多协变量点过程预测的估计

【推论5】确定挫折：=支持>0^t（t- s） e类-a（t-s） dN（s）≤ β对于某些β<∞. 在定理1的证明中，writePr（dT（gT，g）>CT，）≤ Pr（dT（gT，g）>CT，B）+Pr（Bc），其中Bc是B的补码。我们将推论2应用于r.h.s.上的第一项，然后表明上述显示中的最后一项可以忽略不计。首先，表明强度密度λ（t）=exp{fa（t）+g（X（t））}的过程是平稳的。为此，我们应用了Brémaud和Massoulié（1996）中的定理2。使用它们的符号，这里将等式（1）中的非线性f函数φ（·）定义为exp{f（·）}exp{g（X（t））}，这与它们的情况不同，是随机的。然而，在证明定理2时，他们只使用了|φ（y）的f作用- φ（y′）|≤ α| y- y′|对于某些有限常数α（参见公式（23）和第1580页的FirstDisplay）。这里也是这样。要了解这一点，请回顾f的定义（见第3.6.2节），它是有界的和Lipschitz。然后exp{f（y）}exp{g（X（t））}- 经验值fy′exp{g（X（t））}≤ exp{g}f（y）- fy′（回顾g的统一规范）。我们还需要注意，exp{g（X（t））}是平稳的、有界的和可预测的。这确保了强度λ（t）有界且可预测，这是Brémaud和Massoulié（1996）中使用的引理所要求的。因此，满足条件1。为了验证条件2，我们验证了过程的熵积分是有限的，如下所示。我们将把这件事推迟到证据的最后。因此，经过必要的修改，我们现在验证推论2中的（10）。为此，我们限制Ct：=E maxa∈[a，\'a]\'Tfa（t）-fa（t）dt。推论2要求CTO为e-“Bw”θ√T长度K.

由Lipschitz条件和∈ [a，\'a]，^Tfa（t）-fa（t）dt。^Te-at^(-∞,0）easdN！dt。利用∧是N的补偿器，且∧有界密度exp{fa（t）+g（X（t））}的f作用，推导出∈[答：\'答：\'Tfa（t）-fa（t）dt公司≤ E“^(-∞,0）easdN！^Te-atdt公司#.aE^(-∞,0）easd∧（s）。a<∞.这验证了推论2中的（10）。为了验证▄fa的条件2，我们需要对随机过程A的f族的熵积分进行估计：=fa（t）t型≥0：a∈ [a，\'a]. 这意味着我们需要边界支持>0fa（t）-~fa′（t）. 支持>0^te-a（t-s）- e-a′（t-s）dN（s）≤ 支持>0^t（t- s） e类-a（t-s） dN（s）dt公司一- a′使用一阶泰勒展开式和a、a′的下界。在B上，上述为β| a- a′|。很容易看出，熵积分是β1/2的常数倍，因为[aβ，\'aβ]的均匀-括号数的大小为β（\'a- a） /。因此，我们可以应用推论2。设β=O（ln T））。没有近似错误，因此r-2T（第（9）中的RTA）变为第（14）中的RTA。术语√分母为（14）的lnt与A的熵积分成正比。总之，我们证明B的补码Bc是Pr（Bc）→ 0为β→ ∞.通过马尔可夫不等式，Pr（Bc）≤E支持>0\'t（t- s） e类-a（t-s） dN（s）β。回顾M=N- ∧，通过三角形不等式，r.h.s.上的分子可以有界，supt>0^t（t- s） e类-a（t-s） dM（s）+ E支持>0^t（t- s） e类-a（t-s） d∧（s）=: I+II。平方内的第一个积分是有界可预测函数w.r.t.一个鞅，andis一个鞅。由Burkholder-Davis-Gundy不等式，I.^∞（t- s） e类-a（t-s）d∧（s）≤ e’g^∞（t- s） e类-a（t-s）ds=O（1）。通过类似的参数II=O（1）。这些界限意味着Pr（Bc）→ 推论中的最后一个陈述是从推论4的证明中推导出来的。证据

