多元离散终端财富的存在唯一性

矩阵B（Д）可以按B（Д）=NXi=1y>iyi重新排列-NNXi=1y>i！NXi=1yi=NXi=1y>iyi-N“NXi=1y>iNXu=1yu#-N“NXi=1NXv=1y>v！yi#+NNXi=1！NXv=1y>v！NXu=1yu！=NXi=1”y>iyi- y> iNNXu=1yu！-NNXv=1y>v！yi+NNXv=1y>v！NXu=1yu#=NXi=1“y>iyi-NNXu=1yu！-NNXv=1y>v！易-NNXu=1yu#=NXi=1“y>i-NNXv=1y>v！易-NNXu=1yu{z}：=wi∈R1×M#=NXi=1w>iwi。由于矩阵w>i是所有i=1的正半定义，N、 B（Д）的保持架相同，因此TWR/NNI为凹面。此外，如果有∈ G\\R带 TWRN（Д）=0TWRN（Д）>0<=>NXi=11+h（ti·/^t）>，Дi（ti·/^t）=0<=>NXi=1yi=0，其中yi=yi（Д），矩阵B（Д）进一步减少toB（Д）=NXi=1y>iyi。多元离散TWR的存在性和唯一性11如果B（ψ）不是严格正定义，则存在aψ=（ψ，…，ψM）>∈ RM \\{0}例如0=ψ>B（ψ）ψ=NXi=1ψ>y>iyiψ=NXi=1hy>i，ψi{z}≥我们得到thathy>i，ψi=1+h（ti·/^t）>，νih（ti·/^t）>，ψi=0 1.≤ 我≤ N<=> h（ti·/^t）>，ψi=0 1.≤ 我≤ N、 在ker（T）中产生一个非平凡元素，从而与假设3.2（c）相矛盾。Hencematrix B（Д）是严格的正定义，TWR/NNI在Д中是严格的凹形。有了这一点，我们可以说明多变量优化问题的存在唯一性结果。定理3.6。（最优f存在性）给定一个返回矩阵T=ti，k1.≤我≤N1型≤k≤Mas在（2.1）中指出，ful符合假设3.2，则存在一个解决方案∈ 优化问题的G（3.2）最大化∈GTWRN（Д）。（3.4）此外，下列陈述之一适用：（a）ДoptN是唯一的，或（b）ДoptN∈ G、 对于这两种情况，ДoptN6=0，ДoptN/∈ R和TWRN（ДoptN）>1为真。证据我们证明了fTrN的第N个根的最大值的存在性和部分唯一性，得到了一个具有被证明性质的解νoptNof（3.4）的存在性和部分唯一性。对于引理2.2和引理3.4，终端财富相对的支撑G是凸的和紧的。

因此，连续函数TWR/NNattains的最大值为onG。对于ν=0，我们从（3.3）中得到 TWR/NN（0）=TWR/NN（0）{z}=1·NNXi=1（ti·/^t）>，由于假设3.2（b），这是一个分量严格为正的向量。因此0∈ G不是TWR/NN的最大值，且全局最大值达到大于TWR/NN（0）=1.12的值，ANDREAS HERMES和STANISLAUS MAIER Paapeince∈ RTWR/NN（Д）=0保持，R中也无法达到最大值。现在如果有一个最大值G、 断言（b）与claimedproperties一起成立。或者，在内部G中达到最大值。在这种情况下，引理3.5产生严格的凹度TWR/NNatД。假设存在一个热最大值*∈ G\\R然后连接两个最大值的直线：={t·Д+（1- t） ·^1*| t型∈ [0，1]}完全包含在凸集G\\R中（参见引理2.2）。由于TWR/NN的凹度，L的所有点都必须是最大值，这与TWR/NNin的严格凹度相矛盾。因此，最大值是唯一的，断言（a）与声明的属性保持一致。在本节的剩余部分，我们将进一步讨论定理3.6中的情况（b）。Weaim显示最大的ДoptN∈ G也是唯一的，但我们用完全不同的想法来证明这一点。为了为这一点奠定基础，首先，我们给出一个引理：引理3.7。如果T∈ RN×Mfrom（2.1）是满足假设3.2和M的返回图≥ 2，然后每个返回映射▄T∈ RN×（M-1） ，这也是一个满足假设3.2的返回图，它是在删除其中一列后由T得到的。证据

