背景率随时间变化的Hawkes过程模型及其应用

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英文标题：
《Hawkes process model with a time-dependent background rate and its
  application to high-frequency financial data》
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作者：
Takahiro Omi, Yo*****o Hirata and Kazuyuki Aihara
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  A Hawkes process model with a time-varying background rate is developed for analyzing the high-frequency financial data. In our model, the logarithm of the background rate is modeled by a linear model with a relatively large number of variable-width basis functions, and the parameters are estimated by a Bayesian method. Our model can capture not only the slow time-variation, such as in the intraday seasonality, but also the rapid one, which follows a macroeconomic news announcement. By analyzing the tick data of the Nikkei 225 mini, we find that (i) our model is better fitted to the data than the Hawkes models with a constant background rate or a slowly varying background rate, which have been commonly used in the field of quantitative finance; (ii) the improvement in the goodness-of-fit to the data by our model is significant especially for sessions where considerable fluctuation of the background rate is present; and (iii) our model is statistically consistent with the data. The branching ratio, which quantifies the level of the endogeneity of markets, estimated by our model is 0.41, suggesting the relative importance of exogenous factors in the market dynamics. We also demonstrate that it is critically important to appropriately model the time-dependent background rate for the branching ratio estimation.
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中文摘要：
为了分析高频金融数据，建立了背景率随时间变化的霍克斯过程模型。在我们的模型中，背景率的对数由一个具有相对大量可变宽度基函数的线性模型建模，参数由贝叶斯方法估计。我们的模型不仅可以捕捉到缓慢的时间变化，如日内季节性变化，还可以捕捉到宏观经济新闻发布后的快速时间变化。通过分析日经225指数的tick数据，我们发现（i）我们的模型比在定量金融领域常用的具有恒定背景率或缓慢变化背景率的霍克斯模型更适合数据；（ii）我们的模型对数据拟合优度的改善是显著的，尤其是对于背景率波动较大的会话；（iii）我们的模型与数据在统计学上是一致的。我们的模型估计的分支比率（量化市场内生性水平）为0.41，表明市场动态中外生因素的相对重要性。我们还证明，为分支比估计建立与时间相关的背景率模型至关重要。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Hawkes_process_model_with_a_time-dependent_background_rate_and_its_application_t.pdf (1.4 MB)

2022-5-31 04:24:33 上传

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关键词：Hawk 时间变化 过程模型 Quantitative Econophysics

具有时变背景率的霍克斯过程模型及其在高频金融数据中的应用，*日本东京153-8505，美姑罗区小马坝4-6-1号，东京大学工业科学研究所，平田义人和Kazuyuki AiharaInstitute。（日期：）开发了一个具有时变背景率的霍克斯过程模型，用于分析高频财务数据。在我们的模型中，背景率的对数由一个线性模型和相对大量的可变宽度基函数建模，参数由贝叶斯方法估计。我们的模型不仅可以捕捉到缓慢的时间变化，如日内季节性变化，还可以捕捉到宏观经济新闻发布后的快速时间变化。通过分析日经225 mini指数的tick数据，我们发现（i）我们的模型比具有恒定背景率或缓慢变化背景率的霍克斯模型更适合数据，而霍克斯模型通常用于定量融资领域；（ii）我们的模型对数据的拟合优度的改善是显著的，尤其是对于背景率存在显著波动的会议；我们的模型与数据在统计上是一致的。我们的模型估计的分支比率（量化市场内生性水平）为0.41，表明市场动态中外生因素的相对重要性。我们还证明，为分支比估计建立与时间相关的背景率模型至关重要。PACS编号：89.65。Gh，05.45。Tp，05.40-a、 89.75-kI。简介在各种复杂系统中，活动由内（内）外（外）力驱动，表现出复杂的动力学。

从自然科学到社会科学都可以观察到这种动态，例如地震【1-5】、神经环【6-8】、人类活动【9、10】和金融市场活动【11、12】。利用所观察到的动力学，确定内生力、外生力或两者之间的相互作用对理解系统很重要。长期以来，在经济学背景下，金融市场波动的原因一直是一个核心问题。有效市场假说的一个经典范式表明，市场运动完全受新闻的到来所支配，也就是说，完全由异源起源决定。另一方面，已经积累的经验证据表明，新闻的到来只能解释大幅度波动的一部分，因此市场活动主要是内生的【13，14】。市场的内生效应被称为金融领域的波动[12]。为了量化每个因素的相对重要性，有必要对观察到的活动进行适当的建模。Filimonov a and Sornette（2012）提出用Hawkes过程对高频财务数据进行建模，以量化市场的反应水平[15]。霍克斯过程是一个简单的自激点过程，用于描述事件的时间集群【16】。在我们的情况下，每一个事件都对应着一个市场运动。在aHawkes过程中，假设每个事件都可以触发*omi@sat.t.u-东京。ac.jpger新事件，其发生率是背景率（外源效应）和先前事件的触发效应（内源效应）之和。过程内生性的强度由单个事件直接触发的平均事件数（分支比率）来量化。

