不经过对偶问题的效用最大化

假设3.10中的问题。重新调用U（0）=0。设1>θ>α为θ/（1）- θ） =r.Let K≥ 0.对于任意随机变量x，使用等式x≤ K我们可以使用H"older和Fenchel不等式以及初等（x+y）θ来估计≤ xθ+yθ，xα≤ xθ+1，x，y≥ 0，EU（X+）≤ D[EXθ++2]≤ D[C（EQX+）θ+2]≤ （19） D[C（等式x-+ K） θ+2]≤ DC[（EQX-)θ+Kθ]+2D≤DC[（EΦ（dQ/dP）- 欧盟(-十、-))θ+Kθ]+2D，其中C：=（等式[dP/dQ]1/（1-θ） ）1-θ=（E[dP/dQ]θ/（1）-θ） ）1-θ<∞.将（19）应用于X：=YnT+E和K：=EQE+，那么如果我们有EQ[YnT+E]-→ ∞ 沿着一个子序列，我们也会得到EU（YnT+E）=EU（[YnT+E]+）- (-欧盟(-【YnT+E】-)) → -∞ （20） 自θ<1以来，沿着相同的子序列。这与YnsonecessarilysupnEQ[YnT+E]的选择相矛盾-< ∞然后也是同样的| YnT+E |<∞, （21）由于Ynis是一个Q-超鞅，假设3.10成立。从（19）开始，它接着是supneu（[YnT+E]+）<∞.后一个观察结果意味着仰卧[U（YnT+E）]-< ∞ 同样，否则欧盟（YnT+E）→ -∞ 将沿子序列保持（20），这将与Yn的选择相矛盾。因此（11）也可用于上述非b边界的U。然后遵循定理m 3.6的证明。注意，它们是YnsosupnEQ | YnT+E |<∞.我们声称族[U（YnT+E）]+，n≥ 1，（22）是一致可积的。实际上，通过（21）和（19），supnE[YnT+E]θ+<∞.由于θ>α，（18）显示了我们的主张。根据（22）和（16）的一致可积性，U（YnT+E）趋向于Las n中的U（YT+E）→ ∞ 如前所述，我们得到优化器Y+。定理3.12也有一个用I代替AU的版本。定理3.13。让假设3.1和3.10生效，并让；6=I S beconvex和Fatou关闭。定义：={Y∈ I：欧盟（YT+E）>-∞}.然后是Y+∈ i使EU（Y+T+E）=supY∈IUEU（YT+E），前提是IU6=；。证据请注意，Iu是凸的。

我们可以遵循定理3.12的证明，用Iu代替A，AU，但结尾除外，这里我们使用（22）的一致可积性和Fatou引理来表示Eu（Y+T+E）≥ 欧盟（YT+E）≥ 苏比∈IUEU（YT+E）。另一个不等式很小（因为Y+∈ IU），结果如下。我们不妨限制终端投资组合的财富。这与例如对投资组合经理施加的规定相对应，因此我们将下一假设中的K视为一组“可接受的头寸”。假设3.14。集合K Lis在概率上是凸的和封闭的。示例3.15。例如，可以选择K：={X∈ 五十： El（X-) ≤ K} 具有一些凸l:R+→ R+和K>0或K：={X∈ 五十： E[X- 十、]≤ K} 有一些固定的X∈ 五十、 这些满足Fatou引理的假设3.14。第一个示例是对可接受损失的限制，而第二个示例确保投资者的投资组合价值离参考实体X不远（例如基准portfo lio的值）。还可以定义K：={X∈ 五十： X个≥ 十、} 有一些X其中X提供几乎可靠的损失控制。注意，X上没有可积性假设是必要的。定义：={Y∈ S:YT∈ K}让A，I S’不能为空。定义\'U:={Y∈ S′：有Yn∈ A′带U（YnT+E）∈ 五十、 n个≥ 1和U（YnT+E）→ U（YT+E），n→ ∞ 在L}。定理3.16。根据假设3。14，定理3.6和3.12适用于Au被A′U6=；”的A′Uprovided替换的情况；。证据根据假设3.14，我们可以逐字遵循相应的证明，注意到Yn，~Ynall stayin S′。因此，极限Y为Y+T=YT∈ K，根据假设3.14。假设3.17。集合K Lis凸且概率闭，满足K+L+ K备注3.18。集合{X∈ 五十： El（X-) ≤ K} 和{X∈ 五十： X个≥ 十、}从示例3.15中，两者都满足假设3.17。定理3.19。在假设3.17下，定理3.8和3.13成立，I（分别为IU）替换为I′：={Y∈ I：YT∈ K a.s.}（分别为。

