单开关折扣功能

给定（3），条件（4）当且仅当cr<0时成立，这相当于（ii）情况下的c>0和r<0。因此，在案例（ii）中，当且仅当c=1时，贴现函数的前三个属性满足- c、 r<r<0和0<c≤rr（右后）-r、 由于r<r<0，第四个属性也满足。在（5）中的（i）情况下，设a=c，b=-r、 c=r- r、 因此，a、b、c>0。自r/r起- r≤ c<1要求0<a≤ 银行保函+1。然后我们得到D（t）=ae-bt+（1- a） e类-（b+c）t，其中a，b，c>0，a≤ 银行保函+1。类似地，在（5）的（ii）情况下，设a=c，b=-r、 c=r- r、 然后，我们得到与情况（i）相同的函数和参数限制，即D（t）=ae-bt+（1- a） e类-（b+c）t，其中a，b，c>0，a≤ 银行保函+1。下面的命题证明了这两种类型的折扣函数与one switch属性兼容。提案5。假设A上的优先顺序<具有DU表示（u，D），其中oD（t）=（1+ct）e-rt，其中r≥ c≥ 0且r>0，或oD（t）=ae-bt+（1- a） e类-（b+c）t，其中a，b，c>0，和a≤ 银行保函+1。然后<显示单开关属性。证据该证明将贝尔的论点【9，命题2】与时间偏好框架相适应。我们需要证明，对于任何（x，t），（y，s）∈ A以下函数最多更改一次签名：（σ） =nXi=1D（ti+σ）u（xi）-mXj=1D（sj+σ）u（yj）。（a） 线性乘以指数。考虑贴现函数D（t）=（1+ct）e-rt，其中r≥ c≥ 0和r>0。

然后（σ） =nXi=1（1+cti+cσ）e-rtie-rσu（xi）-mXj=1（1+csj+cσ）e-rsje公司-rσu（yj）。重新安排，（σ） =e-rσnXi=1e-rtiu（xi）-mXj=1e-rsju（yj）！+e-rσcnXi=1tie-rtiu（xi）-mXj=1sje-rsju（yj）！+e-rσcσnXi=1e-rtiu（xi）-mXj=1e-rsju（yj）！。LetA=nXi=1e-rtiu（xi）-mXj=1e-rsju（yj），B=nXi=1tie-rtiu（xi）-mXj=1sje-rsju（yj）。然后（σ） =Ae-rσ+cBe-rσ+cAe-rσσ。此表达式可以重写如下（σ） =e-rσ（A+cB+cAσ）。自e起-rσ>0，符号（σ） 等于A+cB+cAσ的符号。因为后者是线性的，所以符号是常数，或者在唯一σ值处改变一次。（b） 指数和。考虑函数D（t）=ae-bt+（1- a） e类-（b+c）t，其中，b，c>0，和a≤ 银行保函+1。然后（σ） =nXi=1ae-btie公司-bσ+（1- a） e类-（b+c）接头-（b+c）σu（xi）-mXj=1ae-bsje公司-bσ+（1- a） e类-（b+c）sje-（b+c）σu（yj）。它可以重新排列，以便（σ） =ae-bσnXi=1e-btiu（xi）-mXj=1e-bsju（yj）！+（1）- a） e类-（b+c）σnXi=1e-（b+c）tiu（xi）-mXj=1e-（b+c）sju（yj）！。表示A=nXi=1e-btiu（xi）-mXj=1e-bsju（yj），且▄B=nXi=1e-（b+c）tiu（xi）-mXj=1e-（b+c）sju（yj）。然后（σ） =a▄Ae-bσ+（1- a） 一定要-（b+c）σ。此表达式可以按如下方式分解（σ） =e-bσaa+（1- a） Be-cσ.自e起-bσ>0，符号（σ） 等于a▄a+（1）的符号- a） Be-cσ。因此（σ） 为常数，或在唯一σ值处变化一次。既然命题5建立了线性乘以指数折扣函数和指数折扣函数之和满足单开关性质，它们也必须满足弱单开关性质。2.2日期结果和单调性的单开关特性在本节中，我们考虑日期结果集上的偏好<。当参考<被限制为A时，则DU表示为U（x，t）=D（t）U（x），表示任何（x，t）∈ A、 [17]给出了这种表示的必要和充分条件。

