毕达哥拉斯夏普比定理

与使用拉格朗日乘数法得出的结果进行比较首先，我们将使用拉格朗日乘数法得出最小投资风险perassetε，并将结果与复制分析的结果进行比较。这里，拉格朗日乘数L定义如下：L=~ wTJ ~ w+k（N- ~wT~e）+θ（N R- ~wT ~ r）。（30）然后是最优投资组合w*通过求解L ~w=0，Lk级=Lθ=0表示w*= 千焦-1~e+θJ-1～r，（31）kθ=D ~ rTJ-1～rN-~rTJ公司-1～eN-~rTJ公司-1～eN～eTJ-1 ~恩！R, （32）其中=~eTJ公司-1～eN“~ rTJ-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e#. （33）因此，根据ε=2N~wTJ~w=k+Rθ的关系，每项资产的最小投资风险为ε=N2~eTJ-1～e1个+R-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e~rTJ公司-1～r～eTJ-1～e-~rTJ公司-1～e～eTJ-1～e. （34）此外，根据附录B（方程式（B10）toEq中的论点。（B12）），在大量资产的限制下-1～e=高压-1iα-1，N~rTJ-1～e=高压-1riα-1，andN ~ rTJ-1～r=高压-1riα-1获得brie fly。我们将其代入式（34），以获得ε=α- 12hv-1i1+（R- R） V！（35）根据Rin公式（23）和Vin公式（25）。因此，使用拉格朗日多重法的结果与使用公式（28）中的副本分析的结果相同。B、 对偶优化问题接下来，我们将讨论预算和预期收益约束下的投资风险最小化问题的对偶问题，即预算和投资风险约束下的预期收益最大化问题。根据之前工作【19，20】中的一个论点，每个sset R=NPNi=1的预期回报的最大值和最小值可以写为：Rmax=limN→∞最大~w∈W′（NNXi=1riwi），（36）Rmin=limN→∞最小~宽∈W′（NNXi=1riwi）。（37）也就是说，我们可以使用以预算和投资风险约束为特征的可行投资组合子集空间，系统地定义两个对偶问题，其内容如下：W′=~w∈ 注册护士~wT~e=N，~wTJ~w=Nε.

（38）如之前的工作【20】所示，通过使用副本分析很容易解决这个双重问题（另见附录A）。具体而言，我们可以使用公式（28）来确定预期回报的上下限，如下所示：Rmax=R+sV2高压-1iα- 1ε- 1., （39）Rmin=R-sV公司2高压-1iα- 1ε- 1.. （40）C.与仅在预算约束下的结果进行比较，我们将确定仅在先前工作[15]中分析的预算约束下的投资风险最小化问题是否包含在本论文的分析结果中。在之前的工作中，资产回报率的差异并不完全相同。也就是说，由于V[(R)xiu]（=vi）=si，v-1.= 画→∞NNXi=1si，（41），右侧重写为s-1.. 那么，仅在预算约束下的最小化投资组合问题的每项资产的最小投资风险ε可以描述为ε=α-12小时-1i，这是第一个最小等式（28）。由此，方程中的第二项。（28），α-12小时-1i（R-R） V，与预期收益相关。此外，使用E[(R)xiu]（=ri）=R，由于等式（1）中的预算约束可以等效于等式（2）中的预期回报约束，因此每项资产的最小投资风险ε取其最小值；也就是说，fromR=R，等式（28）中的第二项，α-12小时-1i（R-R） V，is0，如果V=V→ 0，然后是c（R）/V→ 1，表示ε=α- 12小时-1i，（42）qw=α- 1个+s-2.hs公司-1i。（43）也就是说，在之前的工作（等式（5）和等式（6））中获得的结果包括在本分析中（重新调用s-2.= 画→∞NPNi=1si）。D