I′U：={Y∈ IU:YT∈ K a.s.}），在他们的声明中。证据与前面的证明一样，YT∈ K a.s.因此Y+T∈ K+L+ 即使用一般约束集K来描述对偶问题，也似乎有问题。因此，我们怀疑定理3.16和3.19是否可以通过先解决对偶问题，然后再回到原始问题来证明。然而，我们的方法只适用于原始问题，并且很容易应用于有约束的情况。4无摩擦市场∈ [0，T]是给定随机基上的Rd值se半鞅；L（S）表示对应的S-可积过程类。当H∈ L（S），我们使用符号H·Su来表示hw关于S在[0，u]上的随机积分的值，0≤ u≤ T、 过程S代表drisky证券的价格，H扮演着投资策略的角色，H·sui是时间u对应投资组合的价值（我们假设存在一个价格不变的无风险资产集，交易是自融资的）。我们用Q的Mathe集表示<< 使得S是Q-局部鞅。设置时间：={Q∈ Ma:Q~ P} 。过程S不被假定为局部有界的，但出于简单的原因，我们在本文中避免探索sigmamartingales的宇宙。对于此部分，我们选择mav：=Ma∩ PV，见（5）。同时设置MeV：=Me∩ PV。我们回顾了托卡斯特积分的一个重要闭包性质。引理4.1。让Q∈ Mend let重量≥ 1，t∈ [0，T]是Q-鞅。如果Hn∈ L（S），n≥ 1是一个序列，使得Hn·ST→ X P-几乎肯定（与q几乎肯定相同）对于so me X∈ 兰德恩·圣≥ -wt，（23）P-几乎可以肯定所有n≥ 1，t∈ [0，T]然后是H∈ L（S）和N∈ L+使x=H·ST- N、 证明。当（23）用固定的Q-可积随机变量w而不是w成立时，该结果只是对[12]的推论15.4.11的重新表述。

在目前引理所述的条件下，也可以通过微小的修改来验证这个结果。备注4.2。在无摩擦市场的情况下，我们现在将我们的假设3.3与[7]和[21]中的假设进行比较。在[7]中，U不是光滑的，也不是严格凹的，但E必须有界。就最优投资组合策略的存在而言，无界随机捐赠似乎是最先进的。本文假设U的连续可微性和严格凹性。在E上，他们规定了假设1.6，即asx′+H′·ST≤ E≤ x′′+H′·ST，（24）带x′，x′\'∈ R和H′，H′∈ L（S），使得H′·S是鞅，H′·是上鞅，在每个R下∈ MaV公司。假设3.3允许（24）排除的某些重要E情况：我们只需要ER | E |<∞ 适用于所有R∈ MaVwhile（24）表示supR∈MaVER | E |<∞, 有关这方面的详细信息，请参见示例4.3。示例4.3。让过滤由两个独立的布朗运动WT和Bt生成，t∈ [0，T]并让单个风险资产的价格由T给出：=Wt+T（我们可以采用T以外的漂移，为了简单起见，我们选择了这个）。定义随机捐赠E：=BT。定义U（x）=-xfor x≤ 0和U（x）=0，x>0。选择，对于n≥ 1、Qnas是Mesuch独有的Bt元素- nt，t∈ [0，T]是Qn布朗运动，Qn~ P、 很容易检查Qn∈ 百万电子伏。我们通常有（7），但方程=nT→ ∞ 作为n→ ∞ 因此（24）无法保持。我们可以使用下面的定理4.4找到优化器，即使在没有满足H′，H′的意义上构成不可对冲风险的情况下（24）。一个不合理的论点适用于更大范围的随机捐赠：例如：。

