背景率随时间变化的Hawkes过程模型及其应用

然而，正如菲利莫诺夫和索内特（2015）指出的那样，交易活动伴随着相当大的日常变化，因此假设每个交易日的背景利率相同，将导致偏差估计[3 8]。一些作者通过使用分段线性函数对背景率进行建模，该函数是为每个会话单独估计的【26，27】。本研究以分段线性函数为参考，并与我们的模型进行了比较。在之前的研究中，节点位于几个小时的间隔内【26，27】，因此我们采用aknots定位，间隔两小时【9:00，11:00，13:00，15:10】。我们还考虑每隔30分钟[9:00，9:30，10:00，…，14:30，15:10]的节点位置。该模型的参数采用最大似然法估计。四、 结果A。具有不同背景速率函数的霍克斯模型之间的比较我们比较了具有以下不同背景速率函数的霍克斯模型的性能：（i：CONST）恒定背景速率，（ii：PL2h）节点间隔为两小时的分段线性模型，（iii：PL30min）带节点的分段线性模型。表i.每个会话的平均得分。每个值都与最佳模型相关，即M=2的BCB模型。指数数（M）1 2 3 4 const-110.8-28.3-17.9-18.3PL2h-77.2-18.5-13.7-14.6PL30min-47.4-7.7-7.8-9.5BCB-19.7 0.0-0.3-1.9图。4、CONST、PL2h（M=3）、PL30min（M=2）和BCB（M=2）模型在KS测试中获得的每个会话的p值的累积分布。如果分布在灰色区域，则分布通过KS均匀性检验，p=95%。三十分钟的时间间隔，以及（iv：BCB）我们的新模型贝叶斯三次B样条模型。

我们在每个工作日6小时10分钟的常规会议上，将每个模型与数据进行比较，并获得了总共122个工作日的单独估计值。为了量化不同复杂程度模型数据的拟合优度，我们对CONST、PL2h和pl30min模型使用了凯克信息准则（AIC）[3 9]，对BCB模型使用了阿凯克贝叶斯信息准则（ABIC）[40]（详情见附录D）。对于每个会话，每个模型的分数，-AIC/2或-计算了ABIC/2（值越高意味着更好）。分数取S=log（如eli hood）-（P enalty），其中惩罚取决于模型的复杂性（详见附录D）。表一总结了每个模型的平均得分。我们发现，最好的模型是具有两个指数的BCB模型，而具有三个指数的BCB模型的性能也与最好的模型类似，这表明我们的模型在拟合优度方面优于其他模型。随着背景率函数灵活性的增加（表一中自上而下），拟合度普遍提高。我们还发现，具有多个指数的模型明显优于具有单个指数的模型，这与之前的研究一致[26]。在下面的分析中，我们只关注CONST（M=3）、PL2h（M=3）、PL30min（M=2）和BCB（M=2）模型，它们分别是每类背景速率函数的最佳模型。接下来，我们检查估计模型是否与数据统计一致。如果模型正确，则转换后的事件间隔{τi=1-经验值[-Rti+1tiλ（t）dt]}服从均匀分布。在零假设下的Kolmogorv-Smirnov（KS）检验将均匀分布应用于{τi}的每个阶段，以获得p值。

图4显示了p值在所有sess离子上的累积分布。在零假设下，p值的分布也遵循均匀分布，然后我们再次对获得的p值的S e t进行K S检验，以检查其均匀性。BCB模型以95%的置信度通过了测试，但CONST、PL2h和PL30min模型被拒绝（图4）。这一结果表明BCB模型与da ta的一致性。图5显示了与价格动态相关的背景利率u（t）的估计示例，以及两个对比阶段的市场波动（过滤交易）的累积数量。虽然在第一个例子中价格几乎是浮动的（图5a），但在第二个例子中价格出现了大幅下降，因为日本央行宣布保持货币政策不变，并使市场失望（图5b）。我们在此比较了PL2h、PL30min和BCB型号之间的性能。在这两种情况下，PL2H模型的表现都比其他模型差。在第一个示例中，PL30min和BCB模型g具有类似的估计，其中背景率变化缓慢且轻微。因此，这两种模型在没有大的价格变化的会话中可以执行类似的操作。为了检验这一结果，我们选择了一个会话，在该会话中，价格的范围（会话期间最高和最低价格之间的差异）等于或小于其75%分位数（385日元）。对于此类价格变化不大的课程，30分钟模式的平均得分略高于BCB模式0.3分。此外，PL30minmodel通过了此ca se的KStest。

因此，除了BCB模型外，PL30min还可以有效地分析背景率随时间缓慢变化的会话。相反，在第二个示例中，PL30minDBCB模型的表现非常不同，BCBmodel明显优于PL30minmodel。在这个特殊的例子中，分数的差异大约为300，这意味着BCB模型比PL30min模型更有可能。BCB模型显示，随着新闻发布，背景利率突然上升和下降，这与Rambaldi et al（2015）[24]中的结果一致，而PL30min模型无法捕捉此类时间变化。这些结果表明，amodel考虑细尺度时间变量非常重要。5、根据2016年2月1日（a）和2016年4月28日（b）交易日的日经225指数数据估算背景利率的示例。显示了BCB（M=2）、PL2h（M=3）和PL30min（M=2）模型的估计值，其中M表示触发核中的指数数。（a）的拟合得分（PL2h/PL30min/BCB）分别为-5.2/0.0/0.0，（b）为-303.1/-299.5/0.0，其中每个值都与BCB模型相关。（a）的branchingratios分别为0.62/0.49/0.46，（b）的branchingratios分别为0.91/0.87/0.48。表二。平均分支比率。指数数（M）与背景率的0.57 0.74 0.81 0.83PL2h0.43 0.59 0.66 0.68PL30最小0.32 0.45 0.47 0.49BCB0.25 0.41 0.47 0.49相关，并且BCB模型在分析背景率显著波动的情况时特别有用。还应该指出的是，衰变的形式并不是那么简单：在宣布消息30分钟后，背景速率再次增加。图6显示了背景率的显著时间变化的其他示例。