与预算和预期回报约束下的结果进行比较，现在让我们澄清一下，我们提出的方法复制了之前报告的预算和预期回报约束下投资风险最小化问题的分析结果。这里，每项资产的收益率变化是一个常数，即V[\'xiu]（=vi）=s，E[\'xi xi]=riareindependent and identially Gaussian distributed with mean m and varianceσ。然后v-1.= s-2，R=R=m，V=V=σ，c（R）=σ（R- m） +σ，ε=s（α- （1）1+（R- m） σ, （44）qw=αα- 1.1+（R- m） σ. （45）因此，我们这里的结果与先前工作中的结果一致。此外，当RIA和VIA彼此不相关时，R=R=hri=m，V=V=r- hri=σ，对qwin公式（45）没有影响。注意，使用关系s=v-1.-1，式（44）ta表示如下形式：ε=α- 12 hv-1i1+（R- m） σ. （46）E.毕达哥拉斯夏普比率定理作为拟议方法的创新亮点，让我们讨论夏普比率=R的宏观关系√2ε。根据公式（29），最大夏普比（R*) 在R=R时发生*=R+VR=高压-1rihv-1ri，带S（R*) =rhv-1iα- 1qR+V.（47）此外，仅具有预算约束的情况（R=R）和收益系数R设置为单位的情况，S（R）=rhv-1iα- 1R，（48）S(∞) =rhv-1iα- 也可获得1pV（49）。利用这些结果，可以证明以下关系，我们称之为夏普比的勾股定理：S（R*) = S（R）+S(∞). （50）方程式（50）解释如下。

使用公式（28），由于最小投资风险根据集合εisa的四次函数R，R=Ris可以最小化最小投资风险的回报系数，以及R→ ∞ 是能够最大化最小投资风险的回报系数，为了方便起见，可以解释为两个极端S（R）+S的夏普比率平方和(∞) 与最大夏普比S（R）的平方一致*). 注意，对于任何α>1和超参数E[\'xiu]=Ri和V[\'xiu]=vi的任意分布，E q.（50）中的强定理都成立。此外，该定理与矩形三角形的勾股定理不同；虽然几何解释尚不清楚，但该定理可能暗示与数学金融相关的新宏观关系（类似于热力学关系）。F、 Sharpe理性的最大化，我们将讨论最大Sharpe比率，而不使用副本分析。通过使用等式。（2） 和（3），Sharperatio S=R√2ε推广到S=N~rT~w√N~wTJ~w，基于auchy–Schwarz不等式~在~ b≤√~在~ ap ~ bT ~ b，自~ aT ~ b√~bT ~ bT取最大值√~在~ a ~ b=K ~ a时，（K>0）。然后最大夏普比S（R*) isS（R*) =rN ~ rTJ-1~r，（51），其中~a=J-~r和~b=J~w已经被采用。此外，从~ b=K ~ a，~ w=KJ-1~r，当系数K为K=N~rTJ时-1~e，等式（1）是满足的。由此，可以最大化比率R的预期回报率*=N~rT~w，由*=~rTJ公司-1～r～rTJ-1~e.（52）引自附录B，R中的一个论点*=高压-1rihv-1ri，与上一小节的结果一致。此外，以类似的方式，fromN ~ rTJ-1～r=高压-1riα-1，S（R*)式（51）中，由S（R）给出*) =rhv-1iα- 1shv-1rihv-1rishv公司-1rihv-1i=rhv-1iα- 1sR+VRpR，（53），其中HV-1rihv-1ri=R+VRandhv-1rihv-1i=R已应用。因此，该结果与公式（47）一致。G

与基于OperationsResearch的结果进行比较最后，我们应该将使用运筹学标准方法得出的结果与复制分析得出的结果进行比较。首先，按照标准分析程序，预计投资风险E【H（~ w | X）】估计如下：E【H（~ w | X）】=αNXi=1viwi。（54）其次，在inEq预算约束下，能够最小化预期投资风险E[H（~ w | X）]的投资组合。（1） 式（2）中的预期回报约束，~ wOR=（wOR，·····，磨损）T=arg min ~ w∈WE[H（~ w | X）]∈RN，可确定，给出以下每项资产的最低预期投资风险：ε或=limN→∞NE【H（~ wOR | X）】=α2hv-1i1+（R- R） V！，（55）因此，通过运筹学方法提供的投资组合机会损失，即κ=ε或ε，计算如下：κ=αα- 1.（56）也就是说，能够最小化预期投资风险E[H（~ w | X）]（但不是投资风险H（~ w | X）），~ wOR的投资组合并不总是最小化H（~ w | X）。由此可以看出，标准分析程序提供的投资组合不考虑风险的分散，这与我们提出的方法获得的最佳投资组合不同（详情见附录C）。请注意，由于式（56）中的机会损失取决于α，而不是超参数E[\'xiu]=Ri和V[\'xi xi]=vi的分布，因此风险之间的宏观关联与式（50）中给出的夏普比的皮萨戈里定理类似。同样，标准分析程序的投资集中度qORw=limN→∞NPNi=1（wORi）评估如下：qORw=v-2.c（R）高压-1iV。（57）也就是说，qorw与式（22）中的第二项相同。此外，当α接近1时，一般来说，理性投资者倾向于集中投资风险相对较小的资产。