[推论6]通过引理1，只要'B，近似误差将为零≥ B、 最终会变成“B”→ ∞ 和Bis fite。根据第3.6.3节的备注，熵积分是有限的。因此，界限遵循f rom（9）。证据[推论7]引理2和引理13的近似误差是V的常数倍-2α+最大值cα-\'B，0. 一元s平方一致逼近率V-2α后接第3.6.4节中的备注。假设每个Θkt中有V个元素，则entropyintegral是ln（1+V）的常数倍数。在（9）中插入，只要V>1，就可以推导出边界。特别是对于V和（T/lnt）1/（4α），有界简化更进一步。证据【推论8】证明与推论7相同。证据【推论9】如第3.6.6节所述，在平方均匀损失下，Bernsteinpolynomials的近似率是αV的常数倍-因此，通过引理2和（13），近似误差是αV的常数倍-1+最大值B-\'B，0.因此，作为“B”→ ∞, 近似误差最终为Opα/吨当V&T1/2α3/2时。根据第3.6.6节的备注，熵积分为α1/2。插入（9）下界。A、 1.6定理3d的证明，定义h：=bθ，设t∈ [0，1]。Lethm：=arg suph∈(R)LDT（Fm-1，h- Fm公司-1） 。通过线性，最大值由函数h=bθ和θ获得∈ Θk对于某些k和| b |≤因此，有能力最大化DTw的绝对值。r、 t.θ作为系数bis，不受符号约束。定义，G（Fm-1） ：=DT（Fm-1，hm- Fm公司-1） ，因此对于任何g∈\'L，LT（g）- LT（Fm-（1）≤ G（Fm-1） （A.16）凹面。对于m≥ 0，定义ρm=2/（m+2）。

同样，通过凹度，LT（Fm）=最大ρ∈[0,1]LT（Fm-1+ρ（h- Fm公司-1） （）≥ LT（Fm-1） +DT（Fm-1，h- Fm公司-1） ？ρm+？C？ρm此处？C：=最小值，g∈\'L，t∈[0,1]t[LT（g+t（h- g） （）- LT（g）- DT（g，t（h- g） ）]<0。上述两个显示器与（A.16）、implyLT（Fm）一起显示- LT（g）≥ LT（Fm-（1）- LT（g）+ρmG（Fm-1） +Cρm≥ LT（Fm-（1）- LT（g）+ρm（LT（g）- LT（Fm-1） ）+‘C’ρm=（1- ρm）（LT（Fm-（1）- LT（g））+\'C\'ρm≥对于给定的ρm选择，\'Cm+2（A.17）（如Jaggi（2013）中定理1的证明所示，作必要的修改）。它仍然受C的约束。在Banach空间中，由泰勒展开，LT（g+t（h- g） ）=LT（g）+DT（g，t（h- g） ）+高温g级*, t（h- g）,对于g*= t型*g+（1- t型*) h、 还有一些t*∈ [0，1]，其中g、 t（h- g）= -^Tt（h- g） egds。这意味着'C≥ 明，g∈\'L，t∈[0,1]t-^Tt（h（X（s））- g（X（s）））e’gds≥ -4T e’g’g≥ -4T e’B’θ/w“B”θ/w使用（A.1）。（A.17）中的替换给出了结果。A、 1.7命题1集M：=N的证明- ∧和ht：=gt- 为了简化记法，假设S是一个整数。然后，在命题（无效假设）的条件下，LSg、 g′=SXs=1^ss-1ht（X（t））dM（t）=SXs=1Ys。然后，{Ys:s=1，2，…}是一系列鞅微分。这源于不可预测的预期法则和HTA是一个可预测的过程这一事实。表示{Yi:i上的期望条件作用≤ s} 通过Es。结果将在McLeish（1974）中应用定理2.3。为此，有必要证明（即）SPSs=1Ys→ σ、 （二）limS公司→∞E最大值≤系统/秒<∞ 和（iii.）最大值≤SYs公司/√S→ 概率为0。请注意ESSXs=1Ys= ESSXs=1Es-1年（A.18）使用迭代期望和总和中的元素为正的事实。请注意，ES-1Ys=Es-1.^ss-1ht（X（t））dM（t）= Es公司-1.^ss-1ht（X（t））d∧（t）（例如，绪方，1978年，e.q.2.1）。