由于每个交易系统的M个收益矩阵T∈ RN×Mhas最大损失^tk，1≤ k≤ M、 同样适用于（M- 1） 约化矩阵的交易系统T∈ RN×（M-1） 。对于T，假设3.2（b）和（c）直接遵循矩阵T的各自性质。现在，在不丧失一般性的情况下，T是通过删除最后一列从T得到的矩阵，即省略第M个交易系统。Let t t（M-1） 我·∈ RM-1，i=1，N、 表示▄T和^T（M）的行-（1）∈ RM-1最大损失向量￠T。那么对于假设3.2（a），我们必须证明 ^1（M-（1）∈ B（米-1） ε（0）∩ ∧（M-1） ε i=i（Д（M-1） （）∈ {1，…，N}，这样H（t（M-1） i·/^t（M-1） ）>，Д（M）-1） i<0。（3.5）使用假设3.2（a）计算矩阵T和νM：=^1（M-1） 。。。^1（M-1） M级-1.∈ B（M）ε（0）∩ ∧（M）ε，多元离散TWR的存在性和唯一性13不等式h（ti·/^t）>，ν（M）i<0，成立。因此（3.5）同样适用。有了这个，我们现在可以扩展定理3.6。推论3.8。（最优f唯一性）在定理3.6的情况下，唯一性也适用于情况（b），即最大值νoptN∈ G也是G.Proof中唯一的最大ofTWRN（Д）。假设最优解φ：=φoptN∈ G不是唯一的，则存在额外的最佳解决方案*∈ G带Д*6=Д。由于G\\R是凸的（c.f.Lemma 2.2），连接两个解的线l：={t·Д+（1- t） ·^1*| t型∈ [0，1]}完全包含在G\\R中。由于TWR/NNon G\\R的凹性（c.f.引理3.5），L上的所有点都是最优解。因此L必须是G\\R，因为我们已经看到内部的最佳解决方案G将是唯一的。因此，存在（至少）一个k∈ {1，…，M}这样，对于L中的所有投资向量，交易系统（系统k）不被投资。一、 e.第k个分量*所有向量L都是零。在不丧失一般性的情况下，设k=M。

然后^1=^1。。。^1M-1.6=^1*...^1*M-1.= ^1*是两个最佳解决方案forTWRN（Д）！=maxBut与之相比- 1） -维度投资向量Д（M-1） ：=（￠Д，…，￠ДM-1） >和Д*,（M）-1） ：=（Д）*, . . . , ^1*M-1） >是WR（M）的两个不同的最佳解决方案-1） N个(^1。。。^1M-1.) :=NYi=11+MXk=1хkti，k^t！！=最大值。使用引理3.7，返回映射T∈ RN×（M-1） 消除第M列（即（系统M））后的T满足假设3.2。将定理3.6应用于亚维优化问题，得到如下结果-1） 和Д*,（M）-1） 再次位于可容许投资向量集G（M）的边界-（1） RM-1.14 ANDREAS HERMES和STANISLAUS MAIER Paape因此，我们在边界上有两个不同的最优解G（米-1） 对于具有（M）的优化问题-1） 投资系统。通过归纳，这种推理导致一个只有一个交易系统的优化问题存在两个不同的最优解。但对于这类问题，我们已经知道解决方案是唯一的（参见示例[4]），这与我们的假设相矛盾。因此，对于情况（b），我们也有解的唯一性∈ G、 备注3.9。请注意，假设3.2（c）是唯一性所必需的。要给出一个计数器示例，请想象一个具有两个相等列的返回矩阵T，这意味着使用了两次相同的读取系统。让Дoptbe为该一维交易系统的最佳f。

