多协变量点过程预测的估计

由于在t=0时启动，因此过程fa（t）不是静止的。因此，根据条件1，它不能用作协变量之一。确定家庭成员≥0：a∈ [a，\'a] （0，∞ )o、 式中fa（t）=f\'(-∞,t） e类-a（t-s） dN（s）f和前面一样。过程fa是静止的，但不可观测。尽管存在符号差异，但我们可以验证推论2的条件，以确保定理1仍然成立。我们还需要验证使用fa（t）的计数过程是平稳的。推论5在条件1下，强度密度λ（t）=exp{fa（t）+g（X（t））}（对于任何∈ （a，’a））具有固定分布。此外，假设对数似然度与强度expnfa（t）+g（X（t））ois最大化w.r.t。g级∈ L\'\'B和a∈ GT和aT的[a，\'a]（即使误差与条件1中的误差大致相同）。假设B是固定的，g∈ L\'\'B, 然后，在概率上，燃气轮机+￠英尺- （g+f）λ、 T。√ln K+√ln T+最大值≤K'pln（1+N（，ΘK））d√T、 （14）也假设Θk：={πk}，那么燃气轮机+￠英尺- （g+f）λ、 T。ln KTT概率为1/2。请注意，为了简化表示，我们使用ln KT=ln（KT）和类似的通配符。3.6.3多变量阈值模型→ [0，1]是参数α的Holder连续∈ （0，1），即|Д（x）- ^1（y）||x个- y |α。考虑一类线性阈值函数f（x，z）：=ax+axД（cz- c） ，x，z∈ R、 其中a，a，c，关心未知的实系数，a，a，c，c∈ [-1，1]。用H.Let（Z（t））t表示这类函数的集合≥0是一个可预测的平稳遍历实值过程，取[0，1]中的值作为Xk的值。将其称为阈值变量。那么，f（Xk（t），Z（t））是一个转换过程，对于KthCovenate：Xkdepends对阈值变量Z的影响。

因此，f（x，z）是一个平滑过渡函数（参见van Dijk et al.，2002，了解基于此函数规范的平滑回归模型调查）。具有元素Д（cz）的函数类- c） 有界z具有有限熵积分（例如，从van der Vaart和Wellner，2000年的定理2.7.11中推导出）。鉴于此a，a∈ [-1，1]，因此H具有有限熵积分。设Θk：={fo （πk，ι）：f∈ H} ，其中，ι是单位映射ι（z）=z（即，fo （πkx，ιz）=f（xk，z））。推论6设Z如前所述。假设g∈ L（B）。在条件1和3下，对于估计量gT∈ L\'\'B, 对于任何“B”→ ∞ 使得“B=O”T1/2, |燃气轮机-g |λ，T.’Bln KT最终，概率为1/2。3.6.4 Lconstraintc下固定字典的扩展，考虑表示为f=P的单变量函数的情况∞v=1avevwhere{ev：v=1，2，…}是一本字典∞v=1 | av |<∞. Barron等人考虑了此类函数的子空间。（2008年）。一个典型的例子是当f是多项式时。然后，letPVv=1avev（xk）是某些特定V的KthCovenate函数的（截断）表示。然后，假设gc可以写成g（x）=KXk=1bkVXv=1avk，kevk（xk）（15），因此Θk={evo πk：v=1，2。。。，V}和pkk=1PVv=1 | bkavk，k |≤ B、 在这种情况下，可以直接估计系数bkavk，并将优化减少到元素ev的选择上o πkinΘ。每个Θk中都有V固定的元素。因此，每个Θk的熵积分是√第五层。如果没有产生近似误差（即GCA可以写为（15）），则| gT-g |λ，T。ln千伏1/2，与线性情况（第3.6.1节）一样，但使用KV变量代替K。该框架适用于平滑函数的筛选估计，在这种情况下会产生近似误差。

