带尾随止损的最优交易

根据Coro llary 4.2，我们知道，foreach x∈ 一、 pf（x，x）=exp（Zbf∨xx号-ψ′q（u）duψq（u）- ψq（f（u）））h（bf∨ x）- gf（bf∨ x、 b类f∨ x）. （33）为了数值计算（33），我们使用了“极限阶”τ+X（b）和运输停止点ρf的融合，其中bchosen足够大，因此ex（e-q（τ+X（b）∧ρf）{τ+X（b）<ρf}）<0。005,0<h（b）Ex（e-q（τ+X（b）∧ρf）{τ+X（b）<ρf}）<0。03,1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00.40.60.81.01.2图3：早期清算溢价（黑色）pf（x，x）和函数x- f（x）=指数OU模型（31）下的αx（虚线）。对于图3绘图区域中的所有x。然后用该策略的值来近似gf（x，x），然后使用类似于（30）的常微分方程来求解。在图3中，我们比较了提前清算前pf（x，x）和函数x-f（x）=αx（α=0.3），如果价格x达到或立即达到后续FLO（但无超调），则为后续止损单的最大损失。我们注意到，对于大x而言，我们的策略相对于普通拖车站的收益接近价格水平的30%。考虑到贴现和交易成本，这个例子表明，在资产价格较高时设置跟踪止损点，几乎总是会在退出时产生30%的损失。5.2敏感性分析和财务解释以下说明性数值示例将阐明最佳收购和清算阈值的敏感性，b范德比f、 关于尾部停止水平α和交易成本c。这涉及到对thre sholds的数值计算，以及临界水平，其中函数（L- q） h（x）消失。在图4（a）中，我们绘制（bf、 x，bf） 作为尾部停车位α的函数，假设2.1中定义了x（虚线）。最佳清算级别bfis在α中增加，证实了定理4.2的结果。

此外，最佳a获取级别为bfis在α中也增加。回顾α越高意味着后续止损触发点越低，这意味着更大的下行保护会促使投资者更早进入市场。如图4（a）所示，α较高的投资者将获得更接近临界水平x的资产ata价格水平。我们的数值结果还表明，对于较小的α，可能根本不适合开始持仓，因为在b的卖出订单上实现的收益因为与交易成本c相比，尾随止损点太低。在这种情况下，我们观察到SUPX∈R（vf（x，x）- h（x））<c=0.02。在图4（b）中，我们用plo t（bf、 x，bf） 作为资产波动率参数σ的函数。我们看到，由于布朗运动的强大作用力，随着σ的增加，最优清算水平增加。然而，σ越高，收购价格水平越低，这意味着投资者愿意以较低的价格建立头寸。然而，更高的波动性将增加资产价格提前达到低水平的可能性，因此投资者的实际进入时间可能早于或晚于。B的递减模式F关于σ，建议投资者自愿降低收益水平，以减轻在波动性更大的市场中，在后续止损点实现收益降低或亏损的风险。图4（c）显示了sset平均回复率λ的影响。较高的λ表示0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.401.82.02.22.42.62.83.0（A）（bf、 x，bf） 与α0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.402.02.53.0（b）（b）相比f、 x，bf） 与σ0.4 0.6 0.8 1.0 1.21.82.02.22.42.62.83.0（c）（b）相比f、 x，bf） vs.λ0.01 0.02 0.03 0.042.02.22.42.62.8（d）（bf、 x，bf） vs。

图4：阈值b的灵敏度f（黑色），bf（灰色）和（L）的根x（红色虚线- q） h（x）=0，在指数OU模型（31）下：（a）依赖于α∈ [0.1，0.4]；（b） 对σ的依赖性∈ [0.1，0.4]；（c） 对λ的依赖性∈ [0.2，1.2]和（d）对c的依赖性∈ [0，0.04]。在所有图中，其他参数的设置如（32）所示。原木价格将更快地围绕其长期平均值θ移动。作为回应，投资者以较高的进入水平提前进入市场，以较低的水平退出，从而产生快速的往返，如图中所示，b范德比关于λ。此外，它们之间的距离随着λ的增加而缩小。从直觉上看，由于资产价格往往会迅速恢复到平均值，因此选择与平均值相差很远的进入和退出价格水平是没有意义的，因为执行的机会太低了。交易成本CI的影响如图4（d）所示，其中我们绘制了（bf、 x，bf） 作为c的函数。最佳清算级别b在最佳采集级别b时，F相对于C略有增加F在c中有所减少。解释一下，较高的交易成本阻碍了收购和清算，尽管其影响并不显著。然而，正如我们的分析所指出的那样，虽然总是有一个确定的最优清算价格b由于存在任何交易成本，高交易成本可能会使交易无法进行，从而排除市场进入。引理2.2的一个证明。继Dayanik和Karatzas（2003）之后，让我们定义∈ 一、 让我们定义h（z）：=h（x）φ-q（x），其中z=ψq（x）∈ R+。（34）通过（Dayanik和Karatzas，200 3，命题5.11），我们知道值函数v（x）：=supτ∈特克斯（e-rτh（Xτ）1{τ<∞}),由φ给出-q（x）^H（ψq（x）），其中^H（·）是R+上H（·）的最小非负凹主元。

