关于椭圆分布条件协方差矩阵的一个注记

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英文标题：
《A note on conditional covariance matrices for elliptical distributions》
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作者：
Piotr Jaworski and Marcin Pitera
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this short note we provide an analytical formula for the conditional covariance matrices of the elliptically distributed random vectors, when the conditioning is based on the values of any linear combination of the marginal random variables. We show that one could introduce the univariate invariant depending solely on the conditioning set, which greatly simplifies the calculations. As an application, we show that one could define uniquely defined quantile-based sets on which conditional covariance matrices must be equal to each other if only the vector is multivariate normal. The similar results are obtained for conditional correlation matrices of the general elliptic case.
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中文摘要：
在这篇简短的注释中，当条件是基于边缘随机变量的任何线性组合的值时，我们提供了椭圆分布随机向量的条件协方差矩阵的分析公式。我们证明，可以仅依赖于条件集引入一元不变量，这大大简化了计算。作为一个应用，我们可以定义唯一定义的基于分位数的集合，如果向量是多元正态的，则条件协方差矩阵必须彼此相等。对于一般椭圆情形的条件相关矩阵也得到了类似的结果。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> A_note_on_conditional_covariance_matrices_for_elliptical_distributions.pdf (165.96 KB)

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关键词：协方差矩阵 椭圆分布 协方差 Applications Multivariate

关于椭圆分布的条件协方差矩阵的注记Piotr Jaworski*, Marcin Pitera+2017年3月6日摘要在这篇简短的说明中，我们提供了椭圆分布随机向量的条件协方差矩阵的分析公式，条件是基于边际随机变量的任何线性组合的值。我们表明，可以引入单变量不变量，这完全取决于条件集，这大大简化了计算。作为一个应用，我们表明，只要向量是多元正态的，就可以定义唯一定义的基于分位数的集合，条件协方差矩阵必须彼此相等。对于一般椭圆情形的条件相关矩阵也得到了类似的结果。关键词：椭圆分布，条件协方差，条件相关，尾部协方差矩阵，尾部条件方差。MSC 2010:62H05，60E05.1简介考虑一个具有有限协方差矩阵∑的n维椭圆分布随机向量X。设Y表示X的边距的任何非平凡线性组合。在这个简短说明中，我们提供了条件协方差矩阵Var[X | Y]的分析公式∈ B] ，其中B是{Y∈ B} 具有积极意义。我们认为这个条件n×n矩阵可以表示为var[X | Y∈ B] =k（B）Var[X]+（Var[Y | Y∈ B]- k（B）Var[Y]）ββT，其中β是从marginsof X到Y的L-正交投影的回归系数向量，k（B）是仅依赖于X的特征生成器、Y的概率分布和集合B的不变量。

这大大减少了Var[X | Y]的计算∈ B] 因为我们不需要考虑条件n维向量X。特别是，我们表明，对于多元正态随机向量，只需要考虑集合B上Y的条件方差，因为不变k（B）的值不取决于B的选择。接下来，我们使用此结果构造一组基于分位数的条件集，如果只有X来自特定的d分布，则相应的协方差（或相关）矩阵必须重合。这种方法可以用来构造统计检验，检验样本是否来自给定的多元分布。作为一个直接应用，我们证明了如果我们（近似地）将概率空间分成三个子集：B：={q（0.0）<Y≤ q（0.2）}，B：={q（0.2）<Y≤ q（0.8）}，B：={q（0.8）<Y≤ q（1.0）}，其中q（·）：=F-1Y（·），则对于任何多元正态向量X，三个条件方差矩阵Var[X | Y∈ B] ，Var[X | Y∈ B] ，和Var[X | Y∈ B] 必须彼此相等。此外，该（近似）20/60/20分割比是一个唯一的比率*波兰华沙华沙大学数学研究所+波兰克拉科夫贾吉略大学数学研究所。此属性。对于更多的条件集和基于分位数的视觉，我们给出了类似的结果。当考虑金融应用时，基于分位数的调节区域中依赖性结构的变化尤其令人感兴趣，因为它可能对应于资产之间的空间联系（见[2，1]和其中的参考文献）或尾部风险的增加，而在风险度量框架中考虑了所谓的尾部条件方差（见[3，10，9]和其中的参考文献）。

