1表明，对于任何光谱负L'evy过程X，存在一系列光谱负相位类型L'evy过程X（n），在D[0]中收敛到X，∞). 换句话说，X（n）→ [15]中第3.6条推论的Xin分布；另见【32】。利用这些结果，Egami和Yama zaki[13]研究了相应尺度函数的收敛性，并表明在大多数情况下，近似值是非常精确的。