通过使用霍克斯模型，可以看出，标普E-mini期货合约上的市场波动很大一部分是内在的或原始的【15，17】。通过这种方式，霍克斯过程建模在分析高频财务数据时非常有用，并且在本12月的定量财务领域中非常流行【18–20】（另请参阅【21】）。在霍克斯过程的原始模型中【16】，背景速率被假定为时间常数，许多研究都采用了这个简单的假设。然而，这种假设是不合理的，因为交易活动通常是非平稳的。例如，众所周知，存在一种称为U型的日内季节性模式，在该模式中，活动在一个交易日的开盘和收盘前后都很活跃【22】。此外，宏观经济新闻的发布，尤其是令人惊讶的信息，暂时增强了市场活动[23]，最近的研究表明，宏观经济新闻发布后的外汇市场活动可以用霍克斯模型更好地描述，霍克斯模型的背景利率随时间变化，自发布之日起会显著下降[24]。因此，有必要考虑背景利率的非平稳性，以便对市场动态进行适当建模。有一些方法可以解释这种非平稳性【15、17、25-27】。在本文中，我们开发了一个新的霍克斯过程模型，可以灵活地估计与时间相关的背景率。我们通过将模型应用于综合数据和实际高度图，证明了该模型的有效性。交易价格变化（黑点）和过滤交易（红色箭头；详情见正文）示例。

本研究分析了过滤交易的时间序列。日经225小型期货合约的频率数据，并将我们的模型与现有模型进行比较。我们还估计了KKEI 225 mini和ex amine市场运动的分支比率，以及非平稳性对分支比率估计的影响。二、数据我们使用的是日经225 mini的tick数据，这是一个基于日经股票平均价格的期货合约，从JPX数据云购买(http://db-ec.jpx.co.jp/)。具体而言，我们分析了2016年1月4日至2016年6月30日的常规会议（9:0015:10 JST）中的数据。数据集包括所有交易的时间统计、交易量和价格。时间戳以1秒的分辨率记录，同一时间间隔内的多个事件具有相同的时间戳。为了避免环绕过程中的估计偏差，我们添加了一个统一的随机数[-0.5、0.5（秒）]到每个时间戳。交易价格的刻度大小为5日元。日经225迷你交易，16份合同的到期日不同。在每个交易日，我们只使用其中交易最活跃的合约，其交易量平均占总交易量的91%。交易价格的变化不是市场运动的良好指标，因为交易价格受到“微观结构”噪音的影响；交易价格迅速反弹，在流动市场中，即使最佳买入价和卖出价保持一致，交易价格也会在最佳买入价和卖出价之间反弹（买入价-卖出价反弹；见图1）。因此，中间价的变化，即最佳买入价和卖出价的平均值，通常被视为市场运动的更好指标【15，17】。然而，我们的数据集不包括买卖价格的信息。

因此，我们可以通过以下方式对交易进行过滤，以去除数据中的噪声，从而提取出的交易可以恢复发生模式中的中间价格变化（图1）。我们首先从数据集中排除没有价格变化的交易。然后，我们选择满足以下条件的交易：（i）价格变化的符号与其之前的交易相同，或者（ii）价格变化的幅度大于一个ticksize。过滤后的交易约占所有交易的3%，平均每期交易数量为2090笔，从465笔到18505笔不等。在本研究中，weregard将过滤交易作为市场运动，并分析过滤交易的时间序列。三、 模型A。Hawkes过程Hawkes过程是一个简单的点过程模型，用于描述事件发生的聚类行为[16]。原始模型和扩展模型已在许多领域使用【28–31】。在霍克斯过程中，时间t时事件的发生率λ（t）取决于发生的历史记录，其表示为λ（t | Ht）=u（t）+Xti<tg（t- ti），（1）其中，第一个mu（t）是背景速率，第二个项表示在ti发生时来自前面e个喷口的触发效应，其强度由触发核函数g（·）控制。在霍克斯过程方法中，我们简单地假设背景/触发项完全归因于外源/内源效应。

然后，该过程内生性的强度由分支比率表征∞g（s）ds，即单个e出口直接触发的平均事件数。分支比率也被解释为具有内生起源的事件与所有事件的比率。在本研究中，我们将M个原函数之和用于触发核函数，如下所示：g（s）=MXi=1αiβie-β是，（2），其中αi和βi（i=1，…，M）是参数。在这个参数化过程中，α参数之和PMi=1αi，对应于池塘的分枝比。虽然幂律函数也被用于将长期记忆的定量金融[17]转换为ac计数[32]，但我们这里只考虑多重指数函数，因为之前的研究表明，具有多重幂律函数的模型比具有幂律函数的模型更适合数据[26]。如果我们假设背景速率在一段时间内是常数，u（t）=uc，则模型的特征是参数θ={uc，α，β}，其中α={α，…，αM}和图。生成可变宽度基函数的示意图。详细方法见附录B。（a）立方体B样条线底座。（b） 我们首先以等距的方式放置事件，并放置由彩色曲线（顶部面板）表示的等宽三次b样条基。这个时间坐标称为自然时间。垂直虚线表示节点（见附录A和B）。然后，我们将自然时间坐标更改为实际时间，以获得宽度可变的基本函数（底部面板）。β={β，…，βM}，它们可以通过最大似然法进行估计[33]。