在本节中，我们假设<满足Fishburn和Rubinstein的公理[17]。定义6。我们说，<显示出日期结果的单开关特性，如果<显示出A上的单开关特性。显然，如果<显示出A上的单开关特性，这意味着<也显示出日期结果的单开关特性。考虑以下减少和增加不耐烦的概念。定义7（【22】）。我们说，<显示出[严格地]减少不耐烦，如果对于所有（x，t），（y，s）∈ a计算0<x<y，对于所有t<s：if（x，t）~ （y，s）那么对于任何σ>0的情况，我们有（x，t+σ）[] 4（y，s+σ）。（6） 我们说，如果（6）中的偏好被颠倒，则[严格地]表现出越来越不耐烦如果（6）中的偏好被差异所取代，则为平稳或持续不耐烦。当首选项具有DU表示时，这些属性仅限制discountfunction。下一个命题直接来自定义。提案8。假设<仅限于Ahas DU表示。然后<显示[严格地]DI当且仅当ifD（t）D（t+σ）[>]≥D（s）D（s+σ），对于所有t，s，使得t<s，并且每个σ>0。（7） 此外，<附录o[严格地]II当且仅当（7）中的不等式被逆转时；o持续不耐烦当且仅当（7）中的不等式被等式替换时。以下命题提供了完整的特征描述。提案9（[22]、[6]）。假设<仅限于Ahas DU表示。然后，当且仅当D（t）为[严格]对数凸，[严格]II当且仅当D（t）为[严格]对数凹，在[3]中引入了序数单开关效用函数的相关概念。A函数f:I→ 如果所有x的f（x）>0，则称R为对数凸∈ I和ln（f）是凸的；如果所有x的f（x）>0，则为严格对数凸∈ I和ln（f）是严格凸的。

我们说函数f:I→ R是[严格]对数凹，如果1/f是[严格]对数凸常数不耐烦当且仅当D（t）=e-r>0时的RTS。命题9将[22，推论1]扩展到增加不耐烦和严格减少（和严格增加）不耐烦。此处省略该证明，因为它只需要对Prelec的原始证明进行aminor调整。以下引理重新表达了datedoutcomes单开关属性的定义，即对决策者不同的一对日期结果应用的共同推进（σ<0）和共同延迟（σ>0）。引理10。Let（^x，^t），（^y，^s）∈ a 0<^x<^y，0<^t<^s和（^x，^t）~ （^y，^s）。则<仅当（i）（^x，^t+σ）之一时，才显示出日期结果的单开关特性~ （^y，^s+σ）对于所有σ≥ -^t，或（ii）（^x，^t+σ） （^y，^s+σ）用于-^t≤ σ<0，和（^x，^t+σ） （^y，^s+σ）表示σ>0，或（iii）（^x，^t+σ） （^y，^s+σ）用于-^t≤ σ<0，和（^x，^t+σ） （^y，^s+σ），σ>0。证据Let（^x，^t），（^y，^s）∈ a 0<^x<^y，0<^t<^s和（^x，^t）~ （^y，^s）。还假设<显示出日期结果的单开关特性。因此，通过对单开关特性的定义，我们有（i*) （^x，^t+σ）~ （^y，^s+σ）对于所有σ>0，或（ii*) （^x，^t+σ） （^y，^s+σ）对于所有σ>0，或（iii*) （^x，^t+σ） （^y，^s+σ）对于所有σ>0。我们需要分析情况-^t≤ σ<0。证据是矛盾的。如果（i*), 假设存在u*使0<u*<^t和（^x，^t- u*) （^y，^s- u*). 设^τ=^t- u*> 0和^ρ=^s- u*> 使用此符号，我们得到（^x，^τ） （^y，^ρ），（^x，^τ+u*+ σ）~ （^y，^ρ+u*+ σ） ，对于所有σ≥ 0。这与日期结果的one switch属性相矛盾，因此（i）如下。

