一类含流形的多状态模型的保费估值

设Cout（p，i，m）=-p·C（¨1，i，m），其中矩阵C（¨1，i，m）由以下列组成（j=1，2，…，N*)C（¨1，i，m）Jj=（0，…，0，1 |{z}δ（1，i），1，1，1 |{z}米-1，0，0）t对于j=i（0，…，0）t对于j 6=i。假设保费可能在保险期ifX的前m个单位内支付*（k） =我和我∈ Sp，我们有cout=Xi∈Sp公司∧δ（1，i）<mCout（p，i，m）=-pXi∈Sp公司∧δ（1，i）<mC（¨1，i，m）。（12） 将（12）应用于方程（11）的左侧，我们得到了mtdiagpXi∈Sp公司∧δ（1，i）<mC（¨1，i，m）DT公司S==pXi∈Sp公司∧δ（1，i）<mMTDiagC（¨1，i，m）DTS=pXi∈Sp公司∧δ（1，i）<mMTnXk=0Ik+1ITk+1C（¨1，i，m）DTIk+1。（13） 注意ITK+1C（¨1，i，m）DTIk+1=IP*i（k）表示k=δ（1，i），δ（1，i）+1，m级- 10表示k=0，1，δ（1，i）- 1和k=m，m+1，n、 （14）组合（8）和（14）至（13）导线topXi∈Sp公司∧δ（1，i）<mMTnXk=0Ik+1ITk+1C（¨1，i，m）DTIk+1==pXi∈Sp公司∧δ（1，i）<mMTm-1Xk=δ（1，i）Ik+1ITk+1DJi=pXi∈Sp公司∧δ（1，i）<百万吨m级-1Xk=δ（1，i）Ik+1ITk+1DJi。然后通过引理1和（11），我们直接得到（10）。这就完成了证明。定理1将[5]的发现推广到保费不仅在初始状态下支付的情况。定理1中导出的矩阵形式不仅为pSp提供了一个简洁的公式，而且还分解了保险合同产生的总支付流精算值的双重随机性。矩阵D只取决于过程{X的分布*（t） ，而M只取决于利率。

此外，矩阵C取决于现金流，并描述了保险合同的类型（案例）。4应用在本节中，我们将定理1中得出的结果应用于可怕的疾病保险，例如针对肺癌的关键保险。4.1可怕疾病保险精算模型可怕疾病（或“重大疾病”）保单为投保人提供一笔总额，以防可怕疾病包括在保单条件规定的一组疾病中，如心脏病发作、癌症或中风（见[2]、[9]、[13]、[14]）。通常，本保险产品的条件规定，福利是在诊断特定条件时支付的，而不是在违约时支付的。这意味着可怕的疾病政策不能满足任何特定需求，也不能保护投保人免受收入损失或医疗费用报销等财务损失。个人重大疾病保险可以采取两种主要形式之一：单独投保或基本人寿保险的附加福利。附加福利（也称为生活福利）可以加速基本人寿保险的全部或部分（加速死亡福利-ADB），也可以是额外的福利。可怕疾病保险是一种长期保险，因此对药物的发展很敏感，并非所有可怕疾病都像几年前那样致命。因此，保险公司为获得与严重疾病相关福利的权利引入了严格的条件。其中一个普遍的条件是，不仅在诊断上，而且在直接取决于患者未来预期寿命的疾病阶段，支付福利。然后，保险人必须考虑可怕疾病患者的死亡概率取决于疾病的持续时间。

让我们回顾一下，在用于重大疾病保险的经典符号中，状态用字母标记，其中a表示被保险人是活跃的（或健康的），i表示被保险人生病并患有可怕的疾病，d与被保险人的死亡有关；参见例如[9]、[14]。在本文中，我们区分状态D（O，D）-被保险人患病死亡，其预期未来寿命至少为4年（es≥ 4） 或由于其他情况，and（DD）-被保险人患病死亡，其预期未来寿命少于4年（es<4），其中esis是s岁的人的预期未来寿命。此外，在【6】之后，状态i分为五个状态：iD-被保险人患病，其预期未来寿命至少为4年（es≥ 4） 。在这一阶段，尽管无法恢复健康状态，但疾病仍有可能得到缓解。iDD（h）（h=1、2、3、4）-被保险人身患绝症，预期寿命少于4年-（h）- 1） 年。在这一阶段，疾病很难缓解。这导致了在[6]中推导出的可怕疾病保险的多状态模型；见图1。请注意，iDD（h）状态为REF FLEX（这是严格的过渡状态，在一个单位的时间后，被保险风险离开该状态）。将四个州的iDD（h）进行分类是因为通常情况下，保险人会向预期未来寿命不超过四年或两年（取决于医疗情况）的参保病人支付福利。对临终病人定义的不同结果。一方面，例如，预期寿命超过4.5岁的HIV阳性患者，被视为健康状况相对较好的患者。