在社会背景下，Y可能对应于金融投资组合，而在决策科学中，它可能与（基准）决策标准相关联。本说明组织如下：在第2节中，我们提供了一组贯穿本文的基本概念。在第三节中，我们介绍了K不变量的概念，它是研究条件协方差和相关矩阵的主要工具。第4节专门研究条件方差/协方差矩阵。这里，我们给出了本注释的主要结果——Theorem4.1，它提供了条件方差矩阵的分析公式。在第5节中，我们考虑多元法向量的特殊情况。定理5.2是本文的第二个主要结果，它表明可以构造条件协方差矩阵彼此相等的唯一除法分区。第6节讨论了CorrelationMatrix。命题6.2可能被视为与一般椭圆定理5.2的类似。2预备课程(Ohm, M、 P）是一个概率空间，让我们x n∈ N、 在本文中，我们假设X~ En（u，∑，ψ），这意味着X=（X，…，Xn）是一个具有位置参数u、尺度矩阵∑和特征生成器ψ的n维椭圆分布随机向量，其中等式ψ（xT∑X）=Ehexp(-ixT（X- u））满足任何x=（x，…，xn）T，其中x，xn公司∈ R（详见[8，4]）。

我们还假设X接受由xd=u+RAU（2.1）给出的连续分布函数的正则（随机）表示，其中-R是正随机变量，使得E[R]=n；-A是一个n×n可逆平方矩阵，因此AAT=∑，其中∑是一个正定义（非退化和有限）协方差矩阵；-U是一个独立于R的随机向量，均匀分布在Rn的单位球面上。向量U是奇异的，U+····+Un=1，U的边距与E（UUT）=nIdn不相关。此外，对于任何正交矩阵O，我们得到OUd=U。出于技术原因，我们将U写为垂直形式（作为n×1矩阵）。注意R=RUTU=RUTAT∑也很有用-1AUd=（X- u）T∑-1（X- u），因此Var[X]=E[（X- u）（X- u）T]=E[R]AE[UUT]AT=∑。换句话说，尺度矩阵∑实际上是X和dψ′（0）=-E[R]2n=-.许多已知的椭圆分布族都与R的特定半径分布相关。例如，如果X是多元高斯向量，则可以注意到，对于任何椭圆分布，尺度矩阵与协方差矩阵（只要存在）成比例，且尺度因子等于-2ψ′（0）；详见【8，定理4】。图中，R是以具有n个自由度的χ分布形式分布的。在给定u和∑的特殊情况下，我们使用标准符号X~ Nn（u，∑）。接下来，对于任意随机向量Z和W，以及M-可测集B，使得p[B]>0，我们设置eb[Z]：=E[Z | B]，VarB[Z]：=Var[Z | B]=Eh（Z- EB[Z]（Z- EB[Z]）T | Bi，CovB[Z，W]：=Cov[Z，W | B]=Eh（Z- EB[Z]（W- EB[W]）T | Bi，分别表示集合B上的条件期望、条件方差矩阵和条件协方差矩阵。此外，通过本文，我们得出=（a，…，an）∈ Rn \\{0}并考虑随机变量y：=aX=nXi=1aiXi，这是X坐标的线性组合。

我们将Y作为X的基准。请注意，当我们将Xi垂直投影到Y跨越的线上时，“最小平方误差模型”由Xi=βiY+εi，Cov（Y，εi）=0，（2.2），其中回归系数β=（β，…，βn）的向量等于β（X | Y）：=Cov[Y，X]Var[Y]=a∑aT。3 K-不变量在这一节中，我们介绍了两个不变量，这两个不变量将在以后对条件协方差和相关矩阵的研究中起关键作用。定义3.1。给定一个特征生成器ψ和一个Borel子集a （0，1）对于正Lebesgue测度，K（ψ，A）=Var[V | F（V）给出了K-不变量和K′-不变量∈ A] ，K′（ψ，A）=Var[V | F（V）∈ A] Var[V | F（V）∈ A] ，其中V=（V，V）~ E（0，Id，ψ）和Fdenotes是V的分布函数。K不变量只是椭圆随机向量的标准化边缘的条件方差，条件是（标准化）不相关边缘。它将成为条件协方差矩阵计算中的一个重要工具。另一方面，K′-不变量可以看作是K-不变量的标准化版本，将用于条件相关矩阵分析。为便于将来参考，请注意givenX~ En（u，∑，ψ），X的任何二维边缘也是椭圆的，具有相同的生成器，随机向量（X，Y）也是椭圆的；详见【4】。另外，请注意，对于正态随机向量，不相关意味着独立性，因此在这种特殊情况下，K-不变量不依赖于a，并且始终等于1。值得注意的是，K不变量可以用相应椭圆密度发生器（假设存在）的所谓尾密度（参见[7，定义2]）表示。提案3.2。让我们假设V~ E（0，Id，ψ）允许密度。