如果（^x，^t-u*)  （^y，^s- u*) 这个证明是类似的。如果（ii*), 假设存在u*使0<u*<^t和（^x，^t- u*) 4（^y，^s-u*). 使用与前一种情况相同的符号^τ=^t-u*> 0和^ρ=^s-u*> 0给我们（^x，^τ）4（^y，^ρ），（^x，^τ+u*) ~ （^y，^ρ+u*),（^x，^τ+u*+ σ） （^y，^ρ+u*+ σ） ，对于所有σ>0，这是一个矛盾。如果（iii*) 证明与情形（ii）对称*).这一命题的证明也可以在工作文件[6]中找到。datedoutcomes的不耐烦属性和单开关属性之间的关系在下面的引理中建立。引理11。假设<有DU表示（u，D）。则<显示出日期结果的oneswitch属性，当且仅当<也显示出平稳性或严格DI或严格II。证据“仅当”。假设<显示了日期结果的单开关属性。考虑一些（^x，^t），（^y，^s）∈ a 0<^x<^y，0<^t<^s和（^x，^t）~ （^y，^s）。为了看到我们总是可以找到这样一对，假设0<^x<^y，^t<^s和（^x，^t） （^y，^s）。接下来是u的连续性和D严格递减的事实，即存在t∈ （^t，^s）使得（^x，t）~ （^y，^s）。或者，假设0<^x<^y，^t<^sand（^x，^t） （^y，^s）。接下来是u的连续性和D严格递减的事实，即存在x∈ （x，y）使得（x，t）~ （^y，^s）。其次是日期结果的单开关特性和第1种情况下的引理10。（^x，^t+σ）~ （^y，^s+σ）对于所有σ≥ -^t，或酶2。（^x，^t+σ） （^y，^s+σ）用于-^t≤ σ<0，和（^x，^t+σ） （^y，^s+σ）对于σ>0，或情况3。（^x，^t+σ） （^y，^s+σ）用于-^t≤ σ<0，和（^x，^t+σ） （^y，^s+σ），σ>0。我们将分别分析每个案例。案例1。

注意，让α=σ+^t≥ 0和^σ=^s-^t>0我们有（^x，α）~ （^y，^σ+α）对于所有α≥ 使用DU表示，所有α的u（^x）u（^y）=D（α+^σ）D（α）≥ 0。（8）考虑一些t<s。然后（8）表示u（^x）u（^y）=D（t+^σ）D（t）=D（s+^σ）D（s）。重新排列，D（s）D（t）=D（s+σ）D（t+σ）。（9） 通过连续性，我们可以选择x<ysuch thatD（s）D（t）=u（x）u（y）。（10） 因此，从（9），（10）可以得出（x，t）~ （y，s）和（x，t+σ）~ （y，s+σ）。然后，one switch属性表示所有u>0的D（s）D（t）=D（s+u）D（t+u）。由于t是任意的，因此命题8表现出持续的不耐烦。案例2。定义α，^σ对于案例1，我们有（^x，α） （^y，^σ+α）对于0≤ α<^t，和（^x，α） （^y，^σ+α）表示σ>^t。因此，使用DU表示u（^x）u（^y）>D（^σ+α）D（α）表示0≤ α<^t，对于任何t<^t<s，D（t+^σ）D（α）。因此，对于任何t<s，D（t+^σ）D（t）<u（^x）u（^y）<D（s+^σ）D（s）。对于任何t<s，我们可以通过连续性选择x<s y这样的thatD（s）D（t）=u（x）u（y）。（12） 它遵循（11）、（12）和one-switch属性thatD（s- u）D（t- u）<D（s）D（t）<D（s+u）D（t+u）（13）当t<^t<s时，任何u>0。考虑一些t<s。有三种可能的子情况：（a）t<^t<s，（b）t<s≤^t和（c）^t≤ t<s。我们将表明，在这三个子案例中，所有u>0的情况下，D（s）D（t）<D（s+u）D（t+u）。（14） 从命题8我们可以得出结论，偏好表现出严格的DI。在子案例（a）中，直接从（13）开始，即（14）成立。在子情况（b）中，选择ε>0，使s+ε<^t<t+ε。设t=t+ε，s=s+ε。它遵循（13）that（s- σ） D（t- σ） <D（s）D（t）<D（s+σ）D（t+σ）（15），所有σ>0。设σ=ε。然后我们得到D（s）D（t）<D（s+ε）D（t+ε）。（16） 通过连续性，我们可以选择x<ysuch thatD（s）D（t）=u（x）u（y）。（17） 因此，它遵循（16）、（17）和（14）保持的单开关属性。在子情况（c）中，选择ε>0，使t-ε<^t<s-ε。

