网络SIS流行病的博弈论疫苗接种及其影响

因此，未受保护的节点不会受到来自接种疫苗的邻居的感染风险。考虑一个社会状态x，它捕获每个群体中未受保护和接种疫苗的节点的比例。在DBMF近似值[11，2]下，每一个未受保护的d级节点在统计学上是等效的。根据DBMF近似，无保护d度节点的感染概率，^pd（x，t），演变为 ^pd（x，t）t=-δ^pd（x，t）+（1- ^pd（x，t））dXi∈Dqixi，Umi^pi（x，t），（3），其中qi=imihdiis随机选择的邻居具有i度的概率（作为网络不相关假设的一致性），以及Xi，Umi捕获在社会状态x中未受保护的程度i节点的比例。如果随机图模型中节点相互接触或混合的时间尺度快于流行病传播的时间尺度，则DBMF近似值会更好【11，2】。因此，我们表示未受保护的d度d节点的稳态感染概率aspd（x）=dv（x）δ+dv（x），（4），其中v（x）de注意到随机选择的邻居在社会状态x诱导的流行病稳态中被感染的概率。特别是，v（x）满足v（x）=Xi∈Dqi·xi，Umi·iv（x）δ+iv（x）==> v（x）“1-xi∈Di^qi（x）δ+iv（x）#=0，（5），其中^qi（x）：=ixi，Uhdi。注1：上述方程是在网络不相关的假设下成立的。否则，d度节点的随机选择邻居具有degreei的概率将取决于d和i，而不仅仅是（3）中的i。所以，对于不同的d值，v（x）也会不同。请注意，v（x）=0始终是每个社会状态的boveequation的解，它对应于自由状态pd（x）=0，d∈ D、 此外，根据社会状态x，re可能存在非零v（x）∈ （0，1）满足（5）。

当流行病在人群中持续很长时间时，根据（4）由这种非z ero v（x）引起的感染概率pd（x）被称为“地方病”状态【12，2】。我们陈述了关于地方病状态的唯一性和稳定性的以下结果。据我们所知，以下结果是DBMF近似值的第一个时间。虽然我们依赖于[13，43]中获得的NIMFA结果，但我们在证明中利用了两个模型之间的某些结构相似性。附录A正式给出了证明。定理1：对于给定的社会状态x，定义R（x）：=Pd∈Dd^qd（x）δ=Pd∈Ddxd，Uδhdi。那么，1）pd（x）=0，d∈ D是（3）中动力学的唯一稳态，当且仅当R（x）≤ 1、该无病稳态是全局渐近稳定的。2） 如果R（x）>1，pd（x）=0，d∈ D是动力学（3）的非平衡态平衡。存在pd（x）>0的非零正稳态（3）（称为endem icstate），d∈ D当且仅当R（x）>1。地方病状态是唯一的，局部指数稳定，动力学（3）从除无病状态外的任何初始条件收敛到该地方病状态。根据上述定理，如果社会状态x的R（x）>1，则存在满足（5）的唯一n on零v（x）。在这种情况下，我们将v（x）解释为这个非零解。地方病状态下无保护结节的感染概率为非零，由（4）给出。四、 纯纳什均衡的性质在上述框架的基础上，我们现在定义了参与者的成本函数，并建立了一般网络中真实期望和感知期望最小的唯一阈值均衡的存在性。每个节点独立决定是否接种疫苗。

对于未受保护的淋巴结，我们将其成本定义为在流行病的DBMF近似下，她在流行状态下的感染概率。具体而言，社会状态下未受保护的d级节点的成本x isJd（U，x）=w（pd（x））=wdv（x）δ+dv（x）, （6） 其中，w是节点的概率加权函数，v（x）满足度（5）。具体而言，如果R（x）≤ 1，v（x）=0。否则，v（x）是（5）的非Ze-ro溶液。上述成本函数可以被解释为预期成本低于模拟前景理论[41]，其中被感染的感知损失被归一化为1。另一方面，我们假设接种疫苗的成本为c∈ （0，1），与节点的度数无关。因此，Jd（V，x）=每d的c∈ D、 x个∈ 十、 这里c可以解释为接种疫苗的相对成本与被感染的成本之比。注意，如果c≥ 1，我们将始终保持Jd（U，x）<c，即所有节点都希望保持不受保护。我们考虑一个由Γ（G，{md}d）表示的完全信息博弈∈D、 w，c，δ）。自Γ（G，{md}d∈D、 w，c，δ）有一定数量的人口和行动，总是存在纯纳什均衡（PNE）[44]。备注2：正如在任何完全信息博弈中一样，假设n个节点知道社会状态和程度分布，从中可以计算数量v（x）。我们设想了两种可能的方法，节点可以在实践中估计v（x）。首先，中央当局向民众广播这一信息；例如，通过新闻和社交媒体。其次，节点可以通过与邻居重复交互并观察感染频率来学习或估计v（x）。