然后，使用定义3.1中的符号，我们得到k（ψ，A）=P[W∈ B] P【V】∈ B] ，（3.1），其中B=F-1（A），W是密度h（W）=cZ的随机变量∞带2g（u）du，w∈ R、 （3.2）函数为E（0，1，ψ）和cis的密度生成器提供相应的归一化常数。有关gand c.Proof的定义，请参见[7]。对于k=1，2，我们用gk表示Ek（0，Idk，ψ）密度的发生器；见【7】。特别是，h（x）：=gx个h（x，y）：=g（x+y）分别是E（0，1，ψ）和E（0，Id，ψ）的密度。我们得到Var[V | V∈ B] =P【V】∈ B]EV{V∈B}- EV{V∈B}=P【V】∈ B]Zw公司∈BZ公司∞-∞vg公司（v+w）dv数据仓库- 0=P【V】∈ B] Zw公司∈BZ公司∞√2v gv+wdv dw=P【V】∈ B] Zw公司∈BZ公司∞Z√2vgv+wdu dv dw=P【V】∈ B] Zw公司∈BZ公司∞Z∞ug公司v+wdv du dw=P【V】∈ B] Zw公司∈BZ公司∞Z∞g级v+u+wdv du dw=P【V】∈ B] Zw公司∈BZ公司∞Z∞-∞g级v+u+wdu dv dw=P【V】∈ B] Zw公司∈BZ公司∞g级v+wdv dw=P【V】∈ B] Zw公司∈Bh（w）dw=P[w∈ B] P【V】∈ B] ，从而得出结论。表示式（3.1）表明，K（ψ，·）可以看作概率畸变函数的一种形式；见【7】。此外，可以证明（3.2）中定义的函数是球形随机变量的密度。关于许多已知椭圆族的尾密度的更多细节和示例，请参阅[7]。4条件方差/协方差矩阵我们现在准备好呈现本注释的主要结果–定理4.1。它指出，对于基准随机变量Y和条件集B{Y∈ B} ，其中B∈ B（R）和P[B]>0，我们可以很容易地计算集B上X的条件协方差矩阵。因此，我们只需要考虑（单变量）条件随机变量Y和相应的K-不变量的值。这可能简化了计算，因为我们不需要考虑条件n维向量X。定理4.1。对于椭圆随机向量X，设Y=aX~ En（u，∑，ψ），Var[X]<∞.设B={Y∈ B} 使B∈ B（R）和P[Y∈ B] >0。

那么，VarB[X]=k（B）Var[X]+（VarB[Y]- k（B）Var[Y]）ββT，（4.1），其中k（B）=k（ψ，FY（B））和β=β（X | Y）。证据证明基于随机表示（2.1）。我们设置z：=^a1/2ROU，其中^a：=a∑aTand O是正交矩阵，使得aa=^a1/2eO，对于e=（1，0，…，0）。那么，X- ud=RAU=^a-1/2奥茨（4.2）安迪- au=a（X- u）d=R（aA）U=^a1/2REO=eZ=Z。因此，Z=（Z，…，Zn）是一个具有Y版本的球面向量-au作为第一个坐标；见【4】。进一步Morez~ En（0，^aIdn，ψX）andE（Z | Z+au∈ B） =…=E（Zn | Z+au∈ B） =^ak（B）。此外，我们知道（Y- au，X- u）d=（Z，RAU），这意味着通过Y调节与通过Z+au调节一致。对于anyBorel函数f，我们有e（f（X- u）| Y∈ B） =E（f（RAU）| Z+au）。因为Z是一个球面随机向量，所以随机向量sz（i）：=Z- 2ZieTi=（Z，-Zi，Zn）T，i=2，n、 具有与Z相同的概率分布。这对于条件分布Z（i）| Z也是有效的∈ B- aud=Z | Z∈ B- au，i=2，n、 因此，对于j 6=i，我们有b[-ZiZj]=EB[ZiZj]=0，andEB[ZZT]=EB[Z]0 00 Idn-1.+ EB【Z】1 00 0n-1.= EB[Z]Idn+EB【Z】- EB【Z】eTe=^ak（B）Idn+EB【Z】- ^ak（B）eTe。此外，VarB【Z】=EB【ZZT】- EB[Z]EB[Z]T=EB[ZZT]- EB[Z]eeT=^ak（B）Idn+（VarB[Z]- ^ak（B））等。因此，回顾（4.2）并注意到^a=Var[Z]以及Zd=Y- au，we getVarB[X]=VarB[^a-1/2AOTZ]=^a-1AOTVarB[Z]OAT=k（B）AOTOAT+^a-1VarB[Z]- k（B）AOTeTeOAT=k（B）Var[X]+^a-1VarB[Z]- k（B）^a-1∑aTa∑=k（B）Var[X]+^a-1VarB【Y】- k（B）^aβT，（4.3），其中总结了公式（4.1）的证明。值得注意的是，定理4.1中的K-不变量可以使用托卡斯特表示（2.1）来表示。