给定参数θ的Hawkes过程的对数似然函数基于n个观测间隔[S，T]中n个事件的数据D[S，T]={ti}ni=1给出为log L（θ| D[S，T]）=nXi=1logλ（ti | Hti）-ZTSλ（t | Ht）dt。（3） B.我们的非平稳背景率模型我们在这里开发了一种新的霍克斯过程模型，可以灵活地估计背景率u（t）的时间变化。在本节中，我们仅简要总结了该方法，详细信息见附录AD。在本研究中，对数u（t）由线性回归模型建模，其中m个给定的基函数{fj（t）}mj=1，参数{aj}mj=1如下：对数u（t）=mXj=1ajfj（t）。（4） 对数u（t）考虑线性模型，因为u（t）仅取正值。在我们的模型中，函数形状和基函数的数量是根据数据确定的，以便根据高度非均匀分布的数据进行灵活的估计。基本函数{fj（t）}mj=1是基于三次B样条基函数▄f（·）的凹凸形状，这是一个光滑连接的分段三次函数，如图2a所示。此外，基函数的宽度根据事件的频率而变化，以考虑事件分布的不均匀性：对于高（低）频率区域（图2b中的底部面板），宽度小（大）。这些可变宽度基函数是通过变换放置在时间坐标（自然时间）中的固定宽度样条基来构建的，在时间坐标中，事件是均匀分布的（图2b；详情见附录A和B）。为了做出灵活的估计，我们准备了相对大量的基函数。具体而言，基函数m的数量设置为3+n/50, 哪里· 表示最接近的整数函数，n是会话中的事件数。

附录E总结了性能如何取决于基函数的数量。在我们的模型中，基函数的参数数量{aj}mj=1相对于事件的数量相对较大（例如，一些数据的数量为数百）。在这种情况下，由于过度拟合，最大似然估计给出了u（t）的粗略估计，并且往往计算不稳定。为了获得可靠的估计，我们在这里使用了一个带有平滑度约束f ru（t）的贝叶斯框架（估计过程的详细信息请参见附录C）。贝叶斯方法有图。3、仿真研究。在给定的背景速率u（t）（黑色曲线）下，使用霍克斯过程模拟了100个合成序列。每个红色曲线表示通过将我们的模型应用于每个序列而获得的背景率估计值。（a）和（b）中考虑了两种不同的背景速率函数。通常用于根据点过程数据估计时变参数【34–36】。在下文中，我们将我们的新模型称为贝叶斯立方样条（BCB）模型。还值得一提的是，在其他上下文中已经提出了背景率不稳定的自激发点过程的一些模型[29，37]。我们方法的源代码可根据相应作者的请求提供。为了证明我们的模型的性能，我们将我们的模型应用于Hawkes过程模拟的合成数据，该过程具有给定的时变背景速率u（t）（图3）。在这个测试中，我们为触发内核（M=1）使用了一个指数函数。u（t）的第一个示例模拟了日内模式的U形（图3 a）。我们发现，我们模型的估计值与u（t）、α和β的真实值非常一致。

在第二个例子中，我们考虑了背景活动的不连续上升和随后的衰退，这模拟了重要宏观经济新闻发布后的市场行为（图3b）[24]。由于u（t）由光滑函数建模，因此我们的模型无法准确再现这种不连续行为。实际上，图3b的仔细检查表明，估计的u（t）在真正上升之前开始增加。然而，尽管存在这样的缺点，由于使用可变宽度基函数，我们的方法合理地捕捉到了真实u（t）的趋势，并且α的估计偏差很小。这些结果表明，我们的模型能够根据数据灵活地估计时变背景。C、 非平稳背景率的现有研究我们简要回顾了处理非平稳背景率的现有研究。最简单的方法是将会话划分为短时间段（例如几十分钟）的子区间，其中参数可以被视为常数，并将霍克斯过程与恒定的背景速率分别应用于每个子区间【15】。然而，如果在asub间隔中存在背景率的ra pid时间变化，则估计将有偏差。此外，该方法要求每个子区间包含足够的事件用于模型校准，对于事件不多的子区间，无法获得可靠性估计。Bowsher（2007）通过分段线性函数对背景利率的时间变化进行建模，并假设每个工作日的时间变化是相同的【25】。Hardiman等人（2013年）也考虑了对每个工作日使用相同权重函数的去趋势化方法【17】。