H ence，SSXs=1Es-1Ys=“SSXs=1Es-1^ss-1ht（X（t））d∧（t）#。通过这些备注，（A.18）等于SSXs=1Es-1^ss-1ht（X（t））d∧（t）=SSXs=1E^ss-1ht（X（t））d∧（t）=ES^Sht（X（t））d∧（t），使用总和中的项为正的事实。根据命题σS的条件：=S^Sht（X（t））d∧（t）→ σ> 概率为0。顺序σSS≥ 1一致有界。因此，收敛不概率意味着收敛于L，即σS→ σ。这验证了第一个条件（i.）。现在，E maxs≤系统≤SESXs=1YS用总和限定最大值。通过前面的计算，推断出上述条件是有界的，从而验证了第二个条件（ii）。最后，maxs≤S | Ys|/√S=√SMAX≤S^ss-1ht（X（t））dM（t）.√SMAX≤S^ss-1dN（t）+√SMAX≤S^ss-1d∧（t）=√SMAX≤S【N（S）】- N（s）- 1） ]+√SMAX≤S∧（[S- 1，s]），其中不等式使用htis有界的事实。r.h.s.上的最后一个术语是OpS-1/2.计数过程N随着强度的增加而增加。自λ（X（s））起≤ e’guniformly在s中，有一个计数过程N’，其强度密度e’gsuch Pr（N（s）>N）≤ Pr（N′（s）>N）。因此，对于任何s，E【N（s）】- N（s）- 1） ]≤ E[N′（s）- N′（s）- 1） ]≤ 对于某个绝对常数C，它取决于'gonly。后面是最后一个不等式，因为N′是强度为e的泊松分布√SMAX≤S【N（S）】- N（s）- 1） ]≤√SE最大值≤序号（S）- N（s）- （1）|四分之一≤√SSXs=1E | N（s）- N（s）- 1） |！1/4以和为最大值的边界。推断以上为（C/S）1/4=o（1）。这验证了在McLeish（1974）中应用定理2.3所需的第三个条件（iii.）。如果S不是整数，则写入S 对于其整数部分。然后√SLS公司g、 g′=SS1/2便士SSXs=1Ys+√S^SSht（X（t））dM（t）。清晰地S/S→ 此外，通过与用于验证上述第三个条件（iii.）的参数类似的参数，推断r.h.s.上的最后一项为op（1）。

这显示了结果σSas缩放序列，而不是^σS。然而，^S- σS=S’Sht（X（t））dM（t）→0 a.s.，我们可以使用^σ来定义t统计量。这就完成了证明。A、 2关于第5.3.1节的详细信息定义Yi：=exp{g（X（Ti））}和Zi：=PTj≤领带-a（Ti-Tj），调用R（Ti+1）=Ti+1- Ti。注意，对于t∈ （Ti，Ti+1），λ（t）=c+Zie-a（t-Ti）易。因此，∧（（Ti，Ti+1））=^Ti+1Tiλ（t）dt=cR（Ti+1）+Zia1.- e-aR（Ti+1）Yi是指1，指数分布，条件为Fi：=（Ti，Zi，Yi）。此外，Zi=Zi-1e级-a（Ti-Ti公司-1） Z=1时为+1。因此，定义c=cYi，c=YiZi，并模拟i.i.d.[0，1]均匀随机变量Ui。我们模拟R（Ti），将其设置为解算SCs+ca（1- e-as）=-在Ui中。给出（c，a）=（2，1.3）的初始猜测（2，1.5），我们估计exp{gT（X（t））}。给定nexp{gT（X（t））}我们估计c+PTi<te-a（t-Ti）exp{gT（X（t））}。我们执行第二次迭代。使用第3.5节中的算法估算g。在这种情况下，可能性的相关部分为nxi=1g（Ti-（1）-nXi=1exp{g（Ti-1） }我在这里i=cR（Ti）+Zi-1a级1.- e-aR（Ti）将c和a设置为其猜测/估计值。c和a的估计是通过给定exp{gT（X（t））}的最大似然进行的。