多元离散终端财富的存在唯一性

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Existence and Uniqueness for the Multivariate Discrete Terminal Wealth
  Relative》
---
作者：
Andreas Hermes and Stanislaus Maier-Paape
---
最新提交年份：
2017
---
英文摘要：
  In this paper the multivariate fractional trading ansatz of money management from Ralph Vince (Portfolio Management Formulas: Mathematical Trading Methods for the Futures, Options, and Stock Markets, John Wiley & Sons, Inc., 1990) is discussed. In particular, we prove existence and uniqueness of an optimal f of the respective optimization problem under reasonable assumptions on the trade return matrix. This result generalizes a similar result for the univariate fractional trading ansatz. Furthermore, our result guarantees that the multivariate optimal f solutions can always be found numerically by steepest ascent methods.
---
中文摘要：
本文讨论了拉尔夫·文斯（RalphVince）提出的货币管理的多元分数交易法（投资组合管理公式：期货、期权和股票市场的数学交易方法，John Wiley&Sons，Inc.，1990）。特别地，我们在贸易回报矩阵的合理假设下，证明了相应优化问题的最优f的存在唯一性。这个结果推广了一元分数交易ansatz的类似结果。此外，我们的结果保证了多元最优f解总是可以通过最速上升法在数值上找到。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--

---
PDF下载：
--> Existence_and_Uniqueness_for_the_Multivariate_Discrete_Terminal_Wealth_Relative.pdf (625.01 KB)

2022-5-31 05:20:55 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：唯一性 Multivariate Optimization Quantitative Mathematical

多变量混凝土终端财富相对论的存在性和唯一性德雷亚斯·赫尔墨斯和斯坦尼斯劳斯·梅尔·帕佩斯研究所f¨ur Mathematik，RWTH亚琛，Templergraben 55，D-52062亚琛，Germanyahermes@instmath.rwth-亚琛。demaier@instmath.rwth-亚琛。deMarch 3，2017Abstract本文讨论了Vince[8]的moneymanagement的多元分数交易ansatz。特别地，我们证明了在贸易回报矩阵的合理假设下，相应优化问题的“最优f”的存在唯一性。这个结果推广了一元分数交易ansatz的类似结果。此外，我们的结果保证了多元最优f解总是可以用最陡上升法在数值上找到。分数交易、最优f、多元离散终端财富相对论、风险和资金管理、投资组合理论1简介投资问题的风险和资金管理一直是金融的核心。早在20世纪50年代，马科维茨（Markowitz）[7]就发明了“现代投资组合理论”，在该理论中，不同投资组合的加性预期最大化，取决于由组合波动性表示的给定风险。当投资组合的回报不再是累加的，而是乘法的，以满足复利的需要时，由此产生的优化问题被称为“固定分数交易”。在固定的部分交易策略中，投资者总是希望在其交易策略的历史交易分布一定的情况下，将其当前资本的固定百分比用于未来投资。20世纪50年代，凯利（Kelly）[2]建立了派系交易的第一个例子，他为一种投资工具找到了渐近最优投资策略的标准。

同样，文斯在20世纪90年代（见[8]和[9]）使用分数tradingansatz优化了他的职位规模。虽然乍一看这两种方法看起来很不一样，但实际上它们是密切相关的，如[6]所示。然而，直到最近在[10]中，文斯才将分数交易法扩展到不同投资工具的投资组合。M投资工具（系统）的情况以及这些M系统绝对收益的Ncoincident实现导致（2.1）中详细描述的贸易回报矩阵T。根据该交易回报矩阵，可以构建“Terminal2 ANDREAS HERMES和STANISLAUS MAIER Paapeweath Relative”（TWR）（见（2.3）），测量M系统分数投资的固定向量Д=（Д，…，ДM）产生的投资组合的乘法收益。为了在所有馏分中找到最佳投资，必须将WR最大化∈GTWR（Д），（1.1），其中G是TWR的定义集（见定义2.1和（3.2））。而在文[10]中，Vince只说明了这个优化问题并用例子加以说明，在第3节中，我们给出了必要的分析作为主要结果。特别是，我们研究了TWR的定义集G，并确定了合理假设（假设3.2），其中（1.1）有唯一的解决方案。这种独特的解决方案可能在于oG或on如第4节中的不同示例所示。我们的结果推广了Maier–Paape【4】、Zhu【12】（仅M=1例）和Hermes博士的部分结果（1），关于离散多元TWR。