另一方面，根据（Dayanik和Karatzas，2003年，第6节），我们得到h′（z）=σ（x）φ-q（x）（ψ′q（x））（（L- q） h（x）），对于z=ψq（x）。假设2.1意味着H（·）在（0，ψq（x））上是凸的，在（ψq（x）上是凹的，∞). 现在我们来研究H（·）在0和∞. 从（34）我们知道，1。如果h（l+）≥ 0，则h（l+）是有限的，h（0+）=limx↓左侧（x）φ-q（x）=0；2、如果h（l+）<0，则对于足够小的z>0，h（z）<0。此外，fromF（z）：=H（z）z=H（x）φ+q（x），其中z=ψq（x），对于足够大的z>0，我们知道H（z）>0。这里，函数F（·）在r+上是两次连续可微的，根据假设2.1，我们知道supz≥ψq（x）F（z）=F（z*) 对于一些z*∈ [ψq（x），∞). ObviouslyF（z*) > 0，这意味着H（z）=H（x）φ-q（x）>0表示所有z>z*因为h（·）是单调的。此外，z*必须满足新西兰第一订单条件*（H′（z*) - F（z*)) = 0。（35）现在定义函数▄H（z）=F（z*)z1{z<z*}+ H（z）1{z≥z*},由于（35），这在R+上明显是连续可区分和凹的。函数H（·）也位于R+，这在结构上很明显。因此，我们得出结论，H（·）是H（·）的最小凹主。因此，最佳停止区域由ψ给出-1q（{z∈ R+：H（z）=H（z）}）=（ψ-1q（z*), r） 。因此，x= ψ-1q（z*) 是最佳停止阈值。命题3.1的证明。证明与引理2.2相似。本着Dayanik和Karatzas（2003）的精神，我们通过在〔ψq（y）〕上构造H（z）的最小凹主函数，导出了最优值函数和s顶部区域，∞). 通过H（·）的凸性，我们知道这个凹主量由^Hy（z）给出=H（ψq（y））z（y）-zz（y）- ψq（y）+H（z（y））z- ψq（y）z（y）-ψq（y），z∈ （ψq（y），z（y）），H（z），z 6∈ （ψq（y），z（y）），（36），其中z（y）定义为z（y）：=inf arg maxz>ψq（x）H（z）- H（ψq（y））z- ψq（y）。

（37）因此，最佳停止区域由s给出，Ly=ψ-1q（R+\\（ψq（y），z（y）））=（l，y]∪ [ψ-1q（z（y）），r）。因此，最佳停止势垒由b（y）：=ψ给出-1q（z（y））。从备注3.1我们知道，对于l≤ y<y<x，等式为：（（l，y）∪ 【b（y），r）】≡ SS，Ly SS，Ly≡ （（l，y）∪ [b（y，r））。因此，b（y）是必要的≤ b（y）≤ b（l）=x*< r、 因为z（y）是（37）中目标函数中的内部最大化子，它必须满足一阶条件：z（y）-ψq（y）H′（z（y））-H（z（y））- H（ψq（y））z（y）-ψq（y）= 0。（38）得出（20）。作为y↑ x、 b（y）在[x，r]中共收敛到某个极限-) ≡ b> x，则h（·）在（ψq（x）上的凹度，∞) 意味着h′（ψq（b））≤H（ψq（b））- H（ψq（x））ψq（b）-ψq（x）。然而，将（38）中的极限取为y↑ x、 我们知道，上述不平等实际上是一种平等。这与H（·）的共模空穴一起意味着H（·）在[ψq（x），ψq（b）]上是一条直线，但是（通过z（y）的定义）我们必须有b（x-) = 辛斯特德。我们使用隐式微分来证明b（y）是严格递减的，并且在（l，x）上是可微分的。为此，我们表示z=z（y）和u=ψq（y），然后（38）中的一阶方程读取为asf（z，u）=0，其中f（z，w）=H′（z）-H（z）- H（u）z- u、 根据z的定义≡ z（y）我们有fu=H′（u）-H（z）- H（u）（z）- u） <0，fz=H′（z）-z- uf（z，u）=H′（z）<0。因此，我们知道z（y）是严格递减的，并且在ψq（y）中是可微分的。顺序词中，z（y）在y中是可区分的，对于ny y，z′（y）<0∈ （l，x）。推论4.1的证明。从orem 3.1我们知道'x 7→ b（f（(R)x））是严格递减的，且连续覆盖（f-1（l），f-1（x）），并且映射'x:7→ “”x在同一域上严格递增。

