金融时间序列的拓扑数据分析

该图显示，随着形状参数的减少，持久性景观的L-范数急剧增加，这与x分布的方差不断增加相对应。该数值实验表明，持久性景观的Lp范数对系统从规则状态到“加热”状态的过渡非常敏感。请注意，每次实现时生成的噪声之间的互相关度非常低：它从未超过20%。另一方面，我们没有观察到相同噪声的任何持续循环。在这种特殊情况下，Lp范数始终等于零。我们再次强调，这些仿真的目的是检查所提方法对复杂系统典型的含噪多维时间序列的适用性。我们当然不认为这里考虑的特定模型能够代表金融市场中危机的发生方式。4、财务数据实证分析我们分析了1987年12月23日至2016年12月8日（7301个交易日）美国四大股市指数的每日时间序列：标准普尔500指数、道琼斯工业平均指数、纳斯达克指数和罗素2000指数。《泰晤士报》系列数据是从雅虎财经下载的。对于每个指数和每个交易日，我们计算对数回报，定义为比率rij“lnpPi，j的对数日前变化{Pi'1，jq，其中Pi，jr表示指数j在第i天的调整收盘值。我们希望探索这个多维时间序列的拓扑属性。在我们的方法中，点云由Rd中的w个点组成，其中Rd中每个点的坐标表示每日日志返回。也就是说，每个点云由w^d矩阵给出，其中列数d“4是我们分析中涉及的1D时间序列的数量，w是滑动窗口的大小。

我们考虑两种大小的窗口：w“50和w”100交易日；2D点示例见图7图6：（a）形状参数不同值的伽马分布；（b）归一化L-范数时间序列的蒙特卡罗模拟（红线）利用白噪声的伽马分布逆方差，推导出了该过程的持续性景观。灰线表示四个下划线噪声的归一化平均方差的时间序列。有关详细信息，请参阅文本。在线上色。云。滑动步长设置为一天，在考虑yieldsa p7300'wq时间顺序点云集的情况下。图8显示了Rips持久性图和相应的一级景观函数λ，由公式（2.2）定义，使用特定日期50个交易日的滑动窗口计算。Rips持久图的x和y坐标分别对应于拓扑特征的出生时间（b）和死亡时间（d）。持久性景观的x和Y坐标对应于重新缩放的轴：x“pd'bq{2，andy”pd'bq{2.简单地说，持久性景观的x坐标是特征存在的平均参数值，y坐标是特征的半衰期。图8显示了拓扑信号与每个点云的拓扑噪声的清晰分离。其中两个选定日期对应于2000年3月10日技术崩溃的日期（8-（a），右栏）和Lehman破产日期（2008年9月15日）（图8-（b），右栏）。

从这些图中可以清楚地看到，随着股市变得更加动荡，相关点云中的循环变得更加明显。为了量化这种行为，作为整个过滤过程中拓扑特征变化的便捷总结，我们计算每个滚动窗口的持续性景观λ的Lpnorms（p“1，2）。这些值的集合形成了每日时间图7：标准普尔500指数和纳斯达克指数在50天和100天的时间间隔内，在选定日期结束的标准化每日日志回报的时间序列的散点图。左栏示意性地显示了一定规模的1D同源性（循环）的诞生（半径）在包含50个数据点的二维点云中。（d+b）/2（d+b）/2（d-b）/2（d-b）/2（a）（d-b）/2（d-b）/2（d+b）/2（d+b）/2（b）图8：Rips持久性图和在选定日期使用50个交易日的滑动窗口计算的相应持久性景观。实心黑点表示连接的组件，红色三角形表示循环。（a） 技术崩溃，2000年；（b） 2008年金融危机。在线上色。图9：用50天的滑动窗口计算的持久性景观归一化L（蓝线）和L（红线）范数的时间序列。在线上色。这些措施的系列；示例见图9。图10显示了用滑动窗口w计算的持久性景观Lnorms的归一化时间序列“技术崩溃日和雷曼破产日前后的50个交易日。为了进行比较，我们还显示了标准普尔500指数和波动率指数VIX的标准化时间序列的相应部分。VIX衡量标准普尔500指数未来30天的隐含波动率，通常用于预测目的。

从这些图中可以定性地清楚地看出，L-范数的时间序列对主峰表现出强烈的前冲击，主峰在危机期间上升。滚动窗口大小从50天到100天的变化以及L-正常值的时间行为与此图非常相似（此处未显示）。与窗口大小变化相关的结果中唯一显著的差异是Lp标准时间序列中尖峰的总体变化，以及这些时间序列的主要最大值向稍后日期的轻微移动。在确定了持久性景观的Lpnorms时间序列后，我们应用标准技术并分析了这些时间序列的主要统计指标。通过这种方式，我们进一步量化了在市场压力不断增长的情况下，时间有序的点云集合中循环持续性的时间变化。我们跟随Guttalet。al.[21]，并使用500天滚动窗口和一天的滑动步长来计算方差、低频平均频谱密度和Firstfigure 10：崩溃前1000个交易日。自上而下，归一化S&P500的每日时间序列，使用50天滑动窗口计算的拓扑景观的归一化L-范数，以及VIX。左栏：2000年10月3日“互联网崩溃”的临近。右栏：2008年9月15日雷曼破产事件的临近。自相关函数（ACF）在市场崩盘前250个交易日的滞后。该窗口不应与w“50天滑动窗口混淆，该窗口用于在整个持久性景观Lp范数时间序列的计算过程中封装点云。图11显示了获得的结果。

