关于椭圆分布条件协方差矩阵的一个注记

，αk）是固定的，且与n、u、∑和a无关。我们知道，如果（5.3）中定义的条件协方差矩阵不一致（对于任何k∈ N和相应的唯一序列），则X不是正态分布。因此，该应用程序可用于构建统计检验，检验样本是否来自多元正态分布。当考虑金融应用时，基于分位数的条件区域中依赖结构的变化尤其令人感兴趣，因为它可能对应于资产之间的空间传染或尾部风险的增加。请注意，在这种特殊情况下，Y可能被视为金融投资组合，较低的分位数集可能与回报率较低的时期相关。因此，我们认为，从实践的角度来看，理论5.2可能很有趣。请注意，在简化的形式中，可以简单地采用X的单变量坐标的任何线性组合，根据（预先指定的）分位数进行调节，并比较方差。或者，可以关注依赖结构并比较相关矩阵而不是协方差矩阵。现在让我们简要讨论一下OREM5.2中给出的唯一序列（α，…，αk）。对于固定k∈ N、 由于X的对称性，我们立即得到αi=1- αk+1-i、 对于i=1，2，k、 k=1，2…，时序列（α，…，αk）的ap近似值，表1给出了6个。特别地，当k=2时，我们得到了近似比率为20%、60%和20%的划分。

这可能与所谓的20-60-20规则有关；有关更多详细讨论，请参见[6]。kαα分配比1 0.500---50/502 0.198 0.802---20/60/203 0.075 0.500 0.925---7/43/43/74 0.027 0.270 0.730 0.973---3/24/46/24/35 0.010 0.133 0.500 0.867 0.990-1/12/37/12/16 0.004 0.062 0.307 0.693 0.938 0.996 0.5/5/25/39/5/0.5表1：k=1，…，的序列（α，…，αk）近似值，6和四舍五入的分配比。6条件相关矩阵在第5节中，我们已经证明定理4.1可以用来检验X是否（非）正态分布；详见定理5.2。（5.3）中基于分位数的条件集的选择很困难，因为它与∑，u，nand a的选择无关。不幸的是，对于一般的椭圆随机向量，这个结果不正确，因为两个子集的条件方差的质量并不一定意味着相应的K不变量相等。然而，很容易注意到，使用K′-不变量，我们可以重写方程（4.1）asVarB[X]VarB[Y]=K′（B）Var[X]Var[Y]+1.- k′（B）ββT，（6.1），其中k′（B）=k′（ψ，FY（B）），B={Y∈ B} 。从等式（6.1）可以看出，如果我们有两个子集B={Y∈ B} 和^B={Y∈如果k′（B）=k′（B）（6.2），那么条件矩阵VarB[X]和Var^B[X]与VarB[Y]Var^B[Y]=k（B）k（B′）=k（ψ，FY（B））k（ψ，FY（B））成比例。这立即意味着条件相关矩阵的对应相等。这实际上是命题6.1的陈述，我们在没有证据的情况下提出。提案6.1。让n≥ 2.

对于k∈ {1，2}let1）Xk~ En（uk，∑k，ψk）为椭圆随机向量；2） Yk=akXkbe一些固定ak的相应基准∈ Rn \\{0}；3） Bk={FYk（Yk）∈ B*i} 是B的相应调节设置*k∈ B（（0，1））是正Lebesgue测度集。此外，假设协方差矩阵和权重向量是成比例的，即存在κ，λ∈ R+，使得∑=κ∑，a=λa。然后，等式k′（ψ，B*) = λK′（ψ，B*)意味着条件相关矩阵CorB[X]和CorB[X]相等。特别是，命题6.1暗示了相关矩阵定理5.2的以下变化：命题6.2。让k≥ 设ψ为特征发生器。让分区{B*i} 单位间隔（0，1）的ki=1使得K′（ψ，B*) = K′（ψ，B）*) = . . . = K′（ψ，B）*k） 。然后，对于任意椭圆随机向量X~ En（u，∑，ψ）和Y=aX（其中a 6=0），我们得到corb[X]=…=CorBk[X]，（6.3）表示Bi={FY（Y）∈ B*i} ，i=1，k、 对于许多椭圆分布，命题6.2中提到的单位区间划分是存在的，并且可以很容易地近似。

t-studentdistribution的示例性（近似）结果如表2所示。致谢第一作者感谢波兰国家科学中心通过项目2015/17/B/HS4/00911提供的支持。k vαα分配比0.045 0.955-4.5/91.0/4.55 0.123 0.877-12.3/75.4/12.37 0.150 0.850-15.0/75.0/15.010 0.166 0.834-16.6/66.8/16.62 12 0.173 0.827-17.3/65.4/17.315 0.179 0.821-17.9/64.3/17.925 0.187 0.813-18.7/62.7/18.750 0.193 0.807-19.3/61.4/19.3100 0.196 0.804-19.6/60.8/19.6∞ 0.198 0.802-19.8/60.4/19.83 0.002 0.500 0.998 0.2/49.8/49.8/0.25 0.016 0.500 0.984 1.6/48.4/48.4/1.67 0.032 0.500 0.968 3.2/46.8/46.8/3.210 0.045 0.500 0.955 4.5/45.5/4.53 12 0.051 0.500 0.949 5.1/44.9/5.115 0.055 0.500 0.945 5.5/44.5/44.5/44.5/5.525 0.063 0.500 0.937 6.3/43.7/43.7/6.350 0.069 0.500 0.931 6.9/43.1/6.9100 0 0.072 0.500 0.928 7.2/42.8/42.8/7.2∞ 0.075 0.500 0.925 7.5/42.5/42.5/7.5表2：划分集k=2、3和自由度v=3、5、7、10、12、15、25、50、100的近似t-student分位数值，对应的条件相关矩阵彼此相等。为了完整性，我们还提供了高斯情况下的结果（v=∞).参考文献[1]F.Durante、E.Foscolo、P.Jaworski和H.Wang，《金融时间序列的空间传染测度》，专家系统与应用41（2014），第8期，4023–4034。[2] F.Durante和P.Jaworski，《金融市场之间的空间传染：基于copula的方法》，应用。斯托赫。模型总线。索引26（2010），551–564。[3] E.Furman和Z.Landsman，《尾部方差溢价与ellipticalportfolio of risks的应用》，Astin公告36（2006），第02433-462号。[4] 例如，G'omez、M.A G'omez Villegas和J.M.Mar'n，《关于连续椭圆角分布的调查》，Revista matem'atica complutense 16（2003），第1期，345–361。[5] E。

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