带尾随止损的最优交易

首先，设h（x）=x- K表示某些常数K>0，X·为Black-Scholes模型，即u（X）=uX，σ（X）=σX表示所有X∈ I=R+，常数u<q，σ>0。其次，我们可以将h（x）=x和x·设为Ornstein-Uhlenbeck过程，即u（x）=λ（θ- x） σ（x）=x的σ∈ I=R，常数λ、σ>0和θ∈ R、 3固定止损的最优交易为了对（4）中问题的解决方法有一些直觉，我们首先考虑当投资者使用固定止损退出而不是跟踪止损时的最优止损问题。准确地、任意地固定∈ 一、 我们考虑以下一类由y索引的问题：Vy（x）：=supτ∈TSyEx（e-qτh（Xτ）1{τ<∞}), （14） 式中，Tsy是X的所有停止时间的集合，其停止时间不晚于到水平y的第一次通过时间，即τ-X（y）=inf{t>0:Xt<y}，（15）和c∈ [0，supx∈I（Vy（x）- h（x）））是资产收购的交易费。（14）中的问题提出了一个从上到下达到固定止点的液位限制。报酬函数h（x）=x的（14）问题的特例- Cartea等人（2015）研究了由OU和CIR过程驱动的c；Leung和Li（2015）；Leung等人（2014、2015）。在本节中，我们将分析由一般线性差异驱动的问题（1 4）。3.1存在止损的最优清算我们现在研究最优清算问题（14），其中X遵循一般线性微分（见（1））。为了便于我们的分析，我们还考虑了（14）对于y=l的扩展情况，在这种情况下，我们有vl（x）=supτ∈特克斯（e-qτh（Xτ）1{τ<∞}). （16） 注意，值函数Vl（·）已经在引理2.2中推导出来了。备注3.1。对于每个固定x∈ 一、 映射y 7→ Vy（x）明显不随[l，r]增加。备注3.2，（4）和（14）之间的关系如下所示。

对于任意x，(R)x∈ 我这样认为∈ （f（\'x），\'x]，通过Px，\'x-a.s.不等式ρf≤ τ-X（f（(R)X）），我们知道TTf TSf（(R)x）。因此，vf（x，(R)x）≤Vf（(R)x）（x）。因此，如果我们确定最佳清算区域ST，Lf（(R)x）：={x∈ （l，’x）：vf（x，’x）=h（x）}，\'\'x∈ 一、 （17）SS，Ly：={x∈ I:Vy（x）=h（x）}，y∈ 一、 （18）众所周知，如果u≥ q、 那么最优停止区域就是空集。那么我们有不锈钢，Lf（(R)x）∩（长，’x】 ST、Lf（(R)x），(R)x>0。此外，如果'x∈ SS，如果（\'x），那么我们有不锈钢，Lf（(R)x）∩ （长，’x】= ST，Lf（(R)x），因为在这种情况下，最好在x达到新的最大值之前清算。提案3.1。根据第2.1条，对于任何固定的y∈ （l，x），有一个确定的阈值b（y）∈ （x，r）使得vy（x）=Ex（e-q（τ+X（b（y））∧τ-X（y））h（Xτ+X（b（y））∧τ-X（y））），x个∈ 一、 （19）这里b（y）可以被确定为（x，r）到h′（b）的最小解-h（b）φ-,′q（b）φ-q（b）=φ-q（b）ψ′q（b）ψq（b）- ψq（y）h（b）φ-q（b）-h（y）φ-q（y）. （20） 此外，映射y:7→ b（y）在（l，x）上呈三次递减且可微分，极限为b（x-) = x、 和b（l+）≤ x个*< r、 其中x*引理2.2中定义。推论3.1。如果y∈ [x，r），然后停止区域SS，Ly=I，即没有连续区域。4具有后续停止的最优交易在本节中，我们应用我们获得的结果来研究最优清算问题（4）和最优收购问题（8）。4.1最优清算返回到（4）中的问题，我们将首先使用Theo rem 3.1中的结果构建一个候选的thr esholdtype策略，以便在尾部停止ρf推论4.1之前进行清算。有一个u nique bf≥ x当且仅当'x<b时，确定b（f（'x））>'xf、 此外，bfcan被确定为（x，f）上的唯一解决方案-1（x））至Γ（(R)x）=0，其中Γ（(R)x）：=ψ′q（(R)x）h′（\'x）φ-q（(R)x）-h（(R)x）φ-,′q（(R)x）（φ-q（(R)x））-ψq（(R)x）- ψq（f（(R)x））h（(R)x）φ-q（(R)x）-h（f（(R)x））φ-q（f（(R)x））.