显示（1.1）最大值唯一性的主要因素之一是函数[TWR（·）]1/N的凹度（见引理3.5）。唯一性和凹性进一步保证了（1.1）的解总是可以通过简单地沿着最陡的上升进行数值求解。在我们开始分析之前，请对相关论文多加评论。Maier-Paape在[5]中指出，一种投资工具上的部分交易ansatz会导致巨大的提款，但如果同时使用几个随机的独立交易系统，这种影响可以大大减少。在何种条件下，这种多元化效应在这里所考虑的多元TWR情况下发挥作用，仍然是一个悬而未决的问题。此外，有几篇论文研究了使用一种投资工具（M=1；见[3]、[4]、[6]和[11]）进行分式交易的情况下的风险度量。Vince[10]中可以找到使用下降的多元TWR的相关研究。在以下章节中，我们现在分析离散终端财富相对人的多变量情况。这意味着我们要考虑多种投资策略，其中每种策略都会产生多种交易回报。如前所述，这种情况可以看作是离散终端财富相对人的投资组合方法（参见【10】）。例如，可以考虑将一种投资策略应用于多个资产，该策略会产生每种资产的交易回报。但从更广泛的意义上讲，人们也可以考虑将几种不同的投资策略应用于几种不同的资产甚至资产类别。2终端财富相对性的定义本文考虑的主题是多个交易系统的离散终端财富相对性的多变量情况，类似于拉尔夫·文森的定义[10]。对于1≤ k≤ M、 M级∈ N、 我们用（系统k）表示第k个交易系统。

交易系统是一种应用于金融工具的投资策略。每个系统都会定期生成交易回报，例如每月、每天或类似的。用ti，k，1表示第k系统第i周期多元离散TWR 3收益的绝对存在性和唯一性≤ 我≤ N、 1个≤ k≤ M、 因此，我们有联合回报矩阵周期（系统1）（系统2）···（系统M）1 t1,1t1,2··t1，M2 t2,1t2,2··t2，M。。。。。。。。。。。。。。。N tN、1 tN、2···tN，需求量：=ti，k1.≤我≤N1型≤k≤M∈ RN×M.（2.1）正如在单变量情况下（参见[4]或[8]），我们假设每个系统在N个周期内至少产生一个损失。这意味着 k∈ {1，…，M} i=i（k）∈ {1，…，N}使得ti，k<0（2.2），因此我们可以将每个系统的最大损失定义为^tk：=max1≤我≤N{| ti，k | ti，k<0}>0，1≤ k≤ M、 为了更好的可读性，我们定义了给定返回矩阵的行，即第i个周期的返回，asti·：=（ti，1，…，ti，M）∈ R1×m所有最大损失的向量为^t：=（^t，…，^tM）∈ R1×M。如果损失最大，可以通过1/t k“归一化”第k列，这样每个系统的最大损失为-1、使用ComponentWiseComment，归一化交易矩阵返回值有以下行（ti·/^t）：=ti，1^t，ti，M^tM∈ R1×M，1≤ 我≤ N对于φ：=（φ，…，φM）>，φk∈ [0，1]，我们定义了第i个时期的持有期回报（HPR）asHPRi（Д）：=1+MXk=1Иkti，k^tk=1+h（ti·/t）>，ИiRM，（2.3）4 ANDREAS HERMES和STANISLAUS MAIER Paape，其中h·，·iRMdenotes是RM上的标准标量产品。为了缩短符号，如果向量的维数清楚，则省略向量空间RMat标量积的标记。与单变量情况类似，每个系统中的收益（或损失）由其最大损失来衡量。

因此，HPR代表一个时期的收益（亏损），当所有1≤ k≤ M、 从而导致第k个交易系统的最大损失。当在所有时期内投资于（系统k）的分数为νkis时，作为给定N个时期后收益（或损失）的终端相对财富（TWR）为asTWRN（Д）：=NYi=1HPRi（Д）=NYi=11+MXk=1Дkti，k^tk=NYi=11+小时（ti·/^t）>，νi.（2.4）注意，在M=1维的情况下，我方资本完全损失的风险对应于Д=1的分数∈ R、 在这个多变量的情况下，每次存在i时，我们都会损失100%的资本∈ {1，…，N}使得HPRi（Д）=0。例如，如果我们在第k个交易系统（对于某些k∈ {1，…，M}），同时让所有其他k的Дk=0∈ {1，…，M}。然而，这些分数的退化向量并不是产生最小相对财富（TWR）为零的唯一例子。由于我们希望承担最多100%的资本风险（这是一个相当有意义的限制），我们限制了TWRN:G→ R至定义如下的领域G：定义2.1。分数的向量∈ RM≥如果Д，则0称为可接受∈ G保持，其中G：={Д∈ RM≥0 | HPRi（Д）≥ 0， 1.≤ 我≤ N} ={Д∈ RM≥0 | h（ti·/^t）>，Дi≥ -1. 1.≤ 我≤ N} 。此外，我们定义：={Д∈ G | 1.≤ 我≤ N s.t.HPRi（Д）=0}。根据这一定义，我们现在对每一个分数向量都有100%的风险∈ Rand分数的每个向量的风险小于100%∈ G\\R.SinceHPRi（0）=1表示所有1≤ 我≤ Nwe可以找到ε>0，使得∧ε：={Д∈ RM≥0 | k|k≤ ε} G、 因此，特别是G 6= 保持。k·k=ph·，·i表示RM上的欧几里德范数。多元离散TWR 5的存在性和唯一性观察到，如果HPRi（Д）<1，则第i个周期会导致损失，这意味着h（ti·/^t）>，Дi=HPRi（Д）- 1<0。

