单开关折扣功能

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英文标题：
《One-Switch Discount Functions》
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作者：
Nina Anchugina
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Bell (1988) introduced the one-switch property for preferences over sequences of dated outcomes. This property concerns the effect of adding a common delay to two such sequences: it says that the preference ranking of the delayed sequences is either independent of the delay, or else there is a unique delay such that one strict ranking prevails for shorter delays and the opposite strict ranking for longer delays. For preferences that have a discounted utility (DU) representation, Bell (1988) argues that the only discount functions consistent with the one-switch property are sums of exponentials. This paper proves that discount functions of the linear times exponential form also satisfy the one-switch property. We further demonstrate that preferences which have a DU representation with a linear times exponential discount function exhibit increasing impatience (Takeuchi (2011)). We also clarify an ambiguity in the original Bell (1988) definition of the one-switch property by distinguishing a weak one-switch property from the (strong) one-switch property. We show that the one-switch property and the weak one-switch property definitions are equivalent in a continuous-time version of the Anscombe and Aumann (1963) setting.
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中文摘要：
Bell（1988）引入了偏好的单开关特性，而不是过时结果序列。该性质涉及向两个这样的序列添加公共延迟的效果：它表示延迟序列的偏好排序要么独立于延迟，要么存在唯一延迟，使得一个严格排序优先于较短延迟，而相反的严格排序优先于较长延迟。对于具有折扣效用（DU）表示的偏好，Bell（1988）认为，唯一符合单开关特性的折扣函数是指数和。本文证明了线性倍指数形式的折扣函数也满足单开关性质。我们进一步证明，具有线性乘以指数折扣函数的DU表示的偏好表现出越来越不耐烦（Takeuchi（2011））。我们还通过区分弱单开关特性和（强）单开关特性，澄清了Bell（1988）对单开关特性的原始定义中的模糊性。我们证明了在Anscombe和Aumann（1963）设定的连续时间版本中，单开关性质和弱单开关性质定义是等价的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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关键词：Presentation Quantitative Exponentials Preferences Exponential

单开关折扣函数Aucklandn大学数学系AnchuginaDepartment of Mathematics。anchugina@auckland.ac.nzFebruary2017年摘要。贝尔（Bell）[9]引入了偏好的单开关特性，而不是过时结果序列。这一特性涉及向两个这样的序列添加一个公共延迟的效果：它表示延迟序列的偏好排序是依赖于延迟的，或者存在一个唯一的延迟，这样一个严格的排序适用于较短的延迟，而另一个严格的排序适用于较长的延迟。对于具有折扣效用（DU）表示的偏好，Bell[9]认为，唯一与单开关属性一致的折扣函数是指数和。本文证明了线性乘以指数形式的折扣函数也满足单开关性质。我们进一步证明，具有线性乘以指数折扣函数的DU表示的偏好表现出越来越不耐烦（[26]）。我们还可以通过区分弱单开关特性和（强）单开关特性来澄清Bell对单开关特性的原始定义中的模糊性。我们证明了单开关特性和弱单开关特性定义在Anscombe和Aumann[7]设置的连续时间版本中是等效的。关键词：折扣函数，单开关特性，时间偏好，线性倍指数，增加不耐烦。JEL分类：D90。本文分析了Bell[9]引入的跨期偏好的单开关性质。one switch属性最初是为preferences overletteries制定的[9]。

它说，任何两种彩票的偏好排名要么与财富无关，要么存在一种独特的财富水平，即一种严格的排名优先于财富水平较低的彩票，而另一种严格的排名优先于财富水平较高的彩票。对于具有预期效用表示的首选项，one switch属性限制了Bernoulli效用函数的形式。正如Bell[9]所证明的，满足这一性质的效用函数是二次函数、指数和、线性加指数和线性乘以指数。风险理论对这些函数的性质及其可能的应用进行了广泛的研究（例如，参见[1]、[2]、[11]和[12]）。然而，贝尔（Bell）[9]也定义了一个类似的单开关属性，以表示对日期结果序列的偏好，这一点不太为人所知。在这种情况下，one switchproperty涉及到向两个日期结果序列添加一个共同延迟的效果：它表示延迟序列的偏好排序要么与延迟无关，要么存在唯一的延迟，使得一个严格的排序适用于较短的延迟，而另一个严格的排序适用于较长的延迟。Bell[9]声称，如果偏好具有折扣效用表示，那么唯一与单开关属性一致的折扣函数就是指数和。然而，在本文中，我们证明了一个开关性质也与另一种形式的折扣函数兼容：线性乘以指数。据我们所知，这种类型的折扣函数以前从未在跨时期上下文中使用过。正如我们在文章中所展示的，线性乘以指数折扣函数严格禁止增加不耐烦（II）。