（21）此外，如果l<x<b，则Γ（\'x）>0f、 如果f，则Γ（(R)x）<0-1（x）>？x>bf、 备注4.1。我们简要地解释了b此处为翅片推论4.1。与其用t形栏杆挡块（4）最优地解决停车问题，不如考虑一种次优、短视的策略。当ny=f（x）时，将考虑的策略是定理3.1中给出的最优策略，其中x是运行最大值的初始水平。我们称这种策略为短视策略，因为该策略是通过设定止损水平来获得的，而不是允许止损水平随着运行最大值移动。通常，除非初始最大值已经足够高，否则在没有为运行最大值建立新的高值的情况下，不可能达到最佳m yopic停止阈值。注意，在期望值（19）中，我们没有指标1{τ+X（b（y））∧τ-X（y）<∞}, 因为它几乎肯定等于1。阈值bfis是临界水平，超过临界水平，上述短视策略将成为最佳策略。实际上，当初始运行最大值x=b时f、 y=f（b）时固定止损水平的最佳止损阈值f） I恰好位于bf、 因此，（21）是通过在b=x和y=f（x）时施加（20）保持来获得的。现在让我们假设'x≥ bf、 n，1。如果我们仍然有f（(R)x）<x，那么通过定义b根据C orollary 4.1，我们有b（f（(R)x））≤ 因此，通过备注3.2，h（x）≤ vf（x，(R)x）≤ Vf（(R)x）（x），x、 \'\'x∈ I带x≤ \'x，（（l，f（\'x）]∩ [b（f（\'x）），\'x]）≡不锈钢，Lf（(R)x）∪（长，’x】= ST，Lf（(R)x）。2、如果f（(R)x）≥ x、 然后，通过协罗利3.1，我们可以使用与上述相同的参数得出以下结论（l，’x】≡不锈钢，Lf（(R)x）∩ （长，’x】= ST，Lf（(R)x）。因此，我们得到以下定理：定理4.1。

根据假设2.1，对于x，(R)x∈ I带x≤ \'x和\'x≥ bf、 我们有vf（x，’x）≡ Vf（(R)x）（x）。因此，最佳停止时间是ρf∧ τ+X（b（f（(R)X）））。在下面的情况中，我们考虑剩余的情况l<x≤ \'\'x<b我们将建立存储规则τ+X（b）的最优性f）∧ ρf。为此，我们首先计算该策略的相关值，由uf（x，(R)x）表示。特别地，利用X的强马尔可夫性质，应用引理2.1，我们得到了anyx∈ （f（\'x），\'x），其中\'x<bf、 uf（x，\'x）：=Ex，\'x（e-r（ρf∧τ+X（bf） ）h（Xρf∧τ+X（bf） ）））=h（f（(R)x））Ex（e-qτ-X（f（(R)X））{τ-X（f（\'X））<τ+X（\'X）}）+uf（\'X，\'X）Ex（e-qτ+X（\'X）{τ+X（\'X）<τ-X（f（(R)X））}）=φ-q（x）h（f（(R)x））φ-q（f（'x））ψq（'x）- ψq（x）ψq（(R)x）- ψq（f（\'x））+uf（\'x，\'x）φ-q（(R)x）ψq（x）- ψq（f（\'x））ψq（\'x）- ψq（f（(R)x））, （22）其中fo r'x<bf、 我们有uf（\'x，\'x）φ-q（(R)x）=h（bf） φ-q（\'x）E\'x，\'x（E-qτ+X（bf） {τ+X（bf） <ρf}）+φ-q（\'x）E\'x，\'x（E-qρfh（Xρf）1{ρf<τ+X（bf） }）。（23）（23）中的两个期望值可以使用偏移理论的标准计算来计算：引理4.1。对于任何b>x，我们有e'x，'x（e-qρfh（Xρf）1{ρf<τ+X（b）}）=φ-q（(R)x）Zb'xh（f（v））φ-q（f（v））ψ′q（v）ψq（v）- ψq（f（v））exp(-Zv'xψ′q（u）duψq（u）- ψq（f（u）））dv，andE'x，'x（e）-qτ+X（b）{τ+X（b）<ρf}）=φ-q（(R)x）φ-q（b）扩展(-Zb'xψ′q（u）duψq（u）- ψq（f（u）））。特别是，作为b→ r我们获得普通尾随止动块（在（6）中定义）的值gf（\'x，\'x）=φ-q（'x）Zr'xh（f（v））φ-q（f（v））ψ′q（v）ψq（v）- ψq（f（v））exp(-Zv'xψ′q（u）duψq（u）- ψq（f（u）））dv，对于f（(R)x）<x≤ \'x，gf（x，\'x）=φ-q（x）（hf（(R)x））φ-q（f（'x））ψq（'x）- ψq（x）ψq（(R)x）- ψq（f（\'x））+gf（\'x，\'x）φ-q（(R)x）ψq（x）- ψq（f（\'x））ψq（\'x）- ψq（f（(R)x））.确定τ+X（b）的最优性f）∧ ρfwhen 0<x≤ \'\'x<bf、 我们需要证明规则uf（x，’x）的值支配奖励函数h（x）。这个主张可以用（22）和b的最优性来证明f（见推论4.1）。引理4.2。