因此，对于给定投资因子为零的投资，所有时期的最大损失∈ G isr（Д）：=最大值- 最小1≤我≤N{h（ti·/^t）>，νi}，0. （2.5）因此，我们的最大损失为R（Д）=1 ^1∈ Randr（^1）∈ [0，1）^1∈ G\\R.请注意，对于∈ G对于分数φk，k=1，…，我们没有先验界，M、 因此，可能会出现∈ 对于某些（甚至全部）k，G\\R，其中νk>1∈ {1，…，M}，或至少tmpk=1Дk>1，表示单个交易系统的风险超过100%，但所有交易系统的综合风险r（Д）仍然可以低于100%。因此，可以通过多元化在一定程度上消除个别风险。作为这种有利影响的一个缺点，多变量情况下的优化可能会导致分数的向量∈ G要求单个交易系统的高资本化。因此，我们假设使用杠杆融资工具，而忽略追加保证金或其他监管问题。在继续TWR分析之前，让我们先说明G.引理2.2的第一个辅助引理。定义2.1中的集合G是凸的，G证明也是凸的。所有条件Дk≥ 0，k=1，M和HPRI（ψ）≥ 0<=> h（ti·/^t）>，Дi≥ -1，i=1，未定义半空间（凸面）。由于G是一组有限半空间的交集，因此它本身是凸的。类似的推理得出G\\R也是凸的。3离散终端财富相对论的最优分数如果我们进一步发展这一思路，那么优化终端财富相对论的回报矩阵T的一个必要条件就会变得很清楚：引理3.1。假设有一个向量∈ ∧ε，r（Д）=0，然后{s·Д| s∈ R≥0} G\\R.如果另外还有1≤ 我≤ N使HPRi（Д）>1，然后再乘以Rn（s·Д）---→s→∞∞.6 ANDREAS HERMES和STANISLAUS MAIER PAAPEProof。

Ifr（Д）=最大值- 最小1≤我≤N{h（ti·/^t）>，νi}，0= 0，紧随其后的是thatHPRi（Д）≥ 1对所有1≤ 我≤ N、 （3.1）对于任意s∈ R≥0功能7→ HPRi（s）=1+h（ti·/^t）>，si=1+s h（ti·/^t）>，νi |{z}≥0≥ 对于所有i=1，…，s单调增加，N这样我们就有了∈ G\\R.此外，如果有一个iwith HPRi（Д）>1，则HPRi（sД）---→s→∞∞由thatTWRN（s·Д）---→s→∞∞.持有期收益在所有期间大于或等于1的投资表示“无风险”投资（r（Д）=0），考虑到无限杠杆的可能性，很明显，可以通过投资有限的数量来最大化整体收益。假设无套利投资工具，任何无风险投资只能是短期的，因此通过增加N∈ N条件HPRI（Д）≥ 1最终会破裂，参见（3.1）。因此，在优化TerminalWealth相对值时，我们对满足以下假设的设置感兴趣 ^1∈ Bε（0）∩ ∧ε i=i（Д），使得h（ti·/^t）>，Дi<0，始终产生r（Д）>0。有了这一点，我们可以为多变量混凝土终端财富相对最大化（multivariatediscrete Terminal Wealth Relativemaximize^1）制定优化问题∈GTWRN（Д）（3.2），并在多元离散TWR 7假设3.2的存在性和唯一性的假设下，分析问题的最优分数向量的存在性和唯一性。我们假设（2.1）中的每一个交易系统至少产生了斯通损失（参见（2.2）），而且 ^1∈ Bε（0）∩ ∧ε i=i（Д）∈ {1，…，N}使得h（ti·/^t）>，Дi<0（无风险投资）（a）NNXi=1ti，k>0 k=1，M（每个交易系统都是可配置的）（b）ker（T）={0}（线性独立交易系统）（c）假设3.2（a）确保，无论我们如何分配我们的投资组合（即，无论方向如何∈ G我们选择），总有至少一个时期实现亏损，即。