设t=t-ε和s=s-ε。然后从（13）得出- σ） D（t- σ） <D（s）D（t）<D（s+σ）D（t+σ）（18），所有σ>0。设σ=ε。那么我们已经- ε） D（t- ε） <D（s）D（t）。（19） 选择x<ysuch thatD（s）D（t）=u（x）u（y）。（20） 因此，（14）后跟（19）、（20）和一个开关属性。因此，在情况2<中显示出严格的DI。最后，在案例3中，我们可以通过对案例2的对称证明来证明<严格地展示II。“如果”。假设有一些x，y，t，s和t≤ s和一些σ*≥ 0使得（x，t+σ*) ~ （y，s+σ*). 必须表明（x，t+σ）~ （y，s+σ）表示所有σ，（21）或（x，t+σ） （y，s+σ）对于所有σ<σ*, 和（22）（x，t+σ） （y，s+σ）对于所有σ>σ*. （23）如果t=s，则（x，t+σ*) ~ （y，t+σ*). x=y的单调性随之而来。因此，满足了日期结果的单开关特性。假设t<s和<表现出持续的不耐烦。由此得出（x，t+σ*+σ）~（y，s+σ*+σ） 对于所有σ>0，或（x，t+σ）~ （y，s+σ）对于所有σ>σ*. 为了证明<满足日期结果的单开关特性，我们需要证明（x，t+σ）~（y，s+σ）对于所有σ<σ*使t+σ≥ 0，或（x，t+σ*- σ）~ （y，s+σ*- σ） 对于所有σ>σ*使t+σ*-σ≥ 证明是矛盾的。假设存在σ>σ*例如，（x，t+σ*-σ） （y，s+σ*-σ） 带t+σ*-σ≥ 通过持续性和不耐烦性，存在t>t，使得（x，t+σ*- σ）~ （y，s+σ*- σ） 。然后，由于<表现出持续的不耐烦，因此（x，t+σ*- σ+γ）~ （y，s+σ*- σ+γ）对于所有γ>0。设γ=σ>0。然后我们得到（x，t+σ*) ~ （y，s+σ*). 由于t>t，它不耐烦地暗示（x，t+σ*)  （x，t+σ*). 因此，（x，t+σ*)  （y，s+σ*), A传统。假设t<s和<严格显示DI。由此得出（x，t+σ*+ α）（y，s+σ*+ α） 对于所有α>0，或（x，t+σ） （y，s+σ）对于所有σ>σ*.

我们现在需要显示（x，t+σ） （y，s+σ）对于所有σ<σ*, 或（x，t+σ*- σ） （y，s+σ*- σ） 对于所有σ>σ*使t+σ*- σ≥ 证明是矛盾的。假设存在σ>σ*使得（x，t+σ*- σ） 4（y，s+σ*- σ） 和t+σ*- σ≥ 首先考虑（x，t+σ*- σ）~ （y，s+σ*- σ） σ>σ*和t+σ*- σ≥ 那么，由于<严格满足DI，因此得出（x，t+σ*- σ+γ） （y，s+σ*- σ+γ）对于所有γ>0。设γ=σ>0。那么我们有（x，t+σ*)  （y，s+σ*), 这是一个传统。其次，考虑（x，t+σ*- σ） （y，s+σ*- σ） σ>σ*andt+σ*- σ≥ 接着是连续性和不耐烦性，存在s>s，例如（x，t+σ*- σ）~ （y，s+σ*- σ） 。因此，由于<严格地显示DI，它意味着（x，t+σ*- σ+γ） （y，s+σ*- σ+γ）对于所有γ>0且σ>σ*和t+σ*- σ≥ 设γ=σ。那么我们有（x，t+σ*)  （y，s+σ*). 由于s>s，因此（y，s+σ*)  （y，s+σ*), 因此，（x，t+σ*)  （y，s+σ*), 矛盾。如果我们假设<严格地证明II，则证明是类似的。虽然DU表示的假设对于证明的“如果”部分不是必需的，但对于我们的“仅当”部分的证明是必不可少的。引理11“仅当”结果的DUrepresentation的必要性仍然是一个悬而未决的问题。工作文件[6]证明，对于不同的贴现函数，严格增加的时间偏好率对应于严格II，而严格减少的时间偏好率对应于严格di。证明是沿着[6，引理11]的路线进行的。我们用这个结果来证明以下命题。提案12。