对于所有'x∈ （l、bf） 和x∈ （f（\'x），\'x]，我们有uf（x，\'x）>h（\'x）。引理4.2说，直到τ+X（bf）∧ ρfyields正“时间值”uf（x，(R)x）- 对于所有f（(R)x）<x，h（x）>0≤ \'\'x<bf、 所以这个区域应该是最优延拓区域的一部分。一方面，在击中b之前f、 这个区域显然是最大可能的延续区域。此外，上击bfwe具有“x=b”f、 这个例子已经在定理4.1中处理过了，它建议在τ+X（b）处立即映射f） 。所以我们知道停止时间τ+X（bf）∧如果'x<b，则问题（4）的ρfis最优f、 定理4.2。在假设2.1下，对于所有l<x≤ \'\'x<bfthat，vf（x，(R)x）≡ uf（x，’x）=Ex，’x（e-q（τ+X（bf）∧ρf））h（Xτ+X（bf）∧ρf），其中bfis在推论4.1中定义。此外，映射f 7→ bfis在所有功能中均不增加（2）。证据唯一需要证明的是f 7的单调性→ bf、 但这是由于备注2.2和最佳停止区的结构。推论4.2。引理4.1中给出的普通尾随止动块gf（x，(R)x）的值是有限的。此外，对于anyf（(R)x）<x≤ \'\'x<bf、 PF（x，’x）=φ给出的尾随止损点ρfis的早期清算溢价-q（x）φ-q（b）f） ψq（x）- ψq（f（\'x））ψq（\'x）- ψq（f（(R)x））exp（Zbf'x-ψ′q（u）duψq（u）- ψq（f（u）））h（bf）-gf（bf、 b类f）,其中gf（bf、 b类f） 引理4.1给出。如果f（\'x）<x，\'x≥ bfand f（'x）<x<b（f（'x））（关于b（y）的存在，请参见命题3.1），然后给出尾随止损ρfispf（x，'x）=φ的早期清算溢价-q（x）φ-q（b（f（(R)x）））ψq（x）- ψq（f（\'x））ψ（b（f（\'x）））- ψq（f（\'x））（h（b（f（\'x）））- gf（b（f（\'x）），\'x））。最后，如果f（\'x）<x，\'x≥ b风扇b（f（(R)x））≤ x个≤ \'x或f（\'x）≥ x和f（(R)x）<x≤ \'x，则早期清算溢价m给定尾部停止ρfispf（x，\'x）=h（x）- gf（x，(R)x）。备注4.2。

如果（13）中的第一个不等式为等式，则最佳阈值bF可能在边界r处，在这种情况下，最好不要在尾随停止之前清算。也就是说，pf（x，’x）=0对于所有x，’x∈ I这样x∈ （f（\'x），\'x）]。4.2带尾随停止的最优捕获在本节中，我们解决了与带尾随停止的捕获相关的最优停止问题，如下所示：v（1）f（x）=supτ∈特克斯（e-qτ（vf（Xτ，Xτ）- hb（Xτ））1{τ<∞}), （24）式中，T是X和supx的所有停止时间的集合∈I（vf（x，x）- hb（x））>0。让我们用尾随停止asST，Af来确定最佳采集区域：={x∈ I:v（1）f（x）=vf（x，x）- hb（x）}。在（Dayanik和Kara tzas，2003，命题5.10）和（23）之后，为了确定ST，Af，必须获得h（1）（z）的最小凹主分量：=vf（x，x）- hb（x）φ-q（x），其中z=ψq（x）∈ R+，x∈ 一、 （25）根据定理4.1，我们知道对于x≥ bf、 我们有vf（x，x）- hb（x）=h（x）- hb（x）≤ 0，所以我们必须有ST，Af I \\[bf、 r）=（l，bf） 。因此，如果我们表示byzf： =辅助参数最大值∈R+H（1）（z）。（26）那么我们有H（1）（zf） >0（因为supx>0（vf（x，x））- hb（x））>0），andzf∈ [0，ψq（bf） ，以及H（1）（·）在[z]上的最小凹主f∞) 必须由常数函数H（1）（z）给出f） 所以我们可以推导出ST，Af （l，ψ-1q（zf） 】。然而，由于缺乏关于H（1）（·）凹度的信息，在一般差异项下没有关于ST，Af的进一步信息。事实上，如下面引理4.3所示，即使在特殊情况下，hb（·）≡ h（·），函数h（1）（·）在（0，ψq（b）上f） ）是（0，ψq（b）上的凸函数Hf（·）之间的差f） ）和一个函数H（·），该函数在（0，ψq（x））上是凸的，在（ψq（x），ψq（b）上是严格凹的f） ，所以我们只知道H（1）（·）在（ψq（x），ψq（b）上是凸的f） ，但（0，ψq（x））上此函数的凹度对我们不可用。引理4.3。