因此，差值D（\'x）：=b（f（\'x））- \'x是严格定义的，D（\'x）≥ D（x）>0表示所有x∈ （f）-1（l），x），以及提案3.1，lim'x↑f-1（x）D（(R)x）=x- f-1（x）<0。因此，我们可以定义bf： =inf{x<f-1（x）：D（(R)x）≤ 0}，和bf∈ （x，f-1（x）），so f（bf）≤ x、 现在，对于所有的x<bf、 通过建造bfwe有b（f（\'x））>\'x，通过定义z（f（\'x））≡ ψq（b（f（\'x）））在命题3.1的证明中，我们知道z（f（\'x））>ψq（\'x）。因为线段l连接（ψq（f（\'x））、H（ψq（f（\'x）））和（z（f（\'x））、H（ψq（f（\'x）））是H（·）的凹主元素的一部分，我们知道线段l连接（ψq（f（\'x））、H（ψq（f（\'x）））和（ψq（\'x））、H（ψq（\'x）），位于线段l下方，必须位于H（·）的图形下方ψq（(R)x）。这意味着H（·）在ψq（\'x）处的导数必须严格大于线段l的导数。也就是说，H′（ψq（\'x））>H（ψq（\'x））- H（ψq（f（\'x）））ψq（\'x）- ψq（f（(R)x））<=> Γ（(R)x）>0。另一方面，对于所有f-1（x）>？x>bf、 我们有b（f（\'x））<\'x。使用与上述类似的参数，我们知道z（f（\'x））=ψq（b（f（\'x）））<ψq（\'x）。由于直线段L连接（ψq（f（\'x））、H（ψq（f（\'x）））和（ψq（\'x）），H（ψq（\'x）））是连接凹函数^H（·）图上两点的直线段，它是H（·）在[ψq（f（\'x））上的最小凹主，∞), 我们知道^H′（ψq（\'x））=H′（ψq（\'x））<H（ψq（\'x））- H（ψq（f（\'x）））ψq（\'x）- ψq（f（(R)x））<=> Γ（(R)x）<0。用H（·），φ表示H（·）及其导数-q（·）、ψq（·）及其导数产生（21）并完成了这个过程。引理4.1的证明。让我们用平均值为1/q的eqan指数随机变量表示，它与X无关。

然后我们注意到e'x，'x（e-qρfh（Xρf）1{τ+X（b）<ρf}）=E'X，'X（h（Xρf）1{ρf<τ+X（b）∧等式}），E'x，'x（E-qτ+X（b）{τ+X（b）<ρf}）=P'X，'X（τ+X（b）<ρf∧ eq）。为了计算上面的右侧，我们考虑u下方的偏移量o f X（注意τ+X（u-) =inf{t>0:Xt≥ u} 是X到u的第一次击中时间：u={u（s）：=Xτ+X（u-)- Xτ+X（u-)+s} 0<s≤τ+X（u）-τ+X（u-),对于所有u≥ X=X=(R)X，其寿命ζ（u）：=τ+X（u）-τ+X（u-) > 0.当ζ（u）=0we se tu=, n个隔离点。然后过程{（u，u）}u≥“xis是一个具有跳跃测量u×dnu的泊松点过程，其中nu是u的偏移测量。定义Tf（u）：=inf{0<s<ζ（u）：u（s）>u-f（u）}。Salminen et al.（2007）和引理2.1 that，nu（eq<ζ（u））可知∧ Tf（u））=limx↑uu公司- x个1.- Ex（e-qτ+X（u）{τ+X（u）<τ-X（f（u））}）- 林克斯↑uEx（e-qτ-X（f（u））{τ-X（f（u））<τ+X（u）}）u- x=φ-,′q（u）φ-q（u）+1.-φ-q（u）φ-q（f（u））ψ′q（u）ψq（u）- ψq（f（u）），nu（Tf（u）<ζ（u）∧eq）=limx↑uEx（e-qτ-X（f（u））{τ-X（f（u））<τ+X（u）}）u- x=φ-q（u）φ-q（f（u））ψ′q（u）ψq（u）- ψq（f（u））。因此，nu（eq<ζ（u）∧Tf（u）或Tf（u）<ζ（u）∧eq）=φ-,′q（u）φ-q（u）-ψ′q（u）ψq（u）- ψq（f（u））。设A为所有偏移的空间，即Tf（u）<ζ（u）∧ eq和B是所有偏移的空间，即eq<ζ（u）∧ Tf（u）。我们有一个∩ B=. 包含一个泊松过程（时间由运行中的最大值X表示），每当当前偏移量达到nX时，该过程就会跳跃∈ A.∪ B、 从上述计算可知，该泊松过程具有跳跃强度nu（eq<ζ（u））∧ Tf（u）或Tf（u）<ζ（u）∧ eq）。