虽然严格意义上的II并不是一个非常频繁的实验观察[18]，但最近的一些经验发现支持这种类型的不耐烦[13、25、26]。我们还分析了时间偏好背景下弱单开关性质和（强）单开关性质之间的区别。这种区别是基于在切换点是反转弱偏好还是反转严格偏好。虽然这种区别在具有预期效用表示的风险设置中无关紧要，但对于跨期背景，即使假设贴现效用表示，问题也不那么清楚。然而，我们表明，这两个性质在一个类似于Anscombe和Aumann[7]的集合中是等价的。本文的组织结构如下。我们首先在第1节中给出一些预备知识。第2节致力于修改Bell对具有单开关特性的折扣函数的描述[9，命题2]。我们首先讨论贝尔[9]对该属性定义的模糊性，并区分标准（强）版本和替代“弱”单开关属性。我们证明了符合（标准）单开关性质的折扣函数是具有指数和或线性时间指数形式的折扣函数。我们还探讨了受单一日期结果偏好限制的单开关特性与此类偏好的不耐烦特性之间的关系。在第三节中，我们研究了弱单开关性质。在预期效用偏好高于彩票的情况下，其中一个切换属性指财富水平对两个彩票排名的影响，[9]中的结果意味着weakone切换属性等同于标准切换属性。

在跨期背景下，weestablish认为，如果我们赋予X一个混合集结构，并在类似于[7]中Anscombe和Aumann的环境中工作，则等价性也成立。最后，第4节总结了结果。1初步研究考虑对已日期结果序列的偏好。在本文中，我们在一个连续的时间环境中工作。时间点是集合T=[0，∞),其中，当前时间对应于t=0。结果集最初假设为区间X=[0，∞), 尽管我们将第3节中的X定义为任意混合集。设An={（x，t）∈ Xn×Tn | t<t<…<tn}是具有淹没结果的序列集。将备选方案A定义如下：A=∪∞n=1An。该数据集包含所有序列，这些序列包含许多确定日期的结果。A的元素 A被称为已添加的结果。考虑备选方案a集合上的偏好顺序<。我们说，如果U表示<，并且存在（U，D），那么U是<的贴现效用（DU）表示，因此U:X→ R是一个效用函数（连续，随u（0）=0严格递增），D:T→ （0，1）是折扣函数（严格递减，D（0）=1和极限→∞D（t）=0）和u（x，t）=nXi=1D（ti）u（xi），对于所有n和每个（x，t）∈ 一Harvey【19，定理2.1】提供了DU表示的必要和充分条件。我们表示正整数集{1，2，3，…}由N和非负整数集{0，1，2，3，…}按N，所以N N、 2单开关属性2.1任何日期结果序列（x，t）的单开关折扣功能∈ Anand any delayσ>0，let（x，t+σ）=（x，（t+σ，…，tn+σ））表示延迟序列。定义1（[9]）。

我们说，偏好<对于每对（x，t），（y，s）显示一个开关属性iff∈ A（x，t+σ）和（y，s+σ）的排名要么与σ无关，要么存在σ*≥ 0，这样（x，t+σ） （y，s+σ），对于任何σ<σ*,（x，t+σ） （y，s+σ），对于任何σ>σ*或（x，t+σ） （y，s+σ），对于任何σ<σ*,（x，t+σ） （y，s+σ），对于任何σ>σ*.值得一提的是，Bell[9]对one switch属性的原始口头定义使用了模棱两可的词“preferred”，这并没有指定preferenceorder是在强意义上使用还是在弱意义上使用。贝尔引理3[9]暗示了弱偏好是有意的，但这个引理也表明，任何一种解释都会导致对预期效用偏好的相同限制。阿巴斯（Abbas）和贝尔（Bell）[3]引入了一个正式定义，该定义明确表示偏好是严格的。因此，我们使用严格的优先顺序定义了一个开关属性。单开关特性可以用较弱的变量表示，如下所示：定义2（[9]）。我们说，对于每对（x，t），（y，s），A上的偏好显示出弱的one switchproperty∈ A（x，t+σ）和（y，s+σ）的排名依赖于σ，或者存在σ*≥ 0，使得（x，t+σ）<（y，s+σ），对于任何σ<σ*,（x，t+σ）4（y，s+σ），对于任何σ>σ*或（x，t+σ）4（y，s+σ），对于任何σ<σ*,（x，t+σ）<（y，s+σ），对于任何σ>σ*.换句话说，不存在（x，t），（y，s）∈ A和σ，ε，0<σ<ε，使得（x，t） （y，s），（x，t+σ） （y，s+σ），（x，t+ε） （y，s+ε），或所有严格偏好颠倒。在跨期背景下，不知道这种替代“弱”版本是否与定义1等效（给出DU表示）。这个问题将在第3节中研究，我们将贝尔引理3[9]改编为时间背景。