如果参考返回率设置为X=nxiu√不∈ RN×p[13，15，20]，这种投资行为是众所周知的，因为投资集中度qwto很大。也就是说，qwin公式（22）成功地表达了最优投资行为，qORwin公式（57）没有考虑到最优投资策略。因此，能够最小化预期投资风险的投资组合wOR=arg min ~ w∈不幸的是，我们[H（~w | X）]没有包括~w拥有的一些重要投资性房地产*= 参数最小值~ w∈WH（~ w | X）。此外，除了最小投资风险H（~ w）以外的其他风险*|十） 可以考虑最小预期投资风险E[H（~ wOR | X）]。例如，可以用最优投资组合w*=参数最小值~ w∈将WH（~ w | X）转换为等式（54）中的预期投资风险[H（~ w | X）]，以获得最优投资组合的每项资产的预期投资风险w*, 即表二。比较每项资产的典型风险。请注意，左上角入口ε和右下角入口ε定义了机会损失κ，左上角入口ε和左下角入口ε′定义了机会损失κ′，每个右入口的上升与右下角入口一致，即h（~ wOR | X）的期望值~w*~wORH（~ w | X）εε矿石[H（~ w | X）]ε′ε或ε′=limN→∞lim ~ w→~w*NE【H（~ w | X）】估计如下：；ε′=αlimN→∞NNXi=1vi（w*i） =α（χs+qs），（58），其中qsaa=χs+qsin等式（12）。如果β→ ∞, χs→获得0。也就是说，我们的副本分析中定义的QS将ponds与ε′相关联，ε′是最优投资组合的预期投资风险*. 此外，ε′相对于最小投资风险perassetε的机会性损失，即κ′=ε′ε，如下所示：=αα- 1.. （59）注意，Eq.（59），κ′中的机会损失取决于α，而不是超参数[\'xiu]=Ri和V[\'xi xiu]=Vi的分布，其方式与等式中的机会损失κ类似。

（56）（见表二）。五、 数值实验在本节中，我们通过数值实验验证了我们提出的方法的有效性。根据第IV D小节的讨论，如果RIA和VIA相互独立分布，则使用提出的方法得到的结果与使用我们之前报告的方法得到的结果一致【20】；因此，我们接下来将考虑riand VIA与ea ch other相关的情况。对于实例e，回顾thatri=e[\'xiu]和vi=e[\'xiu]- （E[\'xi xiu]），我们假设E[\'xi xi]与ri成比例，即E[\'xi xi]=（hi+1）ri。这里，Hi是一个随机系数，用于简化等式（60）中的描述，方差vi使用均值、ri和hiasfollows的超参数的平方来描述：vi=hiri。（60）然后在有界区间（lr）内，以帕累托分布独立分布RIA和HIA≤国际扶轮社≤ ur，lh≤ 你好≤ uh）和这些概率密度函数（我们分别称之为具有幂crand ch的有界帕累托分布）定义如下【22】：fr（ri）=1.-cru1-crr公司-l1级-crrr-crilr公司≤ 国际扶轮社≤ ur0否则，（61）fh（hi）=（1-chu1-chh公司-l1级-chhh公司-奇尔≤ 你好≤ 否则为uh0。（62）即，ri和hiare（lr，ur，cr）和（lh，uh，ch）的密度函数fr（ri）和fh（hi）的参数，其中假设lr，lh，cr，ch>0。此外，在λ、λ′在区间0上独立且相同地分布的情况下≤ λ、 λ′≤ 1，ri，hiare赋值为ri=（λu1-crr+（1-λ） l1级-crr）1-crandhi=（λ′u1-chh+（1-λ′）l1-chh）1-分别为ch。也就是说，它们来自概率密度函数inEq。（61）和等式（62）。我们可以使用以下步骤从数值上推导出每项资产的最小投资风险ε：步骤1：将riand Hi独立地分配给等式中的有界Pareto分布。