然后很容易看出，（Дopt，0），（0，Дopt）和连接这两个点的直线产生了返回矩阵T的TWR最优解。4示例作为示例，我们确定联合回报矩阵T：=（ti，k）1≤我≤61≤k≤4对于M=4个交易系统，下表给出了N=6个期间的回报。期间（系统1）（系统2）（系统3）（系统4）1 2 1-1 12 2-2.-13-1.-1 24 1 2 2 -15--2 16-1.-1.-1.-1（4.1）显然，每个系统在6个周期内至少产生一次损失，因此向量^t=（^t，^t，^t，^t）>与^tk=max1≤我≤6{| ti，k | ti，k<0}=1，k=1，4，定义明确。对于^1∈ G\\R TWR使表格TWR（Д）=（1+2Д+Д）- Д+Д）（1+2Д-Д+2Д- ^1）（1-Д+Д- 1+2英寸）（1+英寸+2英寸+2英寸- ^1）（1-^1-Д+2Д+1Д）（1- ^1- ^1- ^1- ν），其中容许向量集由g={Д∈ R≥0 | h（ti·/^t）>，Дi≥ -1. 1.≤ 我≤ 6} ={Д∈ R≥0 | h（t·/t）>，Дi=mini=1，。。。，6h（ti·/^t）>，Дi≥ -1} ={Д∈ [0，1]|Д+Д+Д+Д≤ 1} 。多元离散TWR的存在唯一性∈ Gh（ti·/^t）>，Дi≥ h（t·/^t），Дi≥ -1. i=1，6我们有h（ti·/^t）>，νi=-1对于某些i∈ {1，…，6}=> h（t·/^t）>，Дi=-1、相应地，我们得到r={Д∈ G | 1.≤ 我≤ 6 s.t.h（ti·/^t）>，Дi=-1} ={Д∈ [0，1]|Д+Д+Д+Д=1}。检查第6排t时·=(-1.-1.-1.-1） 对于矩阵T，我们观察到假设3.2（a）完全符合i=6。要查看该let，对于某些ε>0，Д∈ Bε∩ ∧ε，thenh（t·/^t）>，Дi=-^1- ^1- ^1- ^1<0。对于假设3.2（b），可以很容易地检查所有四个系统都是“可预测的”，因为（4.1）中所有四列的平均值都是严格的正值。

最后，对于假设3.2（c），我们检查矩阵T的行是线性独立的t·t·t·t·= det公司2.1-1 12-2.-1.-1.-1 21 2 2-1.= 22.75 6=0。因此，定理3.6给出了最优投资分数νopt的存在性和唯一性∈ G，其中Дopt6=0，Дopt/∈ R和TWR（Дopt）>1，可在数值上计算Дopt≈0.23620.05700.16850.1012.在上述示例中，一个关键点是返回矩阵中有一行，其中第k个条目是（系统k）的最大损失，k=1，6、回报矩阵中的这一行意味着，所有交易系统同时实现了最大的损失，这可以被视为有力的证据，证明系统的有效多元化。因此，我们更仔细地分析假设3.2（a），看看如果不是这种情况会发生什么。在假设3.2（a）的帮助下∈ Bε（0）∩ ∧ε，有一排返回矩阵ti·，i∈ {1，…，N}使得h（ti·/^t）>，i<0。集合{Д∈ RM | h（ti·/^t）>，νi=0}，i=1，N16 ANDREAS HERMES和STANISLAUS MAIER Paape描述了法向（ti·/^t）>∈ RM，i=1，N、 因此，集合中的每个Bε（0）∩ ∧ε必须是半空间之一的元素shi：={Д∈ RM | h（ti·/^t）>，^1i≤ 0}，i=1，N、 换言之Bε（0）∩ ∧ε必须是半空间并集的子集(Bε（0）∩ ∧ε）N[i=1Hi。如果存在指数i，ti，k=-^tk所有1≤ k≤ M、 则相应超平面的法线方向为（ti·/^t）>=-1.-1.-1.∈ RM，因此(Bε（0）∩ ∧ε） RM≥0 因此，假设3.2（a）已完成。

图1显示了一个M=2的超平面和一行返回矩阵，其中所有条目都是最大损失，这意味着该超平面的法线方向是向量-^t-^t/^t^t=-1.-1..然而，假设3.2（a）中没有必要Bε（0）∩ ∧ε仅被一个超平面覆盖。同样，对于M=2，图2中可以看到可能的超平面的图示。左侧的图显示了违反假设3.2（a）的情况，右侧的图显示了满足假设的情况。在下一个示例中，我们使用返回矩阵T asT：=-3 39 126-3.-6月23日-/2., （4.2）N=5，M=2。因此，这两个系统的最大损失是^t=和^t=。多元离散TWR的存在性和唯一性17ДИ图1：由“最大损失”组成的回报向量的超平面为了确定可接受的投资集（并检查假设3.2），我们检查了i=1的向量（ti·/^t），5A：=-/1951年2月5日-/5.-2012年1月5日-1.（4.3）并求解线性方程sh（ti·/^t）>，νi=-1，i=1，5.（4.4）i=1，…，的解，5如图3所示。每个溶液对应一条“青色”线。不等式h（ti·/^t）>，Дi的面积≥-1对于某些i保持不变∈ {1，…，5}以“浅蓝色”着色。所有i=1，…，的不等式均成立的集合，5是所有阴影区域重叠的部分，因此为“深蓝色”部分。因此，可接受的投资集由g={Д∈ R≥0 | h（ti·/^t）>，Дi≥ -1. 1.≤ 我≤ 5} ={Д∈ R≥0 |Д≤ 1+Д和Д≤ 1+Д}，其中r={Д∈ G | 1.≤ 我≤ 5 s.t。