另一方面，医疗保健中的绝症一词指的是患有严重疾病的人，其最大寿命预计不会超过2年。iDD（4）iDiDD（1）iDD（2）iDD（3）d（DD）ad（O，d）ccλ+1{λ=0}cadc（1-λ）c（1-λ）c（1-λ）c（1-λ）cλ+1{λ=0}cadciDD（4）IDIDDD（1）iDD（2）iDD（3）d（DD）ad（O，d）ccλc（1-λ）c（1-λ）c（1-λ）c（1-λ）cλc1{λ=0}b1{λ=0}b1{λ=0}b1{λ=0}ba_具有CI一次性福利的MSM b_具有CI年金福利的MSM c_状态空间计算后的MSM图1：具有DD福利的可怕疾病保险的多状态模型。重大疾病保险的一般多状态模型包括疾病一次性给付（图1a）和疾病年金福利（图1b）。弧形旁边是与州际过渡相关的标记福利，其中c是一笔给定的总额（死亡福利），CADI是一笔额外的总额（疾病福利）。为了避免“超额支付”的情况（当死亡发生在疾病开始后很短的一段时间内，直到可怕疾病的末期），单一现金支付CADI被一系列付款b（年金）所取代，这些付款与iDD（h）州的保险风险保持相关。特别是，图1b中的模型可应用于年金收益增加（b<b<b）或减少（b>b>b>b）的重大疾病保险合同，其中bj是在j=3、4、5、6状态下实现的年金率。按λ∈ [0，1]我们表示所谓的加速度参数。可怕疾病诊断后，应支付金额cλ+1I{λ=0}CAD，而剩余金额c（1- λ） 如果两个随机事件都发生在保单期限n内，则可在死亡后支付。请注意，图1所示的多状态模型涵盖了所有形式的DD保险。即，如果λ=0，则模型将附加效益描述为附加效益。

如果0<λ<1，则该模型将arider福利描述为基本人寿保险部分的加速。当λ=1时，该模型成为独立盖。在这种情况下，国家iDD（1）正在吸收，因为在晚期可怕疾病诊断后，整个保险范围立即停止。为了简化符号，让我们根据图1c标记状态。由于图1c中所示的多状态模型非常广泛，为了确定适当的精算值，值得使用矩阵表示法。为此，我们对模型进行了修改，将一次性福利替换为与在特定州保留被保险风险相关的福利（根据[5]中所述的程序）。因此，修改后的多重资产模型*, T*) 可怕疾病保险采用图2a所示的形式（含DD一次性福利）。按照提出的扩展多州模型的程序，D（1）iDD（4）a.具有DD一次性收益的EMSM B。状态空间IDIDD（2）iDD（3）acλ+1{λ=0}cadc（1-λ）cd（O，D）D（O，D）+D（DD）D（DD）+图2：可怕疾病保险的扩展多状态模型。在文献[5]中，我们引入了状态d（O，d）+和d（DD）+。状态d（O，d）+表示患病被保险人死亡，其预期未来寿命至少为4年（es≥ 4） 。如果投保风险处于这种状态，则支付死亡抚恤金c。该模型中的状态d（O，d）表示被保险人已死亡至少一年。虽然州d（O，d）+和州d（d，O）处理的是同一事件，但它们的区别在于，只有当投保风险处于规定的（O，d）+时，才能实现总额。对状态d（DD）+和d（DD）进行相应的解释。请注意，d（O，d）+和d（DD）+是指。

