M-CEV模型的最优投资问题：闭式解和

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英文标题：
《Optimal investment problem with M-CEV model: closed form solution and
  applications to the algorithmic trading》
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作者：
Dmitry Muravey
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper studies an optimal investment problem under M-CEV with power utility function. Using Laplace transform we obtain explicit expression for optimal strategy in terms of confluent hypergeometric functions. For obtained representations we derive asymptotic and approximation formulas contains only elementary functions and continued fractions. These formulas allow to make analysis of impact of model\'s parameters and effects of parameters misspecification. In addition we propose some extensions of obtained results that can be applicable for algorithmic strategies.
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中文摘要：
本文研究了具有电力效用函数的M-CEV下的最优投资问题。利用拉普拉斯变换，我们得到了用合流超几何函数表示的最优策略的显式表达式。对于所得到的表示，我们推导出了仅包含初等函数和连分式的渐近和近似公式。这些公式允许分析模型参数的影响和参数错误指定的影响。此外，我们还对所得结果进行了一些扩展，这些扩展适用于算法策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_investment_problem_with_M-CEV_model:_closed_form_solution_and_applicatio.pdf (344.62 KB)

2022-5-31 05:46:24 上传

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关键词：cev Mathematical Quantitative Presentation Applications

M-CEV模型的最优投资问题：闭式解及其在算法交易中的应用。德米特里·穆拉维*俄罗斯莫斯科斯捷克洛夫数学研究所概率系摘要本文研究了M-CEV下具有电力效用函数的最优投资问题。使用Laplacetransform，我们获得了关于冲突超几何函数的最优策略的显式表达式。对于所得到的表示，我们导出了仅包含初等函数和连分式的渐近公式。这些公式允许我们分析情绪el参数的影响及其误判的影响。此外，我们还提出了适用于算法交易的结果的扩展。1引言1.1动机许多关于最优投资问题的学术论文假设资产价格遵循几何布朗运动（GBM）。然而，有很多实证研究表明，这个简单的模型并不适合真实的市场数据。已知的缺点如下：GBM模型无法捕捉波动率微笑/倾斜效应；他们忽视了潜在客户违约的可能性；恒定系数不允许将该模型校准为实际利率期限结构，并划分nd收益率等。我们的目标是将GBM模型的结果扩展到更现实的模型。为了获得更真实的市场数据，我们可以使用更复杂的模型，例如基于列维过程或分数布朗运动的模型。但是，尽管它们的动力学更为现实，但这些复杂的模型通常无法进行分析处理。因此，定量分析是复杂的，任何定性分析都是不可能的。

我们必须尝试在现实建模和分析或准分析表达式的可用性之间进行协调。在这篇论文中，我们解决了一个优化问题，假设修正后的恒定变动弹性（即M-CEV）模型适用于有限期代理的资产价格和最终财富上的电力效用。该模型在Heath and Platen（2002）中引入，是著名的CEV模型（seeCox（1975））的自然延伸。我们选择该模型的原因如下：该模型捕捉了波动率微笑效应；允许基础违约的非零概率（当GBM总是积极时，M-CEV过程可以达到零）；它在分析上是可处理的。该模型也适用于算法交易策略，因为M-CEV过程对模型的一些参数具有均值回归特性。让我们提到，该模型的时间依赖扩展可以在Linetsky和Carr（2006）中找到。对于M-CE V模型，我们获得了一个关于对流超几何函数的闭式解。尽管有许多数值解算器（即PDE解算器或蒙特卡罗解算器）可用，但显式公式仍然相关。寻求闭式解有几个原因：首先，它们显示了模型参数与最优策略之间的依赖关系，因此我们可以获得一些非平凡的定性效果。其次，与许多可用的数值解算器（PDE解算器或蒙特卡罗解算器）相比，正确编程的闭式解算器可以提供更快、更高效的代码。此外，简单的可处理模型可以作为实际情况中的基准。通常，实践者倾向于在简单的模型中引入特殊的修正，而不是使用具有大量参数的更复杂的模型。另一个重要点是效用选择。