对流行病博弈的动力学进行显式建模，其中节点估计v（x）并更新其疫苗接种决策，并探索动力学是否收敛于本文研究的均衡，这将是未来研究的一个有趣方向。我们现在讨论在Na-sh平衡时出现的疫苗接种策略的特点。我们从以下结果开始，结果表明，如果死亡率不高，那么在每个PNE社会状态下，都存在一种地方性状态，使得流行病持续存在。命题1：让x*成为PNE的社会状态。然后，R（x*) > 1当且仅当δ<hdihdi=Pd∈DdmdPd∈Ddmd。证明：Le tδ<hdihdi。在合同中假设r（x*) ≤ 1对于PNE社会状态x*. 然后，从定理1，我们有v（x*) = 现在让d∈ D是一个节点的总体，例如，一个不可忽略的D度节点的一部分接种疫苗，即x*d、 V>0。然而，在定义1之后，这意味着≤ w（pd（x*)) = 既然>0，我们就必须让ssarilyhave x*d、 V=0，或同等地，x*d、 U=每d的MDD∈ D、 因此，我们有r（x*) =Xd公司∈Ddmdδhdi=hdiδhdi>1，这是期望的矛盾。反之，我们可以证明R（x*) > 1个==>δ<hdihdi。我们以相反的立场来证明这一说法。假设δ≥hdihdi。现在，考虑一个PNE社会状态x*. 然后，R（x*) =Xd公司∈Ddx公司*d、 Uδhdi≤hdiδhdi≤ 这就完成了证明。上述结果适用于真实和感知的预期成本最小值s。预测结果表明，如果δ≥hdihdi，则即使对于没有节点购买疫苗的soc ia l状态，无疾病状态也是DBMFapproximation的唯一解决方案。换言之，由于治愈率高，且与参与者的疫苗接种决定无关，疫情完全消失。

因此，我们将重点放在一个更有趣的案例上，即疾病的传播取决于节点的接种决定。注意，在[19]中获得了类似的结果，其中节点战略性地选择其固化速率。在结果平衡m处，量类似于R（x*) grea te r tha不等于1，但绝对不小于1。现在，我们在本文的其余部分提出以下假设。假设2：铜环率δ∈0，hdihdi. 此外，w（x）=x，或w满足假设1。现在，我们可以推导出网络上社会状态的某些性质。让x*成为PNE的社会状态。考虑一个度，例如x*d、 U>0，即d级节点的非零分数未购买疫苗。那么，我们必须有w（pd（x*)) = wdv（x*)δ+dv（x*)≤ c、 （7）类似地，如果对于d节点es x的总体*d、 V=md-x个*d、 U>0，我们必须有w（pd（x*)) = wdv（x*)δ+dv（x*)≥ c、 （8）以下结果表明，疫苗游戏的任何PNE都表现出阈值特性。命题2：让x*成为PNE的社会状态。然后，存在一个度D，如x*d、 U型∈ （0，md），andx*d、 U=（md，d<d0，d>d.（9）证明：Let'd∈ D是最小的度数，以确保接种度数为D的节点的比例，即m'D-x个*\'d，U>0。由于w是一个递增函数，我们有c≤ w(R)dv（x*)δ+(R)dv（x*)< wdv（x*)δ+dv（x*),对于每个d>(R)d。请注意v（x*) > Assum ption2之后为0。根据ly，x*d、 U=0表示每d>\'d。换句话说，所有具有严格大于Tha n\'d程度的节点都接种疫苗。我们现在有以下两种可能的情况。案例1：x*\'d，U=0。在这种情况下，所有具有“dvaccinate”度的节点。由于“d”是接种节点无反应的最小度数，因此所有度数为“d”的节点均不受保护。因此，d：=(R)d- 1具有（9）中所述的thresholdproperty（带x*d、 U=md）。案例2：x*\'d，U>0。

