毕达哥拉斯夏普比定理

此外，除了式（50）中夏普比的Pytha Gorean定理和式（56）和式（59）中的机会损失之外，我们还需要确定宏观变量之间的其他关系。感谢作者感谢与K.Kobayashi、D.Tada和H.Yamamoto进行的宝贵讨论。这项工作得到了第15K 20999号赠款的部分支持；秋田县大学青年科学家驻地项目；日本国立信息研究所第50号研究项目；日本人寿保险研究所第五研究项目；京都大学经济研究基金会研究所的研究项目；曾金经济和金融研究基金会第1414号研究项目；统计数学研究所2068号研究项目；坎波基金会第二研究项目；三菱UFJTrust奖学金基金会研究项目。附录A：副本计算在本附录中，我们将在本文主要关注的背景下解释副本分析。与之前的工作相同[13，15，18-20]，E[Zn（R，X，R）]，（n∈ Z） 描述如下：E[Zn（R，X，~R）]=外向k，~θ（2π）N+pnZ∞-∞Yad ~ wad ~ uad ~ zaE“exp-βXu，azua+XakaXiwia- N+XaθaXiriwia- NR+iXu，auuazua-√NXiwiaxiu！！#，（A1）此处为方便起见，Pi表示SpNi=1，Pu表示SpPu=1，PaisPna=1，QaMeansqna=1。此外，~ wa=（w1a，w2a，····，wNa）T∈ RN，（a，b=1，2，··，n），~ ua=（u1a，u2a，··，upa）T∈ Rp，~ za=（z1a，z2a，····，zpa）T∈ Rp，~ k=（k，k，···，kn）T∈ Rn和~θ=（θ，θ，····，θn）T∈ 注册护士。此外，可行投资组合子集空间上的整数（~ wa）（即满足Eq.（1）中的预算约束和Eq.（1）中的预期收益约束）。

（2） ，W，近似如下：Z~wa∈Wd ~ wag（~ wa）=Extrka，θa（2π）NZ∞-∞d ~ wag（~ wa）expkaXiwia- N！+θaXiriwia- N（A2）接下来，我们可以按如下步骤评估积分的每个部分：log E经验值-我√NXi，uxiuXauuawia= ExtrQw、~Qw、Qs、~Qs-Xu，a，bqsabuuauub-Xa，bqwabXiwiawib- Nqwab！-Xa，bqsabXiviwiawib- Nqsab！. （A3）作为订单参数，我们定义qwab=NNXi=1wiawib，（A4）qsab=NNXi=1viwiawib，（A5）和▄qwaband▄qsabe相应的辅助参数。此外，Qw={qwab}∈ Rn×n，Qs={qsab}∈Rn×n，Qw={qwab}∈ Rn×n，和▄Qs={▄qsab}∈ 使用Rn×nare。此外，使用关于~ua、~za、（2π）pnZ的高斯积分∞-∞Yad ~ uad ~ zaexp-βXu，azua+iXu，auuazua-Xu，a，bqsabuuauub= ex p公司-plog det | I+βQs|, （A6）其中I是n×n标识矩阵。以类似的方式，使用关于~wa，（2π）N nZ的高斯积分∞-∞Yad ~ waexp-Xi，a，bqwabwiawib-Xi，a，bqsabviwiawib+Xi，akawia+Xi，aθariwia= ex p公司-Xilog det公司Qw+vi▄Qs+Xi（~ k+ri~θ）TQw+vi▄Qs-1（~ k+ri~θ）！。（A7）由此可知，log E[Zn（R，X，~ R）]=外向k，~θ，Qw，~ Qw，Qs，~ QsNXa、bqwabqwab+NXa、bqsabqsab-恩萨卡- NRXaθa-plog det | I+βQs|-Xilog det公司Qw+vi▄Qs+Xi（~ k+ri~θ）TQw+vi▄Qs-1（~ k+ri~θ））。（A8）并且，在大量资产的限制下，使用等式中给出的重复对称解。（11） 至（16），limN→∞Nlog E[锌（R，X，~ R）]=外n（χw+qw）（~χw- qw）-n（n- 1） qw▄qw+n（χs+qs）（▄χs- qs）-n（n- 1） qsqs- nk公司- nRθ-α（n- 1） 对数（1+βχs）-αlog（1+βχs+nβqs）-n- 1hlog（▄χw+v▄χs）i-hlog（▄χw+v▄χs- n（▄qw+v▄qs））i+n（k+rθ）~χw+v▄χs- n（▄qw+v▄qs）（A9）可以计算。将结果代入式（9），式。