对于不确定性，假设{ev:v=1，2，…}是周期为1的三角多项式，而不是通用字典。设H是[0，1]上指数α>1/2、常数为1且一致有界的保持连续函数类，即| f（x）- f（y）|≤ |x个- y |α和| f|∞≤ 1，如果f∈ H根据Bernstein定理（例如，Katznelson，2002，第33页），如果f∈ H、 存在一个有限的绝对常数cα，仅取决于α>1/2，因此f=P∞v=1avevandP∞v=1 | av |≤ cα，其中等式在上范数中成立。因此，在下面的内容中，我们可以将H等价于具有这种级数展开的函数类。设hv为V阶三角多项式的集合。根据Jackson定理（例如，Katznelson，2002，p.49），对于任何f∈ 有一个V阶三角多项式，比如fV∈ HV，因此| fV-f级|∞. 五、-α。假设g∈ G（1）（在（12）中），然后使用下标0表示G的系数，G=KXk=1bk0∞Xv=1avk0ev=KXk=1（(R)ak0bk0）∞Xv=1avk0？ak0ev！设置“ak0：=P”∞v=1 | avk0 |。根据上述关于Bernstein定理的备注，存在一个有限常数cα，使得'ak0≤ cα。因此，PKk=1（(R)ak0bk0）≤ cα，通过将注意力限制在g上，对bk0进行约束∈ G（1）。设k：=nPVv=1avevo πk：PVv=1 | av |≤ 1o。利用（13），我们可以导出该问题的近似误差，并推导出以下一致性率。推论7 Let g∈ G（1）（如12所示），H Holder连续，指数α>1/2。在条件1和3下，对于gT∈ L\'\'B, 存在一个有限常数cα，使得| gT- g |λ，T.’Bln千伏1/2+V-2α+最大值cα-\'B，0在概率上。因此，对于任何“B”→ ∞, 选择V （T/lnt）1/（4α），| gT- g |λ，T.\'BT-1/2（ln-KT）1/2，概率。3.6.5神经网络对于x，应用ose f（x）='R'Rν（ax+a）dν（a，a）∈ [0，1]，其中ν是有限变化的有符号度量，等于1/2，ν如第3.6.3节所示。

对于缩放常数，[0，1]上的任何连续有界函数都允许这种表示（例如，Yukich等人，1995年，第二节）。用H.Us表示此类一元函数，通常，Д是一个S形函数，一个单调函数，limx→∞Д（x）=1和limx→-∞ν（x）=0，例如，双曲余弦tanh。考虑截断系列扩展PVV=1a1vД（a2vx- a3v）适用于某些单位。用V项表示该系列展开式的集合，用HV表示：=（f（x）=VXv=1a1vД（a2vx- a3v）：VXv=1 | a1v |≤ 1、a2v、a3v∈ R） 。设Θk：={fo πk:f∈ HV}。假设g∈ G（B）（in（12））。HVfor H中的最佳逼近引起的一致性误差为V-1/2P-几乎可以肯定（Yukich等人，1995年的定理2.1）。因此，使用（13），筛子带有V-1=OT-1/2导致G的近似误差为O英国电信-四分之一. 根据第3.6.4节中的论点和第3.6.3节中的事实，即Д是Holder\'s continuous，可以推断出以下内容。推论8s大于g∈ G（B）。在条件1和3下，对于估计量gT∈L\'\'B, 对于任何V≥ 1，| gT-g |λ，T.’Bln千伏1/2+最大值B-\'B，0+ 五、-1可能性。因此，选择V T1/2，对于任何“B”→ ∞, |燃气轮机- g |λ，T.’Bln KTT1/2不可能。3.6.6形状约束估计：许多单调Lipschitz函数考虑单调函数约束下的估计。假设H是一类域为[0，1]且有界于1的单调递增Lipschitz函数。设Lipschitz常数为已知且等于L。设HV为V阶一元Bernsteinpolynomials类。回想一下，如果fV（x）=PVv=0，则fV是V阶Bernstein多项式Vvavxv（1- x） 五-v、 x个∈ [0，1]，对于任何实际av。如果av≥ 影音-1对于所有v，多项式单调递增。如果也是av-影音-1.≤ α/V对于所有V，它是具有常数α的Lipschitz（例如，Lorentz，1986，Ch.1.4）。