所以P'x，'x（τ+x（b）<ρf∧ eq）与此泊松过程没有跳跃的概率相同[(R)x，b），由exp给出(-Zb？xnu（eq<ζ（u）∧ Tf（u）或Tf（u）<ζ（u）∧ eq）du）=φ-q（(R)x）φ-q（b）扩展(-Zb'xψ′q（u）duψq（u）- ψq（f（u）））。此外，对于任何v∈ [(R)x，b），泊松过程在“时间”dv处因v而发生第一次跳跃的概率∈ A、 由EXP给定(-Zv？xnu（eq<ζ（u）∧ Tf（u）或Tf（u）<ζ（u）∧ eq）du）·nv（Tf（v）<ζ（v）∧eq）dv=φ-q（(R)x）φ-q（v）经验(-Zv'xψ′q（u）duψq（u）- ψq（f（u））×φ-q（v）φ-q（f（v））ψ′q（v）ψq（v）- ψq（f（v））dv=φ-q（(R)x）φ-q（f（v））ψ′q（v）ψq（v）- ψq（f（v））exp(-Zv'xψ′q（u）duψq（u）- ψq（f（u）））dv，与P'x，'x（xρf）相同∈ dv，ρf<τ+X（b）∧ eq）。通过将v积分到[(R)x，b上，证明就完成了。引理的证明4.2。让我们定义任何b≥ \'x\'H（ψq（\'x），b）：=H（ψq（b））exp(-Zb'xψ′q（u）duψq（u）- ψq（f（u））+Zb'xψ′q（v）H（ψq（f（v）））w（v）- w（f（v））exp(-Zv'xψ′q（u）ψq（u）- ψq（f（u））du）dv。很明显，\'H（ψq（\'x），\'x）=H（ψq（\'x））=H（\'x）φ-q（\'x），对于b>\'x，我们有Hf（ψq（\'x），b）在b中的右导数：b'H（ψq（'x），b）=ψ′q（b）exp(-Zb'xψ′q（u）duψq（u）- ψq（f（u）））H′+（ψq（b））-H（ψq（b））- H（ψq（f（b）））ψq（b）- ψq（f（b））.它允许b'H（ψq（'x），b）取决于Γ（b）=H′（ψq（b））-H（ψq（b））- H（ψq（f（b）））ψq（b）- ψq（f（b））。但后者对所有b<b的患者均为阳性f、 感谢推论4.1。因为H′（ψq（·））是连续的，所以Γ（·）也是连续的。所以我们知道uf（x，’x）φ-q（x）=H（ψq（(R)x），bf） =H（ψq（(R)x））+Zbf'xu'H（ψq（'x），u）du>H（ψq（'x））=H（x）φ-q（x），\'\'x<bf、 这就完成了证明。推论4.2的证明。