在这种情况下，我们有c=w(R)dv（x*)δ+(R)dv（x*)> wdv（x*)δ+dv（x*),对于所有d<d。因此，x*d、 每d<d，U=md。因此，d：=(R)d具有（9）中所述的阈值属性。请注意，与度较小的节点相比，度较高的节点在其邻居中更容易遇到受影响的节点。这是因为假设网络是不相关的。上述结果证实了我们的直觉，即高度n节点更有可能在平衡状态下接种疫苗，因为它们经历了更高的感染风险。对于特定类别的网络（具体而言，完全图、完全二部图和多社区网络），在NIMFA下[22]也获得了类似的阈值行为。我们的结果表明，在一般网络的DBMF近似下，这个性质成立。此外，在[45]中，人们认为，在具有幂律分布的网络中，接种高度n节点疫苗在减少流行病传播方面非常有效。在本文中，我们展示了这种策略在分散决策和不相关的网络中自然产生（与仅在幂律度分布下相对）。根据命题2，我们发现任何PNE上未受保护的节点的填充状态都是formx*U={m，m，…，md-1，x*d、 U，0，0}，（10）带x*d、 U型∈ （0，md）对于一些d。因此，我们将无保护节点的人口状态具有上述形式的社会状态称为候选社会状态。我们定义了候选社会状态之间的以下偏好关系。定义2：对于两个候选社会状态x和x，无保护节点的人口由x1给出，U={m，m，…，md-1，x1，d，U，0，0}，和（11）x2，U={m，m，…，md-1，x2，d，U，0，0}，（12）我们说x xif（i）d<dor（ii）d=dandx1，d，U<x2，d，U。

类似地，我们说x xif或x 异或d=d，x1，d，U=x2，d，U。换言之，x xif xis中无保护节点的分数最多是x的分数。我们现在陈述以下引理，这将有助于证明我们的几个结果。引理1：考虑两个候选社会状态x和x。如果x x、 然后v（x）≤ v（x），不等式严格如果x x、 证明：支持v（x）>0；否则，结果就微不足道了。如果x x、 从（5）开始，我们有xd∈Ddx1，d，Uδ+dv（x）=hdi=Xd∈Ddx2，d，Uδ+dv（x）≥Xd公司∈Ddx1，d，Uδ+dv（x）。上述等式表示v（x）≤ v（x）。此外，如果x x、 上述引理表明，在两个不同的社会状态中，如果其中一个社会状态的未受保护节点比例较大，则对于该社会状态，随机选择的邻居被感染的可能性较高。上述引理和下面的唯一性结果适用于概率的真实感知和非线性感知。命题3：L和X是两个PNE社会状态。那么，v（x）=v（x）。此外，x=x。证明：在命题2之后，让dand和Dde分别注意社会状态x和x的三个阈值。换言之，d的最大度数分别为x1，d，U>0和x2，d，U>0。此外，X和X中未受保护节点的数量可以分别表示为（11）和（12）。注意x2，d，U≤ md.相应地，从（5），v（x）满足度1=Xd∈Dd^qd（x）δ+dv（x）≤hdidXd=1dmdδ+dv（x）。（13） 现在假设相反，v（x）<v（x），但不丧失一般性。从PNE的定义来看，我们有dv（x）δ+dv（x）< wdv（x）δ+dv（x）≤ c（14）==> x1，d，U=md。换句话说，所有dnodes在x处保持不受保护。因此，我们有d≤ d