考虑函数hf（z）：=vf（x，x）φ-q（x），H（z）：=H（x）φ-q（x），其中z=ψq（x）∈ R+。（27）那么Hf（·）在（0，ψq（b）上是凸的f） ，H（·）在（ψq（x）上是强凹的，∞) 且在（0，ψq（x））上是凸的。备注4.3。如果X遵循Black-Scholes模型，漂移u<q，波动率σ>0，那么正如inLeung等人（2015年）所述，在给定h（X）=X的情况下，获取股票永远不是最优的- cs和hb（x）=x+cb，交易费cs>0和cb≥ 为了看到这一点，我们回忆起vf（x，x）<V（x）=1{x<b}（xb）β+（b- cs）+{x≥b} （十）-cs），其中β+=δ+qδ+2qσ>1，δ=μσ-, b=βcsβ-1、V（·）的凸it y意味着V（x）-h（x）<所有x的Cs∈ R+，so vf（x，x）-h（x）<所有x的Cs∈ R+，对于满足（2）的任何楼层函数f（·）。因此，我们有vf（x，x）-hb（x）=vf（x，x）-h（x）- （cb+cs）<- cb公司≤ 0，因此问题（24）的Payoff函数在整个R+中为负值，产生一个空的最佳停止区域。对于一些其他形式的h（·），可以获得问题（24）的非空停止区域（参见下面的示例4.1）。示例4.1。假设u（x）=ux，σ（x）=σx，h（x）=hb（x）=x- Kx公司-对于所有x∈ 我≡ R+，其中u∈ R使得u<q，σ，K>0和≥ 0 s uch thatσ（+1）-- q<0。设f（x）=（1）- α） 某些α的x∈ （0，1）。那么我们有ST，Af=（0，bf] ，其中bf： =ψ-1q（zf） 带Zfgiven in（26），或等同于zfas是附录中（50）的唯一根。也就是说，对于所有x∈ Iv（1）f（x）=Ex（e-qτ-X（b）f） （vf（Xτ-X（b）f） ，Xτ-X（b）f） （）- hb（Xτ-X（b）f） ））1{τ-X（b）f）<∞}).一般来说，可以通过数值计算，逐个分析H（1）（·）（以及最佳停止区域）的凹度。为了证明这个想法，让我们定义一下f： =ψq（bf） ，ψ（z）：=ψq（f（ψ-1q（z）），z∈ R+。（28）很明显，Д（·）是一个递增函数，使得0<Д（z）<z。

从Le mma 4.1开始，我们为allz∈ （0，zf） Hf（z）=exp(-Zz公司fzdνν- ν（ν））H（zf） +ZzfzH（ν（ν））exp(-Zνzdww-ν（w））dνν- ν（ν），（29），其中Hf（·）在（27）中定义。求H（1）（z）=Hf（z）的最小凹主- H（z）-c/φ-q（ψ）-1q（z）），我们需要数值计算Hf（·）。为此，将（29）改写为等效的一阶线性ODE形式将更加方便：H′f（z）=Hf（z）- H（Д（z））z- ^1（z），z∈ （0，zf） ，受制于Hf（zf） =H（zf） 。（30）然后，我们可以使用Mathematica的NDSolve命令有效地计算H（1）（·）及其导数的值。5案例研究：在指数entialOU模型下的尾随止损交易在本节中，我们将第4节中的结果应用于指数Ornstein-Uhlenbeck（OU）模型：dXt=Xtλ（θ- 对数Xt）+σdt+σXtdWt，X=X∈ 我≡ R+，（31），其中W是标准布朗运动，λ，σ>0是正常数，θ∈ R是对数价格的长期平均值log X:d（log Xt）=λ（θ- log Xt）dt+σdWt。该程序可以方便地推广，以考虑收购和清算问题的不同贴现率。0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4123（a）Hf（z）vs.H（z）1.5 2.0 2.5 3.01.52.02.53.0（b）vf（x，x）vs.H（x）0.5 1.0 1.5 2.0-0.050.050.100.150.20（c）H（1）（z）及其凹面主体1.5 2.0 2.5 3.00.20.40.60.81.01.2（d）v（1）f（x）vs.0 vf（x，x）- hb（x）图2：指数OU模型下的数值结果（31）：（a）函数H（z）（虚线灰色）和Hf（z）（实心黑色）的曲线图。“粘贴点”ψq（bf） =1.0674由黑点表示。（b） 奖励函数h（x）（da shed gray）和价值函数vf（x，x）（实心黑色）的曲线图。“粘贴点”为bf=2.8845（黑点）。（c） 奖励函数H（1）（z）（虚线灰色）及其最小凹面（实心黑色）以及“粘贴点”z的绘图f=0.5441（黑点）。