（17） 通过使用α=p/N获得~ O（1）。通过类似的论证，我们可以通过副本分析轻松解决第IV B小节中的对偶问题。根据之前工作[20]中的讨论，分区函数Z（ε，X，~r）和哈密顿量H′（~w | ~r）定义如下：Z（ε，X，~r）=Z~w∈W′d~weβH′（~W | ~r），（A10）H′（~W | ~r）=NXi=1riwi，（A11），其中以预算和投资风险约束为特征的可行投资组合子集的速度，W′=~w∈ 注册护士~wT~e=N，Nε=wTJ~w, 使用（A12）。由此，利用这个无序系统的自平均特性，为了执行这个优化问题，φ=limN→∞NE[对数Z（ε，X，~r）]，（A13）已定义。然后，根据以下等式，Rmax=limβ→∞φβ、 （A14）Rmin=limβ→-∞φβ、 （A15）可以评估每项资产的最大和最小预期收益Rmax和Rmin。以与上述副本分析类似的方式，使用副本对称解决方案，φ=ExtrΘεθ- k-αlog（1+θχs）-αθqs2（1+θχs）+（χw+qw）（△χw- qw）+qwqw+（χs+qs）（▄χs- qs）+qsqs+qw+v▄qs▄χw+v▄χs-hlog（▄χw+v▄χs）i+（k+rβ）×χw+v×s, （A16）也可以估计，其中Θ={k，θ，χw，qw，Θχw，Θqw，χs，qs，Θχs，Θqs}是一组有序参数。从极值条件出发。（A16）关于这些参数，就参数θ而言，原始参数如下：χs=θ（α- 1） ，（A17）qs=α（α- 1） 高压-1i+αv-1.V（α- （1）βθ, （A18）k=θ（α- 1） 高压-1i- βR.（A19）此外，φβ=βv-1r级θ（α- 1） +千v-1r级θ（α- 1） =R+v-1.Vα- 得到1βθ（A20）。然后，为了分析每个集合的预期收益的上下界，我们需要评估θ，它需要满足以下方程：ε=αχs2（1+θχs）+αqs2（1+θχs）=2θ+α- 12 hv-1i+v-1.V2（α- （1）βθ. （A21）Rearaging，这可以写为βθ=2（α- 1） 高压-1iVε-2θ-α- 12 hv-1i.

（A22）考虑极限为|β|→ ∞, 我们假设β/θ~O（1）；那么βθ=±α- 1hv-1isV2高压-1iα- 1ε- 1.. （A23）注意，对于β→ ∞, 右侧必须为正，如果β→ -∞, 它必须是负数。将该表达式代入式（A20），我们得到Lim |β|→∞φβ=R+rV2hv-1iα-1ε- 1.β→ ∞R-rV2hv-1iα-1ε- 1.β→ -∞.（A24）因此，Rmax和Rmin与等式一致。（39）和（40）。附录B：momentsHereN ~ eTJ的副本分析-1～e，N～rTJ-1～e、N～rTJ-1～r进行了分析。首先，为了确定它们，分区函数Z（k，θ，X）定义如下：Z（k，θ，X）=（2π）NZ∞-∞d~我们-~wTJ~w+~wT（k~e+θr），（B1），其中J=XXT∈ RN×N.配分函数用log Z（k，θ，X）=log det | J |+k~eTJ计算-1~e+θ~rTJ-1~r+kθ~rTJ-1~e.（B2）自平均性质，在大N的极限下，φ（k，θ）=limN→∞NE[log Z（k，θ，X）]，（B3）来自φ对k，θ的二阶导数，n~eTJ的典型行为-1～e，N～rTJ-1～e、N～rTJ-1 ~罕见，易于确定。这里，在资产数量N较大的限制下，使用重铺层分析和复制对称解，φ（k，θ）=Extrχs，qs，￠χs，￠qs（χs+qs）（~χs- qs）+qsqs-αlog（1+χs）-αqs2（1+χs）-hlog vi-对数▄χs+▄qs2▄χs+2▄χs（k+rθ）v, 获得（B4）。根据公式（B4）的极值条件，χs=α- 1，（B5）qs=α（α- （1）（k+rθ）v, （B6）～χs=α- 1，（B7）~qs=α- 1.（k+rθ）v, （B8）通过使用复制对称解inEqs获得。（12） 和（14）。将其插入公式（B4），φ（k，θ）=-αlogα- 1.-对数（α- （1）-hlog vi+2（α- （1）（k+rθ）v, 获得（B9）。因此，N~eTJ-1～e，N～rTJ-1～e、N～rTJ-1～稀有，计算如下：limN→∞N ~ eTJ-1～e=φ（k，θ）k级=v-1.α- 1，（B10）limN→∞N ~ rTJ-1～e=φ（k，θ）θk级=v-1r级α- 1，（B11）limN→∞N ~ rTJ-1～r=φ（k，θ）θ=v-1r级α- （B12）附录C：随机优化在本附录中，我们总结了随机优化的框架【13】。