存在HPRi（Д）<1的IW。或者换句话说，不仅投资系统都充满风险（参见（2.2）），而且系统也不可能无风险分配。（2.1）中的矩阵T可以看作线性映射T:RM→ RM，“ker（T）”表示假设3.2（c）中矩阵T的核。因此，这种假设是交易系统的线性独立性，即列ST·k的线性独立性∈ RN，k∈ 矩阵T的{1，…，M}。因此，根据假设3.2（c），不可能存在an1≤ k≤ M和aψ∈ RM \\{0}这样(-ψk）t1，k。。。tN，k=MXk=1k6=kψkt1，k。。。tN，k,这将使（系统k）过时。因此，假设3.2（c）对优化问题没有实际限制。现在，我们指出了终端财富相对的第一个属性。引理3.3。让返回矩阵T∈ RN×M（如（2.1）所示）满足假设3.2（a），然后，对于所有∈ G \\{0}，存在一个s=s（Д）>0，使得TWRN（sД）=0。事实上，s^1∈ R、 证明。对于一些任意的^1∈ G \\{0}我们有εkДk·Д∈ Bε（0）∩ ∧ε。然后假设3.2（a）得出i的存在∈ {1，…，N}，h（ti·/^t）>，νi<0。带j：=argmin1≤我≤N{h（ti·/^t）>，νi}∈ {1，…，N}8安德烈亚斯·赫尔墨斯（AndreasHermes）和斯坦尼斯劳斯·迈尔·帕潘德斯（STANISLAUS MAIER PAAPEands）：=-h（tj·/^t）>，νi>0我们得到了HPRj（sД）=1+h（tj·/^t）>，sДi=1+sh（tj·/^t）>，νi=0和HPRi（sД）≥ 0表示所有i 6=j。因此，TWRN（sД）=0，显然如此∈ R（参见定义2.1）。此外，以下内容适用。引理3.4。让返回矩阵T∈ RN×M（如（2.1）所示）满足假设3.2（a），则集G是紧集。证据适用于所有^1∈ Bε（0）∩ ∧ε假设3.2（a）得出i（Д）∈ {1，…，N}因此h（ti·/^t）>，νi<0。有鉴于此，我们定义：Bε（0）∩ ∧ε→ R、 ^17→ m（Д）：=最小1≤我≤N{h（ti·/^t）>，νi}<0。此功能在紧凑型支架上是连续的Bε（0）∩ ∧ε。

因此，maximumexistsM：=最大∈Bε（0）∩∧εm（Д）<0。因此，功能：Bε（0）∩ ∧ε→ RM≥0，^17→|m（Д）| |连续性好。自为所有人∈ Bε（0）∩ ∧εh（ti·/^t）>，| m（Д）| i=h（ti·/^t）>，|i | min1≤我≤N{h（ti·/^t）>，νi}|≥ -1. 1.≤ 我≤ n至少有一个索引i相等∈ {1，…，N}，我们有HPRI|m（Д）|Д≥ 01.≤ 我≤ NandHPR▄i|m（Д）|Д= 0，因此| m（Д）|Д∈ R、 多元离散TWR的存在唯一性(Bε（0）∩ ∧ε）=|m（Д）|·Д|Д∈ Bε（0）∩ ∧ε= R、 因此，集R是有界的，并作为紧集的映像连接Bε∩ 连续函数g下的∧ε，由此，集g是紧的。现在，我们仔细看看优化问题的第三个假设。引理3.5。让返回矩阵T∈ RN×M（如（2.1）所示）满足假设3.2（c），则TWR/NNis在G上为凹形。此外，如果存在∈ G\\R带 TWRN（ν）=0，那么TWR/NNis甚至在Д中是严格凹的。证据对于^1∈ G\\R由列向量给出的TWR/NNis梯度 TWR/NN（Д）=TWR/NN（Д）·NNXi=11+MPk=1Дkti，k^tk·ti，1/tti，2/t。。。ti，M/^tM= TWR/NN（Д）·NNXi=11+小时（ti·/^t）>，Дi·（ti·/^t）>∈ RM×1，（3.3），其中TWR/NN（Д）>0。Hessian矩阵由Hesstwr/NN（ν）= TWR/NN（Д）>= “TWR/NN（Д）·NNXi=11+h（ti·/^t）>，Дi（ti·/^t）#= TWR/NN（Д）·NNXi=11+h（ti·/^t）>，Дi（ti·/^t）+TWR/NN（Д）NNXi=1-（1+h（ti·/^t）>，Дi（ti·/^t）>·（ti·/^t）= TWR/NN（Д）“NNXi=1y>iNXi=1yi-NNXi=1y>iyi{z}=：-/N·B（Д）∈RM×M#10 ANDREAS HERMES和STANISLAUS MAIER Paape，其中yi：=1+h（ti·/t）>，νi（ti·/t）∈ R1×Mis为行向量。