假设<有DU表示（u，D）。时间偏好率r（t）定义如下：r（t）=-D（t）D（t）。o如果D（t）=（1+ct）e-rt，其中r≥ c≥ 0且r>0，则当c>0时<严格显示II，当c=0时<显示平稳性如果D（t）=ae-bt+（1- a） e类-（b+c）t，其中a，b，c>0，a≤ 当a<1时，b/c+1，然后<显示严格DI，当1<a时，严格II≤ b/c+1和当NA=1时的平稳性。证据（a） 线性乘以指数。首先假设c>0。因为D（t）=e-rt（c- r-crt），时间首选率为：-D（t）D（t）=e-rt（crt- c+r）（1+ct）e-rt=r（1+ct）- c1+ct=r-c1+ct。时间偏好率的导数为c（1+ct）-2> 因此，线性乘以指数分布函数表现出严格的不耐烦性。否则，如果c=0，则D（t）=e-r和首选项<显示平稳性（例如，参见[17]）。（b） 指数和。时间偏好率为-D（t）D（t）=abe-bt+（1- a） （b+c）e-（b+c）tae-bt+（1- a） e类-（b+c）t=e-bt[ab+（1- a） （b+c）e-ct]e-bt[a+（1- a） e类-ct]=ab+（1- a） （b+c）e-cta+（1- a） e类-ct。时间偏好率的导数为ab+（1- a） （b+c）e-cta+（1- a） e类-ct=-c（1- a） （b+c）e-ct[a+（1- a） e类-ct]+[ab+（1- a） （b+c）e-ct]c（1- a） e类-ct[a+（1- a） e类-ct]。导数的符号取决于此表达式分子的符号：Q（t）=-c（1- a） （b+c）e-cta+（1- a） e类-ct+ab+（1- a） （b+c）e-ctc（1- a） e类-ct。简化Q（t）：Q（t）=c（1- a） e类-ctab+（1- a） （b+c）e-ct- （b+c）（a+（1- a） e类-ct）= ce公司-cta（a- 1） 。回想一下，a>0和a≤ 银行保函+1。因此，如果a=1，Q（t）=0，如果0<a<1，Q（t）严格为负，如果1<a，Q（t）严格为正≤ b/c+1和a 6=1。因此，如果a=1，时间偏好率是恒定的；如果0<a<1，时间偏好率严格递减；如果1<a，时间偏好率严格递增≤ 银行保函+1。

这反过来意味着，如果a=1，则<表现出平稳性，如果0<a<1，则严格DI，如果1<a，则严格II≤ 银行保函+1。图2显示了一个线性乘以指数折扣函数和两个指数和折扣函数及其相关的时间偏好率。值得一提的是，贝尔对“减少不耐烦”和“增加不耐烦”这两个术语的定义与这里使用的定义不同。Bell的定义如下：线性乘以指数之和指数之和指数之和指数之和指数之和指数之和指数之和指数之和指数之和指数之和指数之和指数之和指数之和指数之和指数之和指数之和指数之和指数之多时间优惠率联合国技术倡议的时间折扣为0 50 100 500 50 100 100 15000.020.040.060.080.100.20.40.60.81图2：线性乘以指数折扣函数D（t）=（1+0.01t）e-0.03t，指数计数函数D（t）=e-0.03t，指数之和D（t）=0.5e0.03t+0.5e0.08t，指数之和D（t）=1.2e0.03t- 0.2e0.08t及其相关的时间优先定义率13（[9]）。让<在a上有一个带有折扣函数D的DU表示。然后我们说偏好<显示DI*【二】*] 对于任何s，如果D（s+t）>[<]D（s）D（t），t>0。请注意，Bell的*（二）*) 对应于D的严格对数超加性（对数次加性）。显然，严格对数超加性（严格对数次加性）是严格对数凸性（严格对数凹性）的特例。因此，贝尔对对外直接投资的定义*和II*比严格的DI和严格的II弱。Bell【9，命题8】规定了指数折扣函数之和的参数值*/二、*:提案14（[9，提案8]）。设D（t）=ae-bt+（1- a） e类-（b+c）t，其中a，b，c>0和a≤ 1+b/c。