有一些流行的效用函数被认为是在迭代：对数，幂和指数。显然，每个公用事业公司都有一个不同的最优策略*电子邮件：d。muravey@mail.ru.这项工作由俄罗斯科学基金会赞助，项目编号15-11-30042。最大化终端财富的预期效用。众所周知，单一效用情况下的最优策略不取决于投资期结束的时间，非指数效用投资者的交易规则对当前财富不敏感（见Merton（1990））。为了获取时间和财富的依赖关系，我们选择了一个电力公司。1.2以往的研究有很多关于类似问题的论文：T.Zariphopoulou（2001）考虑了随机波动率模型的问题，并导出了最优策略作为抛物型偏微分方程的解。在Kraft（2004）、Chacko和Viceira（2005）、Boguslavskaya和Muravey（2015）中可以找到各种模型的一些闭式解和符号扩展。Chan和Sircar（2015）对关于闭式解和渐近性的论文进行了详细的回顾。Boguslavsky和Boguslavkaya（2004）、Liu和Longsta ff（2000）讨论了效用最大化问题在算法交易中的应用。1.3论文的主要结果和结构本文的主要结果是在具有电力效用和M-C EV模型的单元内实现预期效用最大化的封闭式解决方案。我们推导了仅包含初等函数和连分式的渐近和近似公式。本文的结构如下：首先，我们定义了问题。然后，我们给出了M-CEV模型的一个闭式解。然后是数字实现算法和参数错误分析。

然后给出了所得结果在算法交易策略中的应用。所有证明a re in App endix a.2问题定义2.1模型设置考虑一个简单的市场，由无风险债券和风险资产（即股票）构成。债券和股票价格由SDE决定：dBs=r（s）BSD，Bt=B>0，dSs/Ss=[r（s）- q（s）+λ（Ss，s）]ds+σ（Ss，s）dWs，St=s>0，（2.1），其中Wsis是标准维纳过程，r（s）≥ 0，q（s）≥ 0，σ（S，S）>0和λ（S，t）≥ 0分别是与时间相关的无息利率、与时间相关的股息收益率、与时间和状态相关的瞬时股票波动率以及与时间和状态相关的违约强度。M-CE V模型具有以下规格：σ（Ss，s）=aSβ，λ（s，s）=b+cσ（s，s）=b+caS2β，q（s）=q，r（s）=r，α=r- q+b，（2.2），并由相应的SDEDS/Ss定义=α+caS2βds+作为βdWs。（2.3）让我们提到，Heath和Platen考虑了c=1的d模型（2.3）。c 6=1的ca se不是原始M-CEV模型的扩展，因为这种ca se可以通过简单的度量变化简化为原始模型。我们将使用c 6=1的规格（2.3）直接分析参数c的影响。最优投资问题可以在一般的投资组合优化框架中处理。在没有市场摩擦和交易成本的情况下，控制π的财富动态由dxs=r（Xs）给出- πSs）ds+πsdSs。（2.4）这里π是投资者的股票头寸（即持有资产的单位数量）。我们假设对πs没有限制，因此允许卖空，对财富x没有边际要求。我们解决了一个代理人的预期终端效用最大化问题，该代理人的预定时间水平为T，初始财富X>0。

值函数J（X，S，t）是终端效用的期望值，条件是在时间t（St=S，Xt=X）可用的信息。J（X，S，t）=supπE[U（XT）| XT=X，St=S]，（2.5），其中U（X）是功率效用函数U（X）=Xγγ。（2.6）2.2已知结果在本节中，我们提供了本文后面使用的一些已知结果。第一个结果是关于将原始问题（2.5）和功率效用（2.6）简化为抛物线偏微分方程（PDE）。定理2.1（Zariphopoulou）。假设资产价格过程遵循SDEdSs/Ss=u（Vs，s）ds+σ（Vs，s）dWs，St=s，dVs=b（Vs，s）ds+a（Vs，t）dWs，Vt=v，（2.7），其中Ws和Ws是与系数ρ相关的维纳过程，投资者具有幂效用函数（2.6）。在这些假设中，值函数（2.5）可以表示为（即距离变换）J（X，S，v，t）=Xγf1/δ（v，t），δ=1+ργ1- γ。（2.8）函数f是线性抛物型PDE边界问题（ft+a（v，t）fvv+hb（v，t）+ργ（u（v，t）的解- r（t））a（v，t）（1-γ） σ（v，t）ifv+γδ1-γh（u（v，t）- r（t））2σ（v，t）+（1- γ） rif=0，f（v，T）=1，（2.9）最优策略π*（St，Xt，vt，t）以反馈形式π给出*（X，S，v，t）=XS（1- γ）u（v，t）- r（t）σ（v，t）+ρδa（v，t）fv（v，t）σ（v，t）f（v，t）. （2.10）很容易证明T.Zariphopoulou结果可以通过替换=v，ρ=1，a（S，S）=Sσ（S，S），b（S，S）=Su（S，S）应用于M-CEV模型（2.3）。（2.11）提案2.1。对于M-CEV模型，值函数J（X，S，t）由J（X，S，t）=Xγγf1/δ（S，t），δ=1给出- γ。（2.12）函数f解柯西问题Lf公司≡ ft+aS2β+2fvv+δS[α- γr+caS2β]fv+δ（1-δ） 2a级（α- r） S-β+cSβf+rγδf=0，f（v，T）=1，（2.13）和最优策略π*（X，S，t）由π给出*（X，S，t）=XΔα- r+caS2βaS2β+1+fS（v，t）f（v，t）. （2.14）主要困难在于解决边界问题（2.13）。