如果f（(R)x）<x≤ \'\'x<bf、 然后根据X的强马尔可夫性质，我们得到了pf（X，\'X）=Ex，\'X（[e-qτ+X（bf） h（Xτ+X（bf） （）- e-qρfh（Xρf）]1{τ+X（bf） <ρf<∞})=Ex，(R)x（e-qτ+X（bf） {τ+X（bf） <ρf}）h（bf）- 电子商务f、 b类f（e）-qρfh（Xρf）1{ρf<∞}),其中Ebf、 b类f（e）-qρfh（Xρf）1{ρf<∞}) = gf（bf、 b类f） 引理4.1中给出，这是有限的，因为我们知道它由vf（bf、 b类f） =h（bf） 。另一方面，通过（22）中的分析和引理4.1中的结果，我们得到了x，x（e-qτ+X（bf） {τ+X（bf） <ρf}）=φ-q（x）φ-q（b）f） ψq（x）- ψq（f（\'x））ψq（\'x）- ψq（f（(R)x））exp(-Zb公司f'xψ′q（u）duψq（u）- ψq（f（u）））。结合上述结果，我们得到了所要求的公式。如果f（\'x）<x和\'x≥ bf、 然后从定理3.1和定理4.1我们知道b（f（(R)x））≤ \'x，对于所有f（\'x）<x<b（f（\'x）），pf（x，\'x）=Ex（e-qτ+X（b（f（\'X））{τ+X（b（f（\'X）））<τ-X（f（(R)X））}）h（b（f（(R)x）））- Eb（f（\'x），\'x（e-qρfh（Xρf）1{ρf<∞}).通过使用L e mma 2.1，我们得到了-qτ+X（b（f（\'X））{τ+X（b（f（\'X）））<τ-X（f（(R)X））}）=φ-q（x）φ-q（b（f（(R)x）））ψq（x）- ψq（f（\'x））ψ（b（f（\'x）））- ψq（f（(R)x））。本案中的索赔来自Le mma 4.1。在最后一种情况下，f（\'x）<x，\'x≥ b风扇b（f（(R)x））≤ x个≤ \'x，o或f（\'x）≥ x和f（(R)x）<x≤ \'x，来自定理3.1和定理4。1我们知道问题（4）的最优停止规则是0，所以我们有pf（x，’x）=h（x）- Ex，(R)x（e-qρfh（Xρf）1{ρf<∞}).完成证明。引理4.3的证明。引理2.2的证明已经证明了H（·）的凸性，所以我们只需要证明Hf（·）的凸性。为此，我们回顾（30）h′f（z）=Hf（z）- H（Д（z））z- ^1（z），z∈ （0，zf） ，我们从中得到，对于z∈ （0，zf） ，dH′f（z）=Hf（z）-H（Д（z））z-Д（z）dz- H′（Д（z））dД（z）z- ^1（z）-Hf（z）- H（Д（z））（z- Д（z））（dz- dх（z））=Hf（z）- H（Д（z））z- ^1（z）- H′（Д（z））dИ（z）z- ^1（z）≥H（z）- H（Д（z））z- ^1（z）- H′（Д（z））dИ（z）z- ^1（z）。

（39）我们证明（39）中包含的表达为正，这意味着H′f（·）正在增加，因此Hf（·）是凸的。为了证明这一说法，我们注意到∈ （0，zf） ，我们有φ（z）<φ（zf） =ψq（f（ψ-1q（zf） ））=ψq（f（b）f） ）<ψq（x），得益于推论4.1。我们现在证明了连接（Д（z），H（Д（z）））和（z，H（z））的直线段保持在H（·）图的上方。假设不是，那么根据H（·）的凸性，只有当线段与H（·）的图相交两次，并且z>ψq（b（ψ））时，才可能出现这种情况-1q（Д（z））），后者是H（·）的切线与H（·）的图形相交的点。换句话说，ψ-1q（z）>b（ψ-1q（Д（z））。（40）另一方面，通过b（y）的单调性（见命题3.1），我们知道b（ψ-1q（Д（z））>b（ψ）-1q（Д（zf） ）=bf、 （41）我们使用b的定义翅片推论4.1。然而，（40）与（41）相矛盾。因此，连接（Д（z）、H（Д（z））和（z，H（z））的线段保持在H（·）图的上方。考虑到H（·）在Д（z）处为凸，我们知道该线段的斜率H（z）- H（Д（z））z-Д（z），大于H′（Д（z））。引理A.1。确定常数β±：=-δ±γ，其中δ=μσ-, γ=rδ+2qσ。那么，我们有β+>1和-- β-2γ，1- β-2γ∈ （0，1）。（42）证明。首先，因为g（1）=u- 当g（β）=σβ（β）时，q<g（β+）=0- 1） +μβ- q、 我们得出结论：1<β+。从δ<γ可以得出-β-= δ+γ<2γ，so-β-2γ<1。来自g(-）<g（β-) = 0，其中g（β）=σβ（β-1） +μβ-q、 我们知道这一点->β-. 此外，1-β--2γ=1+δ-γ=1+δ-qδ+2qσ<δ+1-qδ+2uσ=δ+1-√δ+2δ+1≤ 0，so1-β-2γ<1。示例4.1的证明。首先，我们验证了h（·）sa是假设2.1。为此，我们计算（L- q） h（x）=（u- q） x个- [σ（1+）- - q] Kx公司-，从中我们知道（12）成立。根据m Borodin和Salminen（2002），我们知道φ±q（x）=xβ±，ψq（x）=xβ+-β-= x2γ，（43），其中β±在引理A.1中定义。