我们证明了单开关特性和弱单开关特性在Anscombe和Aumann（AA）[7]的跨期版本中是等效的，类似于[5]中研究的环境。如果A上的首选项<具有DU表示（u，D），则one switch属性表示任何（x，t），（y，s）的首选项∈ A功能（σ） =nXi=1D（ti+σ）u（xi）-mXj=1D（sj+σ）u（yj）要么有常数符号，要么有σ*≥ 0，以便（σ） =0当且仅当σ=σ*和（σ）（σ） >0当且仅当σ6=σ*σ6=σ*在σ的同一侧*. 也就是说，签名(（σ） ）=所有σ的常数≥ 0，否则存在σ*因此（σ*) = 0和（σ）（σ） >0如果σ，σ>σ*或σ，σ<σ*和（σ）（σ） σ<σ时<0*< σ或σ<σ*< σ。（1） 图1提供了（σ） 对于显示one switchproperty并具有DU表示的首选项。请注意，只有（σ） 是相关的。σ（σ） σ（σ） σ*σ（σ） σ*图1：可能的行为（σ） 对于显示one switchproperty并具有DU表示的首选项，请注意，假设的u属性意味着u（X）=[0，对于某些u>0或u（X）=R+。我们说，如果函数: R+→ 定义人（σ） =nXi=1D（ti+σ）vi-mXj=1D（sj+σ）wj（2）满足度（1）对于任意n、m、任意t∈ Tn，s∈ t和任意v∈ Rn+，w∈ Rm+。引理3。D满足扩展的单开关特性，当且仅当存在'u>0，使得（2）满足（1）任何n，m，任何t∈ Tn，s∈ t和任意v∈ [0，u]n，w∈[0，\'u]m.防腐蚀。“仅当”。这一部分很简单。“如果”。假设存在'u>0，这样 : R+→ 由（2）满意度（1）定义的任何n、m、t∈ Tn，s∈ t和任意v∈ [0，u]n，w∈ [0，\'u]m.证明是矛盾的。

假设有一些n，m，t∈ Tn，s∈ t和somev∈ Rn+，w∈ Rm+使功能*: R+→ 定义人*（σ） =nXi=1D（ti+σ）vi-mXj=1D（sj+σ）wj。违反属性（1）。然后函数λ*对于任何λ>0，也将违反（1）。Letλ∈ （0，1）使得λv∈ [0，\'u]nandλw∈ [0，\'u]m。这与最初的假设相矛盾，即（2）满足（1）任何n，m，任何t∈ Tn，s∈ t和anyv∈ [0，u]n，w∈ 换句话说，引理3指出，给定带有DU表示的首选项，u的范围与首选项是否满足one switch属性无关。因此，one switch属性不会对u的形状施加任何额外的限制。换句话说，给定<的DU表示（u，D），one switchproperty仅限制D。因此，如果存在某个效用函数u，则折扣函数D显示出one switch属性，这样，带有DU表示（u，D）的首选项将显示单开关特性。Bell[9，命题8]论证了指数和是唯一与one switchproperty兼容的贴现函数。然而，我们将在本节中演示线性乘以指数discount函数也具有单开关特性。下面的命题给出了线性时间指数函数和指数函数和的参数的限制条件，在此条件下，它们满足折扣函数的性质。提案4。（a） 线性乘以指数函数D（t）=（c+ct）是一个贴现函数，当且仅当c=1，-r≥ c≥ 0，r＜0；i、 e.，D（t）=（1+ct）e-rt，其中r≥ c≥ 0和r>0。（b） 指数函数D（t）=cert+cert之和，其中r6=r，是折扣函数当且仅当oc=1- c、 r<r<0和RR-r≤ c<1，或oc=1- c、 r<r<0和0<c≤rr（右后）-r、 等效地，D（t）=ae-bt+（1- a） e类-（b+c）t，其中a，b，c>0，a≤ 银行保函+1。证据