在下一节中，我们将根据反超几何函数给出（2.13）的闭式解。3主要结果考虑具有任意初始函数f（S，T）=g（S）的Cauchy问题（2.13）。众所周知，其解可以表示为格林函数fG（S，t；ξ）f（S，t）=Z的卷积∞fG（S，t；ξ）g（ξ）dξ。（3.1）使用拉普拉斯变换方法，我们获得了修改后的贝斯塞尔函数Iν（z）的格林函数fG（S，t；ξ）的显式表示（定义见Abramovitz和Stegun（1971））。因此，通过应用公式（3.1）和初始函数g（s），可以很容易地获得问题（2.13）c的解≡ 为方便起见，我们将使用缩放空间和反时间变量z和τ：z=∧S2β，τ=aβ∧（T- t） ，λ=√δa |β| pα- γr，（3.2）对于函数f（S，t），我们有以下表达式f（S，t）=Z∞FG（z，τ；ξ）g∧ξ1/2β！dξ。（3.3）在下一个定理中，我们介绍了格林函数FG（z，τ；ξ）的显式公式。定理3.1。格林函数FG（z，τ；ξ）由FG（z，τ；ξ）=exp给出Rτ+Q（z- ξ）-（z+ξ）coth（τ）zξλ+1/2sinh（τ）I2η√zξsinh（τ）, （3.4）其中λ、η、R和Q是常数λ=--2β- δc, η=sλ++δ（1- δ） c4aβ，（3.5）Q=δ（α- γr）∧βa，r=rδaβ∧- 2Qλ-δ（1- δ） （α- r） c∧aβ。（3.6）因此，边界问题（2.13）的解可以表示为f（S，t）=Z∞FG（z，τ；ξ）dξ。

（3.7）我们可以通过使用以下关系（se e Gra dshteyn和Ryzhik（1980），公式6.643.2）明确表示这些积分，即修改后的Bes sel函数Iν（z）和Whittaker函数Mλ，η（z）（见Abramowitz和Stegun（1 973））z∞xu-e-αxI2ν2β√x个dx=Γu+ν+Γ（2ν+1）β-1eβ2α-uM-u，νβα,Re公司u+ν+> 结果中，函数ff（S，t）=eRτ+zB（τ）Dλ（τ）Γ（η）的公式如下- λ+1/2）Γ（1+2η）e-zA（τ）（zA（τ））λMλ，η（zA（τ）），（3.8），其中Γ（x）是Euler gamma函数，函数a（τ），B（τ）和D（τ）由a（τ）=2 sinh（τ）[coth（τ）+Q]，B（τ）=Q给出- 12[coth（τ）+Q]，D（τ）=sinh（τ）[coth（τ）+Q]。（3.9）fS/f的表达式是通过使用惠塔克函数的微分规则s获得的（s e Abramowitz and Stegun（1 973））zddzz公司ne-z/2zk-1Mk，u（z）=Γ（u+k+n+1/2）Γ（u+k+1/2）e-z/2zk+n-1Mk+n，u（z）。因此，最优策略π*（X，S，t）是π*（X，S，t）=XΔα- r+caS2βaS2β+1+B（τ）+λ+η+1/2zMλ+1，η（A（τ）z）Mλ，η（A（τ）z）dzdS. （3.10）使用Whittaker函数和Kummer函数mλ，η（x）=e之间的以下关系-x/2x1/2+ηψ（θ，ω，x），θ=1/2+η- λ、 ω=1+2η（3.11）和计算导数dz/dS我们得到了π的替代公式*（X，S，t）：π*（X，S，t）=XS“δ（α- r） /a- 2β∧B（τ）S2β+δc+2β（θ- ω） ψθ- 1，ω，∧A（τ）S-2βψ（θ，ω，∧A（τ）S-2β）#。（3.12）4数值4.1数值算法如果我们想根据获得的结果构建任何定量交易策略，我们应该有一个数值算法来计算任何参数的表达式3.10（或3.12）。它只由基本函数组成，除了术语ψ（θ- 1，ω，x）ψ（θ，ω，x），Mλ+1，η（A（τ）z）Mλ，η（A（τ）z）。（4.1）显然，这些特殊函数的计算对于MATLAB或Mathematica等软件包来说不是问题。然而，生产代码大多是用C++编写的，我们无法使用这些包。