首先，对于给定的随机变量X，使用相对于控制参数w有界的实值函数∈ W、 f（W，X），讨论了能使f（W，X）最小的最优解W，f（W，X）的最小值及其典型性质。假设随机变量X遵循一个已知分布，控制参数w的可行子集空间为w。从下面的讨论中，以下结果并不总是要求f（w，X）相对于w是凸的。对于一对w，X，f（w，X）≥ minw公司∈Wf（w，X），（C1）保持不变。让w*（十） 是实现右侧最小值的w值，即w*（十） =参数最小值∈Wf（w，X）。（C2）因此，等式（C1）的等式情况可以重写如下：f（w*（十） ，X）=最小值∈Wf（w，X），（C3）即f（w，X）≥ f（w*（十） ，X），（C4），其中应注意，最优解w*（十） 取决于随机变量X，如符号所示。接下来，我们可以取等式（C4）两边对随机变量X的期望值：EX[f（w，X）]≥ EX[f（w*（十） ，X）]。（C5）由于等式（C5）的右侧为常数，且左侧适用于任何控制参数w∈ W、 以下不等式成立：minw∈WEX[f（w，X）]≥ EX[f（w*（十） ，X）]。（C6）我们可以将等式（C3）代入右侧，以获得MinW∈WEX[f（w，X）]≥ EX公司minw公司∈Wf（w，X）. （C7）因此，对于控制参数w，minw，f（w，X）的期望值的最小值∈WEX[f（w，X）]，并不总是小于关于w的最小off（w，X）w的期望值，EX[minw∈Wf（w，X）]。此外，通过类似的论证，我们还可以考虑上有界实值函数相对于w，g（w，X）的最大化，并得到maxw∈WEX【g（w，X）】≤ EX公司最大值W∈Wg（w，X）. （C8）返回到最小化问题，假定minw∈Wf（w，X）满足以下自平衡特性：minw∈Wf（w，X）=EXminw公司∈Wf（w，X）. （C9）然后来自等式。

（C7）和（C9），最小值∈WEX[f（w，X）]≥ minw公司∈Wf（w，X），（C10），参考文献[13]对此进行了讨论。也就是说，根据正文中的讨论，控制参数是一个por tfolio，随机变量X是一个收益率矩阵，从低到低的实值函数f（w，X）是投资风险，可行子集空间w对应于投资组合上的各种约束。因此，这里的讨论表明，能够最小化运筹学中讨论的预期投资风险的普通投资组合，wOR=arg minw∈WEX[f（w，X）]，并不总是与能够最小化投资风险的最优投资组合一致，w*（十） =参数最小值∈Wf（w，X），这是由理性投资者提出的。即，作为式（C10）的物理解释，式（C10）的左侧对应于退火无序系统，右侧对应于淬火无序系统。此外，在之前的工作【13】中，验证了每项资产的最小投资风险ε及其投资集中度qw（以及夏普比率S，使用最小投资风险perassetε和预期收益系数R定义）满足自平均属性。[1] H.Markowitz，《投资组合选择》，J.Fin。7、77（1952年）。[2] H.Markowitz，《投资组合选择：投资的有效多元化》（J.Wiley&Sons，纽约，1959）。[3] Z.Bodie、A.Kane和d A.J.Marcus，《投资》（McGraw-Hill，纽约，2014）。[4] D.G.Luenberger，《投资科学》（牛津大学出版社，1997年）。[5] J.-L.Prigent，《投资组合优化和绩效分析》（Chapman和H-all/CRC，2007）。[6] A.Ang，《资产管理》（牛津大学出版社，2014年）。[7] J.C.Francis和D.Kim，《现代投资组合理论》（J.Wiley&Sons，纽约，2013）。[8] E.J.Elton M.J.Gruber、S.J.Brown和W.N.Goetzmann，《现代投资组合理论和投资分析》（J。

Wiley&Sons，纽约，2014年）。[9] S.Ciliberti和M.M’ezard，《通过Portfolio复制实现风险最小化》，欧元。物理。J、 B，27，175（2007年）。[10] S.Ciliberti、I.Kondor和M.M’ezard，关于预期短缺下投资组合优化的可行性，Quant。鳍7389（2007年）。[11] F.Caccioli、S.Still、M.Marsili和I.Kondor，《最优清算策略规范投资组合选择》，欧元。J、 财务部。19554（2013年）。[12] S.Pafka和I.Kondor，《噪声协方差矩阵与投资组合优化II》，Physica A，319487（2003）。[13] T.Shinzato，《均值-方差模型最小投资风险的自平均性质》，PLoS One，10，e0133846（2015）。[14] T.Shinzato和M.Yasuda，《投资组合优化问题的信念传播算法》，PLoS One，10，e0134968（2015）。[15] T.Shinzato，《使用统计机械信息学的资产收益率方差不相同的投资组合优化问题》，Phys。修订版。E、 94062102（2016）。[16] T.Shinzato，《无Short S elling的投资组合优化问题统计机械信息学》，技术代表IEICE，110（461），23（2011）。[17] I.Kondor、G.Papp和F.Caccioli，《无卖空情况下方差优化的解析解》，arxiv。org/abs/1612.07067（2016）。[18] T.Shinzato，《具有预算和投资集中约束的投资组合优化问题的最小投资风险》，J.Stat.Mech。023301（2017）。[19] T.Shinzato，《在预算和投资风险约束下最大化和最小化投资集中度》，arxiv。org/abs/1608.04522（2016）。[20] T.Shinzato，《投资组合优化问题对偶的复制分析》，Phys。修订版。E、 94052307（2016）。【21】I.Varga Haszonits、F.Caccioli和I.Kondor，《均值-方差组合优化的复制方法》，J.Stat.Mech。123404（2016）。【22】I.B.Aban、M.M.Meerschaert和A.K。

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