从该图上的曲线图中可以清楚地看出，在任何碰撞之前，Lp规范时间序列低频率下的方差和平均谱密度都在实质性增长。我们使用MannKendall检验对观察到的趋势进行量化，该检验在统计上评估变量随时间的单调向上或向下移动【56，57】。在2000年10月3日网络崩溃或2008年9月15日雷曼破产之前的250个交易日内，低频平均频谱密度的上升趋势尤为明显：Kendall tau-rankcorrelation系数分别为0.89和1.00。另一方面，ACFat lag-1在任何这些事件之前均未显示任何趋势。我们注意到，将点云的大小加倍到100个数据点并不会显著改变这幅图片（此处未显示）。为了进行比较，我们还在图11中展示了相同统计指标的时间行为，这些统计指标是从波动率指数的每日时间序列中使用相同的500天滚动窗口获得的。有趣的是，在2000年崩盘之前，波动率指数的时间序列显示出下降的可变性。另一方面，与持久性景观的形态相似，在莱曼破产前的250个交易日内，VIX时间序列的低频平均频谱密度呈现出强劲的上升趋势（Kendall tau“0.89）。结论随着市场状态随时间的变化，我们应用TDA来探索众所周知的财务数据中拓扑特征的时间行为。我们处理多源时间序列的方法有两个新颖之处：（i）我们使用单滑动窗口将点云包围在由所考虑的时间序列数量确定的d维空间中；（ii）我们使用持久性景观的Lp范数作为拓扑特征稳定性的量化指标。

我们认为，这种方法可以用于本文所述的金融时间序列分析之外的其他领域。更具体地说，我们研究了由一个滑动窗口和四个股市指数每日收益的四个1D时间序列组成的4D点云中循环的持续性（1D持续同源性）。因此，与传统的双参数时滞嵌入方法相反，我们的方法只有一个参数：窗口大小w。我们的研究表明，金融时间序列的形状在很大程度上取决于市场状态。实证分析表明，Lp规范的时间序列在危机期间出现的主峰附近表现出强劲的增长。L1和L2 normsVIX（a）L1和L2 normsVIX（b）图11:2000年10月3日技术崩盘前250个交易日的持续性景观Lpnorms时间序列的方差、低频平均频谱密度和ACFof的第一个滞后时间，以及VIX；（b） 2008年9月15日雷曼破产（详情见正文）。细黑线对应于L。这种行为反映了当市场从普通状态过渡到“加热”状态时，点云中出现的循环持续性增加。值得注意的是，在2000年10月3日网络崩溃或2008年9月15日雷曼破产之前的250个交易日内，持续性景观Lp范数的时间序列的可变性（由方差和低频谱密度量化）呈现出强劲的上升趋势。我们的研究表明，TDA提供了一种新的经济计量方法，并正在产生一类新的动物市场崩溃预警信号。6、对M.G.的确认研究部分得到了NSF拨款DMS-0635607和阿尔弗雷德·P·斯隆基金会拨款G-2016-7320的支持。Y.K.的研究得到了标准普尔全球市场情报的支持。

第一作者感谢K.Mishaikow的有益讨论。本文所表达的观点是作者的观点，不一定代表标准普尔全球市场情报的观点。参考文献参考文献[1]G.Carlsson，《拓扑与数据》，Bull。美国。数学Soc。46（2009）255。[2] H.Edelsbrunner和J.Harer，《计算拓扑学：导论》（Amer.Math.Soc.，2010）。[3] H.Edelsbrunner、D.Letscher和A.Zomordian，《拓扑持久性和简化》，描述计算。几何。28（2002）511。[4] P.Y.Lum、G.Singh、A.Lehman、T.Ishkanov、M.Vejdemo Johansson、M.Alagappan、J.Carlsson和G.Carlsson，《利用拓扑从复杂数据的形状中提取见解》，科学报告3（2013）1236。[5] P.Bubenik，《利用持久性景观进行统计拓扑数据分析》，J.机器学习研究16（2015）77。[6] P.Bubenik和P.Dlotko（2016），拓扑统计的持久性景观工具箱，符号计算杂志78（2016），91。[7] F.Chazal，B.Terese Fasy，F.Lecci，A.Rinaldo，L.Wasserman，《持久性景观和轮廓的随机收敛》，计算几何杂志6（2015）140–161。[8] M.Nicolau、A.J.Levine和G.Carlsson，基于拓扑结构的数据分析确定了一组具有独特突变特性和良好生存率的乳腺癌。纳特。Acad。Sci。108（2011）7265。[9] G.Carlsson、T.Ishkhanov、V.de Silva和A.Zomorodian，《自然图像空间的局部行为》，国际计算机杂志。愿景76（2008）1。[10] J.Berwald和M.Gidea，《遗传调节系统模型中的临界转变》，数学生物学和工程11（2014）723。[11] J.Berwald、M.Gidea和M.Vejdemo Johnsson，《动力系统拓扑不同区域的自动识别和标记》，不连续性、非线性和复杂性3（2015）413。[12] J.A。

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