对于任意边界可测量的f，如EQnf（ST）6=0，E：=f（ST）bt也可以得出同样的结论（注意，该期望与n无关）。定义：={H∈ L（S）：H·S∈ S}，其中S如（6）所示。定理4.4。让假设3.1和3.3生效，并让U受上述限制。然后存在H+∈ 使EU（H+·ST+E）=supH∈东南大学（H·ST+E）。（25）备注4.5。在无差别定价和无差别套期保值的研究中，出现了（25）等优化问题，参见例[6]。我们注意到，在[21]中，优化域也是S。请注意，在[21]中，S被假定为局部有界，而我们不接受这个假设。在[21]中，有人指出∈SEU（H·ST+E）=supH∈AadmEU（H·ST+E），（26），其中Aadmis一组投资组合策略H，其中H·S从下方以常数为界。在我们的设置中，S可能无法局部有界，因此（26）通常是明显错误的。定理4.4的证明。SetI：={H·ST:H∈ S} ，这是凸的，它是由引理4.1封闭的。定理3.8现在简化了结果。示例4.6。我们打电话l : R+→ 如果它是一个年轻的函数，那么它的共轭函数是一个很好的损失函数l*是类的年轻函数. 典型的nice损耗函数为l（x）=xκ，对于某些κ>1（因为它们的共轭也是常数时间s apower函数）。最大限度地减少投资组合的预期损失包括用E结算H+l（[H+·ST+E]-) = infH公司∈SE公司l（[H·ST+E]-). （27）定理4.4在这里适用，选择U（x）：=0，x>0，U（x）：=-l(-x） ，x≤ 0，根据假设3.3。对于此类损失函数，一般不完全半鞅模型中最优投资组合的存在性已在文献中得到考虑，见。g、 【14】和【22】。然而，在这些文章中，只给出了具有非负价值过程的投资组合。如果没有这个限制，[3，5]涵盖了E=0的情况，并且当E有界时，[7]的结果适用。

我们的论文似乎是第一个在价值过程损失最小化的背景下创建无界随机禀赋的论文，价值过程可能从下面没有界。定理4.7。让假设3.1和3.10生效。定义：={H∈ L（S）：H·S∈ S、EU（H·ST+E）>-∞}.如果SU6=；然后存在H+∈ SUsuch thatEU（H+·ST+E）=supH∈SUEU（H·ST+E）。证据这源自定理3.13。我们也可以在下面的结果中找到ta。定理4.8。在假设3.17下，当S（分别为SU）替换为S′：={H时，定理4.4和4.7成立∈ S:H·ST∈ K}（分别为S′U：={H∈ 苏：H·ST∈ K}），在它们的语句中。证据这源自定理3.19。备注4.9。在广泛的相关文献中，也许[3]的方法在精神上最接近我们。在那篇论文中，重点是在我们保持在[21]的“标准”类别内的同时，处理一类令人愉快的可接受策略。在纯技术层面上，主要区别在于，在[3]中，对偶问题被公式化，对偶极小化子被找到，然后它在构造原始优化器中起着重要作用。在本文中，由于[1 3]的结果，我们避免了引入对偶问题。这是有利的，通常，对偶问题很难分析（如在随机禀赋的情况下，当需要使用完全相加的度量空间时，se e[21]），甚至无法正确表述（如在co ns训练的情况下，上述定理4.8）。5大型市场本论文的方法也适用于存在摩擦的市场，即使存在模型模糊性，参见【8】。在这里，我们将介绍另一个应用程序，用于具有大量资产的模型。大型金融市场在[17]中作为一系列具有众多资产的市场模型引入。有关相关文献的回顾，请参考[9，24]。