h（ti·/^t）>，Дi=-1} ={Д∈ R≥0 |Д=1+Д或Д=1+Д}。假设3.2已满，因为18 ANDREAS HERMES和STANISLAUS MAIER-PAAPEД-1 0 1 2 3 4 5-1012345Д图2：两个超平面和集合Bε（0）∩ ∧ε（a）返回矩阵第4行和第5行的半空间覆盖整个集合R≥0（参见图2 b），（b）Pi=1ti，1=>0，Pi=1ti，2=>0和（c）显然，返回矩阵的列是线性独立的。图4和图5给出了（4.2）中收益矩阵T的终端财富相关图，最大值为νopt≈0.41090.3425. （4.5）因此，可以清楚地在内部G中获得最大值。以下示例将表明，可以在G、 即推论3.8中讨论的情况。为此，我们在上一个示例（4.3）中添加了第三个投资系统，新的回报率为ST1,3、t2,3、t3,3=1和t4,3、t5,3=-1（因此^t=1），使得向量（ti·/^t），i=1，5，形成矩阵A：=（ai，k）i=1，。。。，5k=1，。。。，3=-/2015年2月1日2015年2月11日-/5 1-五分之一-1/2-1.-1.∈ R5×3（4.6）多元离散TWR的存在性和唯一性19-5 0 5-5-4-3-2-1012345Д图3：来自（4.4）这组交易系统的线性方程的解完全满足假设3.2（b）sinceN=5Pi=1ti，3=1>0。假设3.2（c）也可以满足，因为A的三列是线性相关的。对于假设3.2（a），我们必须证明 ^1∈ Bε（0）∩ ∧ε i=i（Д），h（ti·/^t）>，Дi<0（4.7）保持不变。如果没有，我们将有一个投资向量=^И，^И，^f∈ Bε（0）∩ ∧ε，因此（4.7）并非适用于矩阵A的所有行。

特别是如果我们看第4行和第5行- ^х+^х-^f≥ 0^Д- ^И-^f≥ 0,20 ANDREAS HERMES和STANISLAUS MAIER-PAAPEИрTWR（Д，Д）图4：从（4.2）中得出的相对于T的终端财富这两个不等式的总和仍然必须为真-^И-^И- 2^f≥ 0，这与作为Bε（0）∩ ∧ε R≥现在，我们检查以下投资向量*=^1*^1*f*:=^1*^1*带（^1）*, ^1*)>≈ （0.4109，0.3425）>上一个示例中交易系统简化集优化问题的唯一最大值（参见（4.5））。终端财富在第三个组成部分方向上的第一个导数*由给出fTWR（Д*) = TWR（Д）*)| {z}>0·N=5Xi=1ai，31+h（ti·/^t）>，ν*我≈ -0.359<0以上，带Д*是最后一个例子在两个变量中的最优解^1TWR（Д*, ^1*, 0）=0=^1TWR（Д*, ^1*, 0）多元离散TWR 21ДИ的存在性和唯一性图5：图4中的终端财富相对值，俯视图和/^1iTWR（Д*, ^1*, 0）<0，i=1，2。因此^1*对于TWR，在（4.6）中的三个交易系统中，确实是G边界上的一个局部极大点。推论3.8给出了最大解FormaximizeД的唯一性∈GTWR（Д）。5结论利用我们的主要定理、定理3.6和推论3.8，我们能够在合理的假设下给出多变量财富相对优化问题（3.2）的完全存在性和唯一性理论。此外，由于域G的凸性（引理2.2）、[TWR（·）]1/N的凹性（见引理3.5）以及“最优f”解的唯一性，始终可以保证像最陡上升这样的简单数值方法将找到最大值。22 ANDREAS HERMES和STANISLAUS MAIER PAAPEReferences【1】ANDREAS HERMES，《分数交易的数学方法》，博士论文，亚琛RWTH马蒂克研究所（2016）。[2] J.L.Kelly，Jr。

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