由于iDD（1）是反射状态，因此无需创建状态iDD（1）+。具有可怕疾病年金福利的扩展多状态模型与图2a相同。为了简化下面的符号，我们列举了集合空间，如图2b所示。4.2针对肺癌风险的可怕疾病保险在发达国家恶性肿瘤是导致死亡的第二大原因（仅次于心血管疾病）；参见【6】。特别是，肺癌属于发病率和死亡率最高的肿瘤。在许多欧洲国家，乳腺癌在男性人口中发病率最高，在女性人口中发病率仅次于乳腺癌。此外，肺癌是一种预后不良的肿瘤。由于肺癌的高发病率和死亡率，以及诊断后相对较短的生存时间，肺癌是致命疾病的一个完美例子，可以通过DD保险来覆盖。在分析肺癌的病因时，应考虑年龄、性别和居住地区。流行病学数据显示，囚犯的发病率是女性的数倍。此外，发病率在很大程度上取决于年龄。肺癌在40岁以下的患者中很少发生，到40岁后发病率开始增加。发病高峰发生在生命的第六和第七个十年。地理数据分析表明，欧洲不同地区的发病率和死亡率存在显著差异。

例如，在波兰，发病率和死亡率在特定省份之间存在显著差异（voivodships）。在肺癌DD疾病保险的情况下，模型（如图2b所示）有六种状态与被保险人的健康状况相关，这意味着被保险人：1-活着，没有患上恶性肺癌，2-被诊断为肺癌，但没有发现淋巴结、脑、骨或所谓的远处转移，3-被诊断为肺癌，并观察到存在远处转移，其预期寿命小于4年（ey<4），4-患有远处转移的肺癌，ey<3,5-患有远处转移的肺癌，ey<2,6-患有远处转移的肺癌，ey<1，其他状态与被保险人的死亡有关。在[6]之后，为了估计转移矩阵Q的元素*（k） 我们使用了数据库【15】、【17】和【3】。Q中的跃迁概率*（k） 可以使用多增量-递减表（或多状态寿命表）确定。该表是指图1c中（S，T）的x岁老人，其形式如下（参见【6】）lx+k，lx+k，lx+k，lx+k，lx+k，lx+k，dx+k，dx+k，dx+k，dx+k，dx+k，dx+k，dx+k，dx+k，dx+k，dx+k，dx+kk≥0（15）其中lix+kdenotes表示x+k岁时在i州的生命数，dijx+kdenotes表示x+k岁时的生命数，在[x+k，x+k+1]期间离开i州并转移到j州。请注意，在应用（S，T）延长程序后，8州在（S）成为9州*, T*) （参见图2b）。因此，对于*, T*) 多重增量减量表如下lx+k，lx+k，lx+k，lx+k，lx+k，lx+k，dx+k，dx+k，dx+k，dx+k，dx+k，dx+k，dx+k，dx+k，dx+k，dx+k，dx+kk≥0

（16） 通常，多重增量-减量表是指多状态模型（S，T）的x岁老人，由描述每个瞬态i的函数组成∈ S、 看来寿命表（15）足以描述模型的概率结构*, T*)如图2b所示，尽管该表不包含lx+k、dx+k和lx+k、dx+k。这是可能的，因为状态7和9都是反射的（即i是瞬态的，q*ii（k）=0），只有一种离开的可能性。因此，lx+kand dx+kare由dx+kand dx+kin明确定义为lx+k=dx+k-1+dx+k-1=dx+k。相应地，lx+kand dx+kare通过关系lx+k=dx+k连接-1+dx+k+dx+k-1+dx+k=dx+k{X的转移矩阵*（k） }对于图2b中所示的DD疾病保险模型，其格式如下*（k）=q*（k） q*（k） q*（k） 0 0 0 q*（k） 0 0 00 q*（k） q*（k） 0 0 0 q*（k） 0 0 00 0 q*（k） 0 0 0 0 q*（k） 00 0 0 0 q*（k） 0 0 0 q*（k） 00 0 0 0 0 q*（k） 0 0 q*（k） 00 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1, （17） 其中Qij（k）=lix+k+1-Pj：（i，j）∈Tdijx+klix+kfor j=idijx+klix+kfor j 6=i，以及lix+k，dijx+kcome from（16）。如果多状态寿命表不可用，则估算Q*（k） 是必需的。我们参考文献[6]，其中详细分析了肺癌疾病的多个递增递减表（15）中的该问题。4.3净保费在下文中，我们分析了三种情况，其中-只有在X*（k） =1（被保险人健康/活跃），即Sp={1}，-仅当X*（k） =1，2（被保险人健康或没有肺癌伴远处转移），即Sp={1，2}，-如果X*（k） =1，2，6（被保险人活着，独立于他的健康状况），即。