（61）和（62）；除了设置平均ri的超参数外，我们还可以准备方差VI（=hiri）的超参数。步骤2：从概率分布中得出周期uxiu处资产i的回报率，使E[\'xi xiu]=Ri，V[\'xi xiu]=vi。计算修改后的回报率xiu=\'xiu- rito构建回报率矩阵X=nxiu√不∈ RN×p。步骤3：计算J=XXT∈ RN×Nand逆矩阵J-1、步骤4：EvaluateN ~ eTJ-1～e，N～rTJ-1～e、N～rTJ-1~r.步骤5：使用公式（34）评估每项资产的最小投资风险ε。为了评估使用此程序的每项资产最低投资风险的典型行为，进行了M次试验。具体而言，我们构建了返回率矩阵Xm=nxmiu√不∈ RN×p，（m=1，2，···，m），资产均值的超参数的m向量~ rm=（rm，rm，···，rmN）T∈ 影院方差超参数的RN、andM向量~ vm=（vm，vm，···，vmN）T∈ r在步骤1和2中，并在每次试验中确定每项资产的最小投资风险εmin步骤3至5。然后，每项资产的最小投资风险预期ε估计如下：ε=MMXm=1εm。（63）同样，也使用上述步骤评估投资集中度qwandSharpe-ratio，并将结果与使用复制分析得出的结果进行比较-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3（a）每资产最小投资风险回报系数R数值实验副本分析结果-1-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3（b）投资集中度回报系数R数值实验副本分析结果-0.20.20.40.60.81.21.4-1-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3（c）夏普比率回报系数R数值实验结果数值试验的副本分析结果。1、复型分析和数值试验的结果（α=p/N=2）。

横轴表示回报系数R，纵轴表示（a）每项资产的最小投资风险ε，（b）投资集中度qw，以及（c）夏普比率S。实线（橙色）表示（a）式（28），（b）式（22）和（c）式（29）的复型分析结果。带误差条的（蓝色）星号表示数值模拟的结果，虚线（黑色）表示（a）ε=α的结果-1hv-1i，（b）α-1+高压-2ihv-1i和（c）S（R*) =rhv-1riα-1、在本实验中，我们使用以下设置：（lr、ur、cr）=（lh、uh、ch）=（1、2、2），资产数量N=1000，周期数量p=200 0（即α=p/N=2），试验数量M=100。对于这些数字设置，我们评估了每项资产的最小投资风险、投资集中度和夏普比率，如图1所示。从这些数据来看，结果与其他数据明显一致。也就是说，这些比较验证了我们提出的基于副本分析的方法的适用性。六、 结论和未来工作，以重新确定先前工作【20】中讨论的投资组合优化问题，该问题在预算和预期回报率的约束下，前提是每项资产的收益率方差是唯一的，并且资产均值的超参数是独立且相同的高斯分布，在本研究中，当资产的均值和方差的超参数具有任意分布时，我们考虑了这两个约束下的组合优化问题（尽管为了验证我们的方法，超参数的分布在数值模拟中受到限制）。利用复制分析，分析得出上述优化问题的每项资产的最小投资风险、投资集中度和夏普比率。

此外，通过比较以前的工作（使用拉格朗日乘子法推导的结果）和我们的数值结果，验证了基于副本分析的建议方法的适用性。此外，由等式（50）中的Sharperatio勾股定理表示的宏观变量与等式中的两个机会损失之间的关系。（56）和（59）分别得出。此外，运筹学中讨论的能够最小化预期投资风险（与投资风险本身不同）的投资组合并不总是与能够最小化投资风险的最优投资组合一致。由于上述机会服务水平ses大于1，从本文的论证来看，这是一个不幸的结果，因此可以验证，应该基于anill开发的理念的方法不可能实现理性投资者所期望的最优资产管理。幸运的是，跨学科研究领域利用统计机械信息学中成熟的分析方法，为理性投资者提供了一步步丰富的知识和新颖的见解，以实现最佳投资，我们应该继续努力，进一步探索未开拓的前沿，以便开发出一种能够获得满足投资者期望的最佳投资管理的方法。作为未来的工作，虽然本文没有从数学上充分讨论我们获得的宏观变量之间的关系，但为了提高数学金融知识体系的复杂性，我们需要对夏普比率的毕达哥拉斯定理进行几何解释。