M-CEV模型的最优投资问题：闭式解和

参数设置在左边的子图中，说明了基于我们的小参数公式（红线）和GSL算法（蓝线）的算法的计算速度。对于0<x<1，我们的算法比GSL更快，但0 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4个小xOur解决方案GSL解决方案50 150 250 350 450 550 750 850 950个大xOur解决方案GSL解决方案图2：计算速度测试。左图和右图显示了小参数和大参数的计算速度。对于1<x<4，GSL更快。让我们注意到，如果我们改变，我们将得到其他结果。右图显示了在大参数x的情况下，sp eed的比较。在这种情况下，我们的解决方案在整个分段40<x<732时比GSL更快。对于732<x<10 00，GSL例程无法计算函数值。我们认为，GSL例程的低速度可能是由大参数的Kummer函数的指数增长引起的（它也可能导致过流错误）。可以在GitHub存储库中找到源C++代码（请参阅参考资料中的链接）。4.3参数误判本节包含几个数值示例，说明了优化策略和参数误判的影响。图3展示了3种不同投资策略的财富动态。FirstStrategy（PnL为红色）仅包括债券投资。我们已将所有初始财富x=100投资于债券bt，初始价值B=x，利率r=0.04。第二种策略（蓝线）只包括股票投资。股票过程的初始值S=100，平均回报率α=0.045，波动率a=0.4，违约强度c=0.8，偏度β=-0.4。在这些策略中，我们在整个投资期T=1期间没有任何投资组合重新平衡。第三种策略（黄色）的位置由公式3.10确定。投资者的风险厌恶度为γ=-4.

第二幅图4用真实和错误的参数展示了最终财富分布。对于这些测试，我们有10个模拟来计算最终财富分布。这些例子表明，平均回报率α和偏度β中的校准误差比波动率水平a和违约强度c中的误差更为关键。5算法交易的应用在本节中，我们根据获得的结果提出了一种统计套利策略。考虑套利交易均值回复资产。假设交易者知道资产的“公平”平均价格（即长期平均价格），并且他知道价格将回到该平均价格。通常，在这个框架下，交易者可以通过在资产低于长期平均值时多头仓位，在资产高于长期平均值时空头仓位来获利。问题在于交易者头寸的大小，以及如何根据pr ic e过程参数和交易者当前财富对头寸进行最佳管理。这个最优交易问题也可以在一般投资组合优化框架中处理，它对应于零利率情况，即我们必须0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2时间-股票策略债券策略最优策略0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2时间-股票-货币-债券图3：不同策略的比较。债券头寸和股票效用策略。图4：参数规格错误。蓝色分布的平均值为104.4291，标准差为2.7365。2016年7月2016年8月2016年9月2016年10月2016年11月2016年12月2016年1月2017年2月2017年3月2017年4月2017年5月2017年6月2017年7月PNLBUY&hold策略2016年7月2016年8月2016年9月2016年10月2016年12月2017年2月2017年3月2017年5月2017年7月头寸图5：美元/加元汇率不同策略的比较。在所有公式中设置r（t）=0。

因此，控制权的财富π由dxs=πsdSs给出，（5.1）这里π是交易者在均值回复资产中的头寸。众所周知，如果α<0，原始M-CEV价格过程ST可以均值回复。在不丧失一般性的情况下，我们考虑了平方根扩散过程的情况，该过程对应于参数α=-κ、 c=κ？Sa，β=-1/2。（5.2）这表示以下均值回复过程Dss=κ（(R)S- Ss）dt+apSsdWs，St=S。（5.3）参数κ是反转速度，(R)S是长期平均值，a是波动率水平。提案5.1。对于过程（5.3），值函数和最优控制允许表示（3.8）和（3.10）。参数具有以下g表示λ=-Δκ′Sa，η=sλ++δ（1- δ） κ？Sa，R=2√Δκ′Saδ+1- δa（5.4）函数A（τ）、B（τ）和D（τ）由A（τ）=2 sinh（τ）[coth（τ）给出+√δ] ，B（τ）=-1.- δ2[coth（τ）+√δ] ，D（τ）=sinh（τ）[coth（τ）+√δ] 。（5.5）最佳位置为π*（X，S，t）=XSΔκ（(R)S- S） a+SB（τ）+（λ+η+1/2）Mλ+1，η2κ√δaSA（τ）Mλ，η2κ√δaSA（τ）. （5.6）如果我们打算执行基于平方根过程最优控制的交易策略，我们必须正确构建均值回复sset。均值回归交易的标准方法之一是成对交易。在这种情况下，我们将均值回复资产构建为两个协整资产之间的差异（即利差）。几乎在所有情况下，该利差的长期平均值均为零。因此，我们不能考虑配对交易的平方根过程，因为当2κS>a时，它只有正值。这导致我们将差异改为另一个均值回复sset。我们建议制定外汇汇率策略。他们总是积极的，可以是均值回复。因此，我们可以使用平方根过程对其进行建模。图（5）说明了基于美元/加元历史数据的交易策略。