因此，在多项式系数的这些约束下，HV是Lipschitz常数以α为界的函数子集。此外，对于eachf∈ H有一个fV∈ HV使| fV- f级|∞. αV-1/2（例如，Lorentz，1986，Theorem1.6.1）。设Θk：={fo πk:f∈ HV}。已知Lipschitz约束的单调f函数的估计可以使用Bernstein多项式，使用第3.5节的算法方便地进行。估计问题在每一步都变成一个线性规划问题。要看到这一点，请定义qv（x）：=Vv十五（1）- x） 五-v、 特别是，第3.5节中的DT（g，θ）在θ中是线性的。因此，DT（Fj）的最大化-1，θ）w.r.t.θ∈ Θkis等效tomax{av:v≤V}VXv=0av^Tqv（Xk（t））dN（t）-^Tqv（Xk（t））exp{g（X（t））}dt使0≤ 影音-1.≤ 影音≤ 1和av-影音-1.≤ α/V，V=1，2。。。，五、这通常通过单纯形法对每个k进行求解。此外，可以沿着这些线得出有关估计程序的详细信息。根据van der Vaart和Wellner（2000）的推论2.7.2，推导出HV中函数的熵积分是α1/2的常数倍。下面在应用定理1时使用这个观察结果。推论9 Let g∈ G（B）。在条件1和3下，对于gT∈ L\'\'B, V&α3/2×T1/2和'B→ ∞, |燃气轮机- g |λ，T.’Bα+ln KT概率为1/2。如果Lipschitz常数未知，我们可以让α→ ∞ 在估算中。在这种情况下，熵积分是有限的，但不是有界的。3.7“B”的选择考虑到与lpenalization的关系（见（8）），模型自由度可以通过产生的活动变量数量来近似（例如，Bradic等人，2011）。因此，可以通过最大化Akaike的惩罚可能性（AIC）：AICT（B）：=supg来选择值'B∈L（B）LT（g）-kb其中kb是gT=arg supg中非零参数的数目∈L（B）。这比交叉验证的计算强度小。

（在时间序列背景下，交叉验证需要一些谨慎，只有少数特殊情况除外；例如，Burman等人，1994年）。对于非常大的样本量，AIC将选择非常大的模型。在这种情况下，具有较大验证样本的交叉验证（即，省略大部分数据）倾向于选择较小的模型。因此，要使用的方法取决于上下文。有关进一步的讨论和应用，请参见第4.2节和第5节。最后，请注意，为了加快选择“B”的计算速度，可以使用第3.5节中的算法，而无需行搜索。3.8模型拟合和样本外评估可使用样本外评估的对数似然在大样本中执行模型充分性。两种竞争模型gt，g′t的样本外对数似然比∈ L\'\'B在时间t isLS时可预测g、 g′=^Sgt（X（t））- g′t（X（t））dN（t）-^Sexp{gt（X（t））}- 经验值g′t（X（t））dt。在实践中，人们可能会分割样本，并在前半部分估算GT和g′ton，或者每隔一段时间计算过去的观察值。对数似然比的可预测部分isHSg、 g′=^Sgt（X（t））- g′t（X（t））d∧（t）-^Sexp{gt（X（t））}- 经验值g′t（X（t））dt，其中∧（t）是∧（[0，t]）的缩写。当HS（g，g′）大于0时，模型g优于g′。（如果g=g，HS（g，g′）≥ 0，仅当g′=g时相等，见补充材料中的引理4。）可以对以下零假设进行检验：HS（g，g′）=0与单侧或双侧备选方案对比。在null下，LSg、 g′=^Sgt（X（t））- g′t（X（t））d（N（t）- ∧（t））。以下鞅结果是测试程序的正确性。命题1假设GT和g′是可预测的有界过程，HS（g，g′）=0。假设为S→ ∞S^Sgt（X（t））- g′t（X（t））d∧（t）→ σ> 概率为0。设^σS：=S'S[gt（X（t））- g′t（X（t））]dN（t）。

然后，LS（g，g′）/qS^σ在分布上收敛到标准正态随机dom变量。测试框架属于Dawid的前置框架（例如，SeillierMoiseiwitsch和Dawid，1993年，适用于应用程序）。这种方法可以以多种方式应用。例如，考虑一个2T大小的示例。使用[0，T]找到估计量GT和g′T。对（T，2T）因此，经必要修改后，命题中的S=T。在这种情况下，gta和g′tar是可预测的。我们需要假设测试样本大小S增加到整数，以便应用结果。如果测试样本的大小T很大，则渐近结果是适用的。4新西兰元未来贸易抵达的估计和预测的应用这里讨论的估算方法是为了了解影响新西兰元期货交易到达的变量，即芝加哥商品交易所（CME）NZDUSD交易的期货。新西兰元是一种流动性货币期货，但不如欧元、澳元和瑞士法郎（兑美元）等其他货币期货（外汇期货）那么多。影响交易到达的变量有哪些，比如买入交易？这些变量和关系（如果有的话）是否稳定，从某种意义上说，在使用今天的数据估计模型后，可以预测明天的买入交易到达？这些问题对于理解市场微观结构、外汇期货市场的一般理论及其与其他工具（如股票市场、大宗商品等）的关系非常重要。事实上，新西兰元属于商品外汇集团，包括澳元、加元等。这些是经济依赖商品出口的国家的货币。