我们需要找到线性乘以指数函数和指数和的参数，以便满足以下四个特性：1。D（0）=1,2。D（t）>0表示所有t，3。D（t）严格递减，且为4。限制→∞D（t）=0。（a） 线性乘以指数。假设D（t）=（c+ct）ert。显然，D（0）=1，且仅当c=1时。接下来，为了同时满足第一和第二个条件，即对于所有t，D（0）=1且D（t）>0，有必要且有效地确定c=1和c≥ 0（因为所有t的ert>0）。要检查D（t）是否严格递减，请考虑其一阶导数：D（t）=cert+（1+ct）rert=ert（c+r+crt）。由于所有t的ert>0，导数的符号取决于线性表达式c+r+crt的符号。因此，当且仅当ifc+r时，D（t）严格递减≤ 0，所有t>0时，C+r+crt<0。该条件相当于要求满足以下两个条件之一：oc+r=0且cr<0，oc+r<0且cr≤ 0.自c起≥ 0，在第一种情况下，我们有c=-r> 0。在第二种情况下，0≤ c<-r、 我们可以将这两种情况总结如下：-r≥ c≥ 0和r<0。因此，当且仅当c=1时，贴现函数的前三个性质满足，-r≥ c≥ 0和r<0。最后，线性次指数函数的极限为→∞D（t）=极限→∞（1+ct）ert=极限→∞1+cte-rt，如果r=c=0，则该限值为1。由于上一步r<0，因此排除了这种情况。那么，根据L\'Hopital的规则，我们有限制→∞D（t）=极限→∞1+cte-rt=极限→∞c-re公司-rt=0。因此，当且仅当c=1时，D（t）=（c+ct）满足贴现函数的所有四个属性，-r≥ c≥ 0和r<0。表示c=c，r=-r、 那么我们有d（t）=（1+ct）e-rt，其中r≥ c≥ 0和r>0。（b） 指数和。这个证明类似于[9，命题8]，并且是为了完整性而给出的。

假设D（t）=cert+certwith r6=r。当且仅当c+c=1时，满足条件D（0）=1。对于所有的t>0，我们也必须有D（t）>0。注意d（t）=cert+cert=ertc+ce（r-r） t型> 当且仅当c+ce（r-r） 对于所有t>0，t>0（因为对于所有t>0，ert>0）。根据第一个条件，我们知道c=1- c、 将此表达式替换为不等式，我们必须有c+（1- c） e（r-r） t>0表示所有t>0。因此，当且仅当c=1时，贴现函数的前两个性质满足- c下列两个条件之一成立：（i）r<rand c≤ 1.或（ii）r>rand c≥ 接下来，有必要使D（t）严格递减。考虑其一阶导数（t）=crert+crert=ertcr+cre（r-r） t型.由于所有t>0的ert>0，当且仅当ifcr+cr时，函数D（t）严格递减≤ 0，和CR+cre（r-r） t<0表示所有t>0。回想一下，在前两个条件中，我们的c=1- cand[（i）或（ii）]持有。因此，当且仅当以下所有条件均成立时，D（0）=1，D（t）>0，且D（t）严格递减：cr+（1- c） r≤ 0，cr+（1- c） re（r-r） t<0对于所有t>0，c=1- c、 和[（i）或（ii）]持有。注意Cr+（1- c） re（r-r） t=cr+（1- c） re（r-r） t+cre（r-r） t型- cre（r-r） t=（cr+（1- c） r）e（r-r） t+cr1.- e（r-r） t型.因此，我们必须有Cr+（1- c） r≤ 0，（3）（cr+（1- c） r）e（r-r） t+cr1.- e（r-r） t型< 0表示所有t>0，（4）c=1- c、 和[（i）或（ii）]持有。（5） 考虑（5）中的情况（i）。那么条件（3）成立当且仅当c≥rr（右后）-r、 给定（3），条件（4）成立当且仅当（1- c） r<0，相当于（i）情况下的toc<1和r<0。因此，在案例（i）中，当且仅当c=1时，贴现函数的前三个属性才满足- c、 r<r<0和RR-r≤ c<1。由于r<r<0，第四个属性也满足。接下来，考虑（5）的情况（ii）。该论点与案例（i）相似。条件（3）成立的当且仅当c≤rr（右后）-r