实际上，使用定理4.1中的符号，它可以表示为k（ψ，FY（B））=n- 1.EB【R】-EB[（Y- au）]Var[Y].还值得注意的是，X和Y开始B的条件协方差矩阵可以用Y和回归系数β（X | Y）的向量显式表示。这是命题4.2的陈述。提案4.2。在定理4.1的假设和符号下，我们得到covb[X，Y]=VarB[Y]β（X | Y）。（4.4）证明。设β：=β（X | Y）。为了证明命题4.2，注意aβ=1就足够了。使用定理4.1中的符号，我们立即得到covb[X，Y]=VarB[X]aT=k（B）Var[X]aT+（VarB[Y]- k（B）Var[Y]）β=k（B）（Cov[X，Y]- Var[Y]β）+VarB[Y]β=VarB[Y]β。等式（4.4）具有有趣的线性建模结果。设γ为Rn的水平向量。如果一个随机变量γX与Y不相关，那么在集{Y上的条件下，相同的仍然有效∈ B} 。实际上，CovB[γX，Y]=γCovB[X，Y]=VarB[Y]γβ（X | Y）=VarB[Y]Var[Y]γCov[X，Y]=VarB[Y]Var[Y]Cov[γX，Y]=0。因此，（2.2）中介绍的“最小二乘误差模型”在Y条件下保持不变。换句话说，对于βi=βi（X | Y），我们得到xi=βiY+εi，CovB（Y，εi）=0，（4.5），并且L-正交投影与Y的条件交换。注意，对于Bis为半直线的情况，在[10]中考虑了条件协方差矩阵CovB[X，Y]；详见【10，定理1】和【10，定理3】。5多元正态在本节中，我们详细讨论了当X~ Nn（u，∑）。我们记得，对于正规特征发生器ψ（t）=exp(-t） K-不变量与a无关，且始终等于1。将其与定理4.1相结合，我们得到以下推论（参见[6，引理3.2]）。推论5.1。让X~ Nn（u，∑）和B={Y∈ B} 使B∈ B（R）和P[Y∈ B] >0。然后，VarB[X]=Var[X]+（VarB[Y]- Var[Y]）ββT，（5.1），其中β=（β。

，βn）T，βi=Cov[Y，Xi]Var[Y]。从推论5.1中，我们可以看到，条件协方差矩阵VarB[X]仅通过集合B上基准的方差依赖于B，即值VarB[Y]。因此，如果我们有Borel集B的任何数字，bk使之变差[Y | Y∈ B] =…=Var[Y | Y∈ Bk]，然后我们立即得到协方差矩阵var{Y上的相关等式∈B} [X]=…=变量{Y∈Bk}[X]。此外，如果∈ Rn \\{0}，对于任何k∈ N可以发现（aunique）将R划分为Borel子集(-∞, b） ，[b，b），…，[bk-1，黑色），[黑色，∞),其中b<b<…<bk是这样的，var[Y | Y∈ (-∞, b） ]=Var[Y | Y∈ [b，b）]=…=Var[Y | Y∈ [bk，∞)].而序列（b，…，bk）取决于a的选择∈ Rn \\{0}它可以是expressedas（b，…，bk）=（q（α），q（αk）），其中q（·）=F-1Y（·）和（α，…，αk）是一个独立于a选项的数字序列∈ Rn \\{0}。换句话说，假设th在Y处~ N（uY，σY）和k∈ N我们得到存在唯一的序列α<…<αk对于等式链var[Y | Y∈ （q（0），q（α））]=Var[Y | Y∈ [q（α），q（α））]=…=Var[Y | Y∈ 满足[q（αk），q（1））]（5.2）。此外，序列（a，…，ak）独立于uYandσY。关于证明的id ea（以及情况k=2的精确证明），我们参考[6，引理3.3]。将推论5.1和（5.2）结合起来，我们得到以下结果，这可以看作是[6，定理3.1]的推广。定理5.2。让X~ Nn（u，∑），Y=aX，k∈ N、 然后，Var{Y<q（α）}[X]=Var{q（α）<Y<q（α）}[X]=…=Var{q（αk-1） <Y<q（αk）}[X]=Var{q（αk）<Y}[X]，（5.3）对于唯一序列0<α<…<αk<1，其中q（·）=F-1年（·）。此外，序列（α。