从某种意义上讲，市场对宏观经济新闻公告的反应是相当多变的，即使是相同的新闻也可能导致不同的反应。此时，BCB模型也可能有助于描述市场对给定新闻公告的复杂反应。B、 背景利率的非平稳性对分支比率估计的影响表II总结了每个模型的平均分支比率。根据最佳模型（具有两个指数的BCB模型）估计的平均分支比率为0.41，这意味着41%的市场运动是日经225指数的内生起源。这一结果表明了外生因素在市场动态中的相对重要性，这与之前的研究形成了鲜明对比，之前的研究认为内生效应的显著贡献【15，17】。我们检验了背景率的非n平稳性对分支比估计的影响。与bestmodel（BCB模型）相比，CONST和PL2H模型的分支比率明显过高。CONST和PL2HModels无法很好地捕获背景速率的时间变化，因为其灵活性较低，如图5所示，然后尝试将数据中的非平稳性再现为自激序列，从而导致分支比的高估。PL30min（M=2）模型的平均制动率与BCB（M=2）模型的相似。因此，我们必须至少在几十分钟的时间尺度上考虑回溯率的时间变化，以适当估计分支率。另一方面，PL30min（M=2）模型高估了分段的分支比率，其中，由于无法再现快速的时间变化，存在显著的回溯率变化（图5b和图6）。

相比之下，BCB模型可以通过灵活估计背景率更准确地估计分支比率。这些结果表明，适当的背景率模型对于分支比估计至关重要，而过度平滑的背景率的使用会导致分支比的高估。图6：。（a）2016年1月29日，日本银行宣布，以及（b）2016年6月24日，英国欧盟成员国公投导致英国投票退出欧盟，根据日经225指数mini数据估算背景利率的示例。显示了PL30min（M=2）和BCB（M=2）模型的估计值。拟合得分（PL30min/BCB）分别为（a）的-342.2/0.0和（b）的-77.1/0.0，其中每个值都与BCB模型相关。（a）和（b）的分枝比分别为0.89/0.54和0.84/0.47。在（b）中的灰色阴影区，由于断路器，交易停止。图7：。根据BCB（M=2）模型估计的2016年1月4日至2016年6月30日期间背景利率的日常分布。C、 绘制了背景利率的日变化率，以反映所有研究阶段中背景利率的日内模式、背景利率的中位数、50%和90%范围（图7）。背景率在会议开始时明显较高，尤其是前30分钟，但在会议结束时没有明显增加。市场波动的发生率，以及所有交易的发生率，包括没有价格变化的交易，也观察到了这种趋势。因此，日经225 mini的市场走势呈现反向J形盘中模式，而非U形模式。

我们还发现，背景率有相当大的日常变化。因此，有必要以一种自适应的方式对背景率进行建模。五、 结论与讨论在本文中，我们开发了背景利率随时间变化的霍克斯模式L，并将其应用于日经225指数的高频财务数据。我们的模型不仅可以灵活地估计缓慢的变化，而且可以灵活地估计背景率的快速变化，因为使用了相对大量的可变宽度基函数。我们的模型比具有其他背景速率函数的霍克斯模型、常数模型（CONST）、节点间隔为2小时s（PL2h）的分段线性模型和节点间隔为30分钟（PL30min）的分段线性模型更适合数据。特别是，我们的模型对数据的拟合优度的改善在背景率存在显著时间变化的会话中尤为显著。此外，我们发现我们的模型在统计学上与数据一致。我们已经证明了为分支比估计建立与时间相关的背景率模型的重要性。CONST和PL2hmodels通常高估了分支比率，因为它们无法很好地捕获背景速率的时间变化。平均而言，由PL30最小模型估计的分支比率与我们的模型相似，这意味着至少在这个时间尺度上考虑时间变化是必要的。然而，如果在一段时间内出现回溯率的快速波动，则L30分钟模型高估了分支比率。相比之下，我们的模型可以通过灵活地估计背景速率的时间变化来更准确地估计突变率。

我们还发现，通过我们的模型估计的日经225指数的平均分枝率为0.41，这表明与之前的研究相比，外源因素的相对重要性【15，17】。通常，鉴于未知的时变背景率，将事件发生的根源分解为内生和外生影响是一项艰巨的任务[38]。背景比率估计值的偏差将导致BranchingGratio估计值的偏差。例如，使用过于平滑的背景速率会导致对branchingratio的高估，如上所示。为了减少这个问题的主观性，我们客观地根据数据进行了这种分解，以便最大限度地提高模型再现数据的能力。具体而言，通过最大化数据的边际似然函数，同时优化触发核的参数、时间变化的平滑度和背景率的时间过程。此外，我们已经证实，与其他模型相比，我们的模型改善了拟合，并且我们的模型在统计上与数据一致。我们估计时变背景率的方法不适用于在线估计。我们使用平滑法：给定时间的值是使用周围的数据估计的。另一方面，只有给定时间之前的数据才能用于在线估计。为此，非高斯状态空间模型将非常有用。[1] F.Omori，《日本东京帝国大学理学院学报》，第7111页（1894年）。[2] B.Isacks，J.Oliver和L.R.Sykes，J.Geophys。第73、5855号决议（1968年）。[3] J.K.Gardner和L.Knopo Offf，Bull。地震。Soc。是641363（1974）。[4] J.Zhuang，Y.Ogata和D.Vere Jones，J.Am。《美国统计协会》97369（2002年）。[5] D。

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