我们考虑2011年1月1日至2017年6月26日6.5年期间的每日数据。我们于2011年1月1日至2016年7月1日每日校准square roo t过程κ、S和a的参数。我们得到以下值：^κ=0.1090，^′S=1.32675，a=0.28789。（5.7）我们在2016年7月1日至2017年6月26日的时间段测试我们的策略，T=0.9961。投资者的风险规避设置为γ=-初始财富为X=1000。基于公式（5.6）的策略有4.33%的收益率，0.646 4夏普比率和-最大提款率为6.54%，买入并持有（蓝线）策略为2.61%，0。3911和-7.03%。参考文献【1】Abramowitz，M.，&Stegun。一、 ，（1972）数学函数手册，包括公式、图表和数学表格。[2] Boguslavsky，M.，&Boguslavskya，E.，（2004年）。权力下的套利。《风险》杂志，6月，第69-73页。[3] Boguslavskaya，E.，&Muravey，D.，（2015年）。赫斯顿模型最优投资的显式解。预印本，arXiv:1505.02431。[4] Carr，P.，Linetsk y，V.，（2006）一个跳转到默认的扩展CEV模型：Bess el-prcessesFinance和随机的应用，10，3，30 3-330。[5] Chen，P.，&Sircar，R.，（2015年）。具有可预测回报和随机波动率的最优交易。[6] Chacko，G.，&Viceira，L.M.（2005）。不完全市场中随机波动的动态消费与投资组合选择。《金融研究评论》，181369-1402。[7] Cox，J.（1975）。期权定价注释I：差异的恒定差异弹性：未发布的草案。斯坦福大学。[8] Gradshteyn，I.S.，Ryzhik，I.M.（1980）。《积分、系列和乘积表》，学术出版社，纽约。[9] Heath D.，Pla ten E.（2002年）。修正不变方差弹性的一致定价和套期保值。《定量金融》，2459-467。[10] Kraft，H.（2005年）。最优投资组合和赫斯顿随机波动率模型：powerutility的显式it解决方案。

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（A.3）（A.3）中的齐次方程称为Whittaker方程，有两个线性独立的解，即M-ζ/2，η（z）和W-ζ/2，η（z）（见Abramowitz和Stegun（1973））。很容易理解非齐次ous问题（A.3）的解如何表示为g（z；ζ）=2ξ（1/2+ζ/2+η）Γ（1+2η）M-ζ/2，η（z）W-ζ/2，η（ξ），ξ≤ zM公司-ζ/2，η（ξ）W-ζ/2，η（z），ξ≥ z（A.4）使用Whittaker函数和修正贝塞尔函数之间的关系（见Gradshteyn和Ryzhik（1980），公式6.669.4）z∞e-（a+a）t cosh xcoth2νx个I2u（t√aasinh x）dx=Γ+ u- νt型√aaΓ（1+2u）Wν，u（at）Mν，u（at），Re+ u- ν> 我们得到了G（z，ζ）G（z；ζ）=pz/ξz的新公式∞e-z+ξcoshψtanhζψI2ηpzξsinhψdψ。接下来，我们引入新的积分变量νlogtanh公司ψ= ν、 dψ=dνsinh(-ν） ，ψ=正弦(-ν） ，coshψ=coth(-ν） 。结果是g（z；ζ）=pz/ξz-∞e-z+ξcoth(-ν） +ζνI2η√zξsinh(-ν）dνsinh(-ν） 。将拉普拉斯变换倒置，我们得到了h（z，t）h（z，t）=pz/ξ4πiZN+i的公式∞N-我∞Z-∞e-z+ξcoth(-ν） +ζ（ν+τ）I2η√zξsinh(-ν）dζdνsinh(-ν） （A.5）其中N是一个数，使得被积函数的所有剩余都在它的右边。使用Dirac函数2πiZN+i的众所周知的表示∞N-我∞ezζdζ=δ（z），改变（A.5）中的积分顺序，我们g eth（z，t）=pz/ξz-∞δ（ν+τ）e-z+ξcoth(-ν） I2η√zξsinh(-ν）dνsinh(-ν） （A.6）注意，τ≥ 因此，我们可以将（A.6）中的积分范围补充到整条直线，并使用狄拉克函数的定义，命名为∞-∞δ（ζ-z） u（ζ）dζ=u（z）对于任何连续的u，我们得到FG的主公式（3.4）。A、 2理论4.1考虑两个系列的报价∞Xs=0csxs=P∞s=0asxsP∞s=0BSX相当于∞Xs=0csxs∞Xs=0bsxs=∞Xs=0asxsor∞Xs=0Xi+j=sbicjxi+j=∞Xs=0Xi+j=sbicjxs=∞因此，系数Cs求解以下线性系统：cb=a，cb+cb=a，cb+cb+cb=a，。。。Xi+j=kcibj=ak，。。。

（A.7）对于csin 4.3，我们使用Kummer函数的以下定义（见Abramovitz和Stegun（1972））ψ（θ，ω，x）=∞Xs=0（θ）s（ω）ss！xs=1+θωx+θ（θ+1）ω（ω+1）2！x+。。。（A.8）对于Ds，我们使用Kummer函数的渐近性来表示大变元（见Abramovitz和Stegun（1972））ψ（θ，ω，x）~exxθ-ωΓ（θ）∞Xs=1（1- θ） s（ω- θ） ss！x个-s、 x个→ ∞. （A.9）