在预发的论文中，我们只处理在相同概率空间上定义所有可数manyasset的情况。保持第3节的设置，让Sjt，j≥ 1，t∈ [0，T]是给定随机基上的r值半鞅序列(Ohm,F，（Ft）t∈[0，T]，P）。由Q的Mathe se t编写的Wedenote<< P使得sj是每个j的Q-鞅≥ 1、让我：={Q~ P:Q∈ Ma}，MaV：=Ma∩ PVand MeV：=我∩ PV。备注5.1。如[9]所示，Me6=；其特点是没有免费午餐，风险消失。因此，MeV6=；是一个“强化”无套利假设，考虑到给定的投资者偏好，通过效用函数的共轭确定Rm值半鞅Fmt=（St，…，Smt）和setAm={H∈ L（Fm）：H·Fmt≥ -s代表所有t∈ [0，T]有些s>0}，m≥ 1，其中L（Fm）表示Fm可积过程集。隐含假设存在价格常数为1的无风险资产，交易是自我融资的，因此H·Fmis是风险资产组合的价值过程，。。。，S对应策略H，从零初始资本开始。这是很自然的：=∪m级≥1{H·Fm:H∈ Am}但A不能作为优化域，因为{YT:Y∈ A}在任何合理拓扑中都不是闭合的。在论文【11，20】之后，我们采用了广义策略。新颖之处在于[11，20]考虑正实轴上的效用，而我们能够处理效用U:R→ R、 这是相关文献中的第一次。回顾（6）中对S的定义，并注意到 S由[1]决定。让我们从第3节中重新定义AU：AU：={Y∈ S：有Yn∈ A带U（YnT+E）∈ 五十、 n个≥ 1和U（YnT+E）→ U（YT+E）在L}。通过价值过程识别投资组合，我们称之为一般化投资组合策略的要素。

通过选择A，定理3.6、3.12和3.16证明了大型金融市场广义策略类中优化器的存在性。备注5.2。在目前的情况下，从经济解释的角度来看，优化器可以用很多资产的投资组合来近似，这一点至关重要，即优化器位于AU。这就是为什么我们应用定理3.6、3.12和3.16，而不是定理3.8、3.13或3.19，因为第一类先验不具有“可容许策略的可逼近性”的任何特征。我们付出的代价是，需要假设3.2，这是对U的尾部的限制-∞.拥有无数资产的市场也可以用类似的方式进行处理，因为很容易被忽略。我们仅限于可数案例，强调与大型金融市场广泛研究领域的联系。与Am不同的是，我们可以选择其价值过程由下面的常数乘以权重函数来界定的投资组合。对于非局部有界的价格过程来说，这是一个合理的选择，参见[4]或[12]的第14章。参考文献[1]J.-P.Ansel和Ch.Stricker。最大限度地减少意外事件和价格。安。PoincaréProbab研究所。统计员。，1994年30:303–315。[2] S.Biagini。不完全市场中效用最大化的Orlicz空间对偶。In：Progress In Probability，eds.R.C.Dalang，M.Dozzi，F.Russo，445–455，Birkh"auser，2007年。[3] S.Biagini和A.ˇCerny。半鞅组合选择中的可容许策略。暹罗J.控制优化。49:42–72，2011年。[4] S.Biagini和M.Frittelli。无界过程不完全市场中的效用最大化。财务Stoch。，9： 493–5172005年。[5] S.Biagini和M.Frittelli。效用最大化问题的统一框架：Orlicz空间方法。安。应用程序。概率。，18： 929–9662008年。[6] S.Biagini、M.Frittelli和M。

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