（d） 奖励函数vf（x，x）的曲线图-hb（x）（虚线灰色）和值函数v（1）f（x）（实心黑色）以及“粘贴点”bf=1.9488（黑点）。参考（9），众所周知（见Borodin a and Salminen（2002）第542页），φ+q（x）=eλ2σ（y-θ） D-qλ(√2λσ（y- θ） ），φ-q（x）=eλ2σ（y-θ） D-qλ(√2λσ（θ- y） ，其中y=对数x，Dν（·）是带参数ν的抛物柱面函数。我们对最优清算和收购一个单位的风险资产感兴趣，该资产的价格由X建模。为此，我们假设（X）=X- c、 hb（x）=x+c，x个∈ 一、 其中c≥ 0是买卖的交易成本。那么，对于任何q>0（L- q） h（x）=λ（θ- 对数x）+σ- qx+qc，x个∈ 一、 这是一个范围等于R的三次递减函数。此外，通过Dν（·）的渐近行为（参见Temme（2000）的方程（1.8）），我们知道奖励函数h（·）满足假设2.1。大量相关研究，如张和张（2008）；Zervos等人（2013年）；Leung和Wang（2018）还分析了OU或Exponential OU模型下的最优低买高卖策略，无论有无固定止损退出。与之相比，我们研究了一个不同的最优停止问题，该问题由于尾部停止而具有arandom成熟度。5.1价值函数和最优策略在购买资产时，我们设置了一个百分比提取后续停止，即f（x）=（1- α） x，其中α∈ （0，1）是常数。在本研究中，我们选择以下参数值：λ=0.6，θ=1，σ=0.2，q=0.0 5，c=0.02，α=0.3。（32）这意味着我们将在资产价格从收购以来的最高运行价格下降不超过30%的情况下清算资产。在图2（a）中，我们绘制了（27）中定义的函数H（·）。

我们还绘制了（23）中定义的函数Hf（·）（另请参见（29）），该函数是通过首次求解方程（21）得到的，f（x）=（1- α） x forbf（=2.8845），然后使用ODE（29）以数字方式获得Hf（·）。我们注意到，与固定止损水平的值函数（定理3.1，另见Leung和Li（2015）），函数Hf（·）不凹于（0，ψq（bf） ）。这是因为，虽然φ-q（x）Hf（ψq（x））=vf（x，x）是最优停止问题（4）的值函数，当n x=(R)x时，它不会产生（Xt，Xt）的鞅，这需要使用函数vf（x，x），而不是vf（x，x）。在图2（b）中，我们绘制了最优清算问题（4）的奖励函数h（x）和价值函数vf（x，x），x=(R)x。在图2（c）中，我们绘制了（25）中定义的当前指数OU模型下的函数h（1）（z）。通过数值检验函数的导数，我们得出结论，它在其最大点的左侧是凹的。因此，s最大凹主量由^H（1）f，q（z）=H（1）（z）给出∧zf） ，则，z∈ R+。因此，在这种情况下，最佳收购策略是在价格低于B时购买资产f=1.9488。在图2（d）中，我们绘制了函数vf（x，x）- hb（x）a和值函数v（1）f（x），用于最优捕获问题（8），“粘贴点”位于ψ-1q（(R)zf） =1。总之，对于参数如（32）所示的e xp单一OU模型（31），最佳交易策略是在价格低于ψ时购买资产-1q（(R)zf） =1.9488，并将30%的跟踪站订单设置为退出计划，然后等待，直到激活跟踪站或价格达到目标bf=2.8845。最后，在图3中，我们绘制了ρf的早期清算溢价∧ τ+X（bf） 当x=(R)x时，在普通尾随停止点ρfw上。这测量问题（4）中结果的“值”。