在这种情况下，我们必须在C++环境中为这个非基本项提供快速高效的计算。有些库包含特定函数的数值算法（例如，C++GSL包包含（4.1）中使用的Kummer余超几何函数的数值）。因此，我们可以通过以下方案计算（4.1）：如果（4.1）中存在奇点，我们将其用作符号公式（4.4），在其他情况下，我们使用GSL。然而，对Kummer函数的评估会显著降低算法的计算速度，如果速度很关键，这种方法不适用。在本节中，我们提供了一种基于项（4.1）辛展开的快速数值格式。主要思想非常简单。我们直接为项（4.1）：ψ（θ）构造了两个级数展开式- 1，ω，x）ψ（θ，ω，x）=∞Xs=0csxs=θ- 1台∞Xs=0dsx-s（4.2），并根据变量x的值使用第一个或第二个序列。我们使用以下停止标准ia递归计算序列（4.2）的近似值：如果N+1和未终止序列之间的差异非常小，我们停止评估。在下一个理论中，我们提供了系数Cs和ds的显式公式。定理4.1。系数Cs和dsin展开式（4.2）由递归公式Cs=（θ）确定- 1） ss！（ω） s-Xi+j=scj（θ）ii！（ω） i，ds=（2- θ） s（ω- θ+1）ss！-Xi+j=scj（1- θ） i（ω- θ） ii！。（4.3）图（1）说明了固定参数θ、ω和变量x（左图）的收敛速度和近似精度（右图）。对于这些测试，我们设定θ=5.24，ω=1.42。

我们举例说明x=10点的收敛率，为了精确说明，我们在展开式中为小参数设置了N=80，为大参数设置了N=8。0 10 20 30 40 50 60 70 80N-1-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8收敛小xexpansion大x0的真值展开5 10 15 20 25 30 35 40x0.10.20.30.40.50.60.70.80.9小xexpansion大Xf的精确函数展开图1：收敛速度（左子图）和近似精度（右子图）。备注4.1。如果我们将级数（4.2）乘以1或2项，则得到（4.1）ψ（θ）的以下渐近式- 1，ω，x）/ψ（θ，ω，x）~ 1.- x/ω，x→ 0，ψ（θ- 1，ω，x）/ψ（θ，ω，x）~ （θ- 1） /x，x→ ∞. （4.4）此外，Kummer函数之间下列关系的递归应用（见Abramowitz和Stegun（1973））（ω- θ） ψ（θ）- 1，ω，x）+（2ω- θ+x）ψ（θ，ω，x）- θψ（θ+1，ω，x）=0（4.5）是连分数表示ψ（θ- 1，ω，x）/ψ（θ，ω，x）=b+ab+ab+。。。（4.6）式中n=ω+n；bn（x）=2θ+2 n- ω+xθ+n- ω。（4.7）4.2计算速度测试在本节中，我们给出了计算速度be nchmark。我们在配备Intel Core i7-3537U处理器和GCC 6.3.1 C++编译器的标准笔记本电脑上执行测试。这两种算法都计算（4.1）任何z字节时间。我们的算法执行协同计算，精度=10-10、参数设置为θ=5.24，ω=1.42。GSL例程具有预先定义的准确性，我们无法更改它。我们还要提到，我们的算法可以计算（4.1）较大的值（例如x>732），而GSL例程有过流错误。因此，我们需要对GSL例程进行一些修改（例如，我们可以计算-在函数参数值较大的情况下，使用xψ（θ，ω，x）避免过流）。图（2）展示了基于公式（4.2-4.3）的方法与使用GSL例程直接计算（4.1）中分子和分母的方法之间的比较。