因此，v（x）满意度1=Xd∈Dd^qd（x）δ+dv（x）≥hdidXd=1dmdδ+dv（x）；（15） 如果d<d，则上述不等式是严格的，并且在x1，d，U=md时也成立。因此，对于m方程（13）和（15），我们有dxd=1dmdδ+dv（x）≤dXd=1dmdδ+dv（x）==> v（x）≥ v（x），给出所需的矛盾。因此，我们有v（x）=v（x）。现在，假设X x、 那么，引理1意味着v（x）<v（x），这是一个矛盾。因此，我们必须有x=x.V。在真实期望和感知期望极小化下的平衡比较建立了在真实期望和感知期望极小化下疫苗g中PNE的存在性和唯一性，我们现在比较它们的特征。设XwB为PNE社会状态，xwU为博弈PNE处未受保护节点的总体，其中节点的概率权重函数为w。根据命题2，xwU={m，m，…，xwdw，0，…，0}，whe xwdw∈ （0，mdw）。设v（xw）为随机cho sen邻居在PNE感染的概率。从PNE的定义来看，我们有dwv（xw）δ+dwv（xw）≤ c≤ w（dw+1）v（xw）δ+（dw+1）v（xw）, （16） 至少有一个不等式是严格的。由于w严格增加，从上面的第一个不等式中，我们得到了dwv（xw）δ+dwv（xw）≤ w-1（c）==> 1.- w-1（c）≤ 1.-dwv（xw）δ+dwv（xw）=Δδ+dwv（xw）==> dwv（xw）≤δw-1（c）1- w-1（c）。按照第二个不等式的相同步骤，我们得出结论，（16）与wv（xw）等价≤δw-1（c）1- w-1（c）≤ （dw+1）v（xw）。（17） 我们现在陈述以下主要结果。命题4：设XT为TRUEExpection极小化下的PNE社会状态。如果接种成本c满足c≥w（c），那么我们有xt xw，反之亦然。证明：Le t xtU={m，m，…，xtdt，0，…，0}。假定C≥ w（c），并在相反的条件下假设xw xt。在引理1之后，我们有v（xt）>v（xw）。

因此，我们有dtv（xw）<dtv（xt）≤δc1- c≤δw-1（c）1- w-1（c），其中第二个不等式从（17）开始，最后一个不等式从c开始≥ w（c），或e，相当于w-1（c）≥c、 因此，dtv（xw）<δw-1（c）1-w-1（c）意味着数字电视（xw）（1- w-1（c））<δw-1（c）==> w数字电视（xw）δ+数字电视（xw）< c类==> xwdt=mdt，即，在PNE欠概率权重下，DTD度的所有n节点均不受保护。因此，我们有xt xw，这是想要的矛盾。c的情况≤ w（c）跟在恒等参数后面，在这种情况下，我们有xw xt。为了节省空间，我们省略了细节。上述结果背后的关键直觉是，疫苗接种成本非常接近PNE阈值下的感知感染概率，这是（16）的结果。因此，在疫苗接种成本较高的情况下，在e平衡阈值下感知到的感染概率也很高。对于agiven感知概率，由于高概率未减权，在非线性概率加权下，与真期望最小值相比，真实概率更高。因此，对于较大的接种成本，与真实期望最小的情况相比，行为偏差导致较少的节点接种疫苗。具体而言，非线性概率下的平衡阈值更高。

反之，当疫苗接种成本足够小，而决策者对低感染概率的认识过重时，情况正好相反。因此，为了降低接种成本，在概率加权下，更多的节点在PNE接种。我们强调，无论网络的程度分布如何，上述结果都是成立的，并且只取决于疫苗接种成本c和概率加权函数w。该结果的一般性具有重大的政策影响：将疫苗接种成本降低到w（c）=c的水平以下是有益的，这样会导致行为偏差，特别是对低概率的过度加权，会导致较高的疫苗接种率。相反，如果不考虑行为偏差，并且疫苗相对昂贵，那么人类的疫苗接种率可能远远低于风险中性决策者的预期。以下小节量化了一类具有幂律度分布的网络中的这种影响。A、 具有幂律度分布的网络我们现在考虑一类网络，其中度的集合是D={D，D，…，D}和D≥ 1，D<∞. 我们假设d度节点的牵引∈ D o指数β服从幂律∈ [2，3]，即md=κd-β、 式中，κ=（Pd∈Dd公司-β）-1是归一化常数。我们考虑该模型的主要动机是，指数为3的幂律度分布网络（通常在区间[2，3]）出现在广泛的设置中，尤其是在Barab\'asi-Albert（BA）优先依恋模型下[40]。在比较平衡阈值之前，我们首先获得了基于阈值的社会状态的稳态感染概率的界限。