轶事证据似乎表明，当风险偏好增加时，新西兰元往往会升值。下文对数据进行了描述，随后对模型进行了估计。4.1数据和变量描述贸易抵达强度的估计是一个重要问题（例如，Hall and Hautsch，2007）。新西兰元期货（新西兰元/美元期货前月合约，其股票代码为6N）在芝加哥商品交易所交易。考虑格林威治时间上午8点至下午5点之间的两天交易，特别是2013年9月10日至2013年9月11日。时间段基于流动性考虑。数据是专有数据，由芝加哥一家自营交易公司与位于芝加哥的欧罗拉数据中心的同一位置服务器使用高精度时间戳收集。因此，交易被视为买入或卖出，错误概率最小。数据具有纳秒时间戳，交易时间戳已经调整，以考虑CME网络和报告中的延迟（这些调整大约为半毫秒）。这确保仅使用交易前的信息来确定协变量。买卖强度分别估算。协变量是利用来自6N以及其他被认为可能产生影响的合同的信息得出的。协变量由以下CME期货构成：新西兰元（6N）、澳元（6A）、欧元（6E）、英镑（6B）、加元（6C）、日元（6J）、瑞士法郎（6S）、墨西哥元（6M）、原油（CL）、黄金（GC）和迷你S&P500（ES）。对于每种工具，协变量来自订单和贸易更新。具体而言，变量包括中间价格回报、买卖价差、前两个水平的交易量失衡、贸易失衡和贸易持续时间。变量的值每次发生变化时都会更新。

例如，当中间价与前一个中间价发生变化时，计算回报。量的不平衡计算为每个级别的投标和询价数量的差异（合同通常为5个级别的报价）。然后，这些差异通过该级别上的买卖数量之和进行标准化。贸易失衡是指签署的交易规模，ifa买入为正，卖出为负。除价差外，还计算了所有变量的移动平均值。特别是，使用了顺序为1、2、4、8、16、32、64、128的移动平均数。这是为了让信息以稍微不同的频率以类似于toMIDAS的方式影响强度。总的来说，变量的总数是508，包括一个常量。还估计了一个也允许所有标准化变量的平方和三次方的模型。在这种情况下，包括常数在内的变量总数为1522。一旦计算了特征变量，为了减少计算负担，仅当NZDUSD期货中有更新时才对其进行采样。理由是，如果一个工具领先6N，那么6N的帐簿将在交易前更新。4.2计算测定两天的样本分为三部分。第一天的前半部分是估计样本。第一天的后半部分是验证样本。第二天是测试样品。变量在95%的分位数处进行风标化，然后用它进行标准化，以获取数值[-1，1]。对于三次多项式的估计，在将变量映射到[-1，1]。分位数仅使用第一天的数据计算。因此，测试样本的风沙化基于前一天的95%分位数。风沙化后，选择的权重s集W等于Lnorm的样本es Timato，即Wθ=T'Tθ（X（T））dt1/2超过第一天。

这确保所有变量都具有相同的重要性。模型估计为B∈ {2，4，8，16}关于估计样本。我们将“B”设置为使验证样本的可能性最大化的B。该方法优于AIC，因为这里的样本量非常大。选择“B”，然后使用第一天的数据重新估计模型，即估计和验证样本。这种方法在大样本中是可行的，并且避免了对相依观测值进行交叉验证的一些缺点。4.3评估结果很难清楚、简洁地报告对强度最重要的变量。事实上，尽管系数很小，但这里描述的方法包含了大量变量。对于线性模型，所选的“B”分别产生77和68个协变量的买卖交易模型。对于立方的情况，数字稍大一些。将许多系数相对较小的变量包括在内，会对许多变量产生平均效应，并以类似于预测组合的方式对不稳定性和噪音进行对冲。表1列出了买卖交易线性模型中前十个变量的交集。这些变量可以被视为更稳定的变量子集的某种形式（Meinshausen和Bühlmann，2010，关于稳定性选择的正式方法）。表1：线性模型中影响买卖交易到达的最重要变量。工具变量16N水平上的6N交易量不平衡26N水平上的交易量不平衡展布6A上次交易的持续时间有趣的是，过去的6N持续时间（新西兰元期货）并不重要，因此不在表1中。然而，6A